MULTIMAGIE.COM - 3x3 magic square of squares search

Dernières recherches sur le problème du "carré magique 3x3 de carrés"

Cette page présente les plus intéressantes études sur les Problèmes ouverts 1 et 2 effectuées après la publication de mon article "Some notes on the magic squares of squares problem" en 2005. Les deux prix correspondants sont toujours à gagner !

prix de 100$ offert par Martin Gardner depuis 1996, pour le problème 1
prix de 1.000€ + une bouteille de champagne depuis 2010 (était seulement 100€ de 2005 à 2009), pour mon sous-problème 2 "plus facile" = énigme 1

Si vous voulez étudier ces problèmes, je vous recommande d'abord FORTEMENT de :

lire l'article ci-dessus du Mathematical Intelligencer,
lire ces 5 références (télécharger les 5 fichiers PDF files de [8] à [12]) : [8]+[9] Christian Boyer, [10]+[11] Andrew Bremner, [12] Duncan Buell
lire aussi [49] article de Landon Rabern et plus bas améliorations de Lee Morgenstern sur les propriétés des carrés magiques 3x3 de carrés
voir la présentation PowerPoint résumant l'article et les références précédentes < 2005
et bien sûr les derniers résultats dans cette page ! De Ajai Choudhry, Randall Rathbun, Jean-Claude Rosa, Lee Morgenstern, Lucien Pech, Landon Rabern, Frank Rubin, Lee Sallows, Ant King, Mike Winkler, Tim S. Roberts, Mark Underwood, Paul Zimmermann, Paul Pierrat, François Thiriet, Terry Moriarty, Eddie Gutierrez, Matt Parker avec Brady Haran, Ben Asselstine, Christian Woll, Joseph Hurban, Adrian Suter, Benjamin Bartsch, Giancarlo Labruna, Vlad Volosatov, Arkadiusz Wesolowski, Onno Cain, Sunil Kumar.

Envoyez-moi vos résultats, ils seront ajoutés si intéressants.

Reçu le 6 mars 2006
Ajai Choudhry, Inde, a construit quelques carrés 3x3 avec 7 sommes correctes, leurs sommes magiques n'étant pas un carré. Par exemple :

7656²	14543²	16764²
18127²	14916²	264²
12804²	10824²	16433²

Intéressant, parce que la plupart des carrés 3x3 avec 7 sommes correctes proviennent de la famille Lucas, dans laquelle la somme magique est un carré. Le premier exemple ayant une somme magique non carrée avait été construit par Michael Schweitzer (Fig MS4 de l'article du M.I.). Il serait très intéressant de trouver une solution paramétrique avec une somme magique non carrée, générant ainsi un nombre infini de carrés 3x3. Avec une telle nouvelle solution paramétrique, il devrait être facile de tester mathématiquement si cette famille peut, ou ne peut pas, produire une solution avec 8 sommes magiques. Comme c'est le cas de la famille Lucas, hélas prouvée incapable de produire 8 sommes magiques.

Reçu le 10 octobre 2006
Message de Randall Rathbun, USA, sur le Problème ouvert 2 :

"En essayant, j'ai utilisé à fond le meccah high speed calculation cluster de l'université d'Harvard, mais sans succès. Passé des semaines à faire tourner le code, mais rien de plus n'est apparu que le seul exemple trouvé par le Dr Andrew Bremner.
Assez décourageant, vraiment"

Plusieurs années avant ce problème 2, Randall avait déjà travaillé sur le défi de Gardner (=notre problème 1). C'était en 1999, voir ici :

Reçus les 5, 13, 23 novembre 2006
Jean-Claude Rosa, France, a construit ce carré semi-magique 3x3 (avec 6 sommes correctes) utilisant seulement des nombres impairs. Intéressant, puisque la plupart des carrés semi-magiques 3x3 utilisent à la fois des nombres pairs et impairs. Etrange : dans cet exemple le plus petit possible, tous les nombres utilisés sont des carrés de nombres premiers.

11²	23²	71²
43²	59²	19²
61²	41²	17²

En utilisant ces 3 triangles pythagoriques primitifs ayant la même aire :

1380² + 19019² = 19069²
3059² + 8580² = 9109²
4485² + 5852² = 7373²

il a construit ce carrés 3x3 (avec 7 sommes correctes) utilisant seulement des nombres impairs. 6 de ses 9 nombres sont des carrés de nombres premiers.

5521²	10337²	19069²
20399²	9109²	1367²
7373²	17639²	11639²

Et utilisant d'autres triangles pythagoriques ayant la même aire, il a produit cet autre carré (avec 7 sommes correctes) utilisant seulement des nombres impairs. La somme magique est plus petite que celle du carré précédent.

14393²	2171²	13507²
12181²	10517²	11633²
6227²	16703²	8749²

Reçu le 30 novembre 2006
Théorème de Lee Morgenstern, USA: "Dans un carré magique 3x3 de carrés distincts, le plus petit carré ne peut pas être 1."

Lire la preuve de Morgenstern (en anglais)

Reçu le 10 décembre 2006
Seulement quelques jours après Lee Morgenstern, Jean-Claude Rosa a indépendemment prouvé qu'un carré magique 3x3 ne peut pas être construit avec 1 et huit carrés de nombres impairs.

Télécharger la preuve de Rosa (fichier PDF, 15Ko)

Reçu le 19 décembre 2006
De Lee Morgenstern, USA, élargissant largement sa précédente preuve excluant 1 : "s'il y a un carré magique 3x3 de carrés distincts, alors tous ses nombres doivent être supérieurs à 10^14."

Lire les détails de son étude dans sa page http://home.earthlink.net/~morgenstern/magic/apstruc.htm (lien mort, mais page sauvegardée par la Wayback Machine)
Lire aussi ses autres études intéressantes sur le problème 3x3 http://home.earthlink.net/~morgenstern/magic/sq3.htm (lien mort, mais page sauvegardée par la Wayback Machine)

Reçu le 23 décembre 2006
Lorsqu'il était élève en Mathématiques Spéciales à Lyon, au Lycée du Parc, année scolaire 2005-2006, Lucien Pech avait choisi le "carré magique 3x3 de carrés" comme sujet de TIPE = Travaux d'Initiative Personnelle Encadrés. Il a cherché un sablier magique : une telle solution résoudrait le Problème ouvert 2, puisqu'utilisant 7 carrés. Il a utilisé la méthode de Duncan Buell (voir la référence [12], en haut de cette page), mais n'a pas trouvé de solution à ce problème très difficile. Son meilleur résultat est un excellent exemple modulo 2^52, meilleur que l'exemple modulo 2^46 de Duncan Buell.

Lucien Pech, maintenant étudiant à l'ENS Paris (Ecole Normale Supérieure, rue d'Ulm), m'a envoyé cette version révisée de son TIPE:

Télécharger l'étude de Pech (fichier PDF, 156Ko)

Reçu le 21 juillet 2007. Mise à jour reçue le 18 octobre 2007.
Après son article publié en 2003 [49] sur le problème des carrés magiques de carrés, Landon Rabern, USA, a cherché un carré magique 3x3 ayant au moins 7 entiers carrés. En utilisant une méthode similaire à mon étude de 2004 [8], il n'a pu trouver aucun nouvel exemple différent du seul exemple connu.

Télécharger la liste des cellules centrales recherchées par Rabern (fichier PDF, 50Ko, en anglais)

Vous pouvez télécharger et utiliser son application Windows sur tout autre ensemble de cellules centrales, même s'il ne fournit (hélas) aucune explication sur son utilisation : http://landon314.brinkster.net/MagicSearcher.zip. Cette application nécessite le Microsoft .NET Framework. Les codes sources sont fournis.

Reçus les 8 et 12 avril 2008.
De Lee Morgenstern, USA, la formule complète de tous les carrés semi-magiques 3x3 de carrés (meilleure que la formule de Lucas produisant quelque carrés semi-magiques 3x3 de carrés, mais pas tous), et une liste de carrés semi-magiques 3x3 ayant 7 sommes correctes et utilisant des entiers impairs (incluant les deux premiers carrés les plus petits donnés ci-dessus par J.-C. Rosa en 2006) :

Voir la formule de Morgenstern (en anglais)
Voir la liste de Morgenstern (en anglais)

Reçu le 6 février 2009.
De Lee Morgenstern, USA : "On sait que la somme magique d'un carré pleinement magique 3x3 doit être égale à trois fois la cellule centrale. Y a-t-il des carrés semi-magiques 3x3 de carrés avec une somme magique de trois fois un carré ? En regardant les résultats publiés, comme ceux de la formule de Lucas, toutes les sommes magiques sont des carrés. Les nouvelles sommes magiques non carrées que vous avez publiées dans votre précédente mise à jour n'étaient pas trois fois un carré. J'ai cherché des carrés semi-magiques 3x3 de carrés et en ai trouvé 20 avec une somme magique qui est trois fois un carré (cherché jusqu'à une somme magique de 3 x 5000²). L'un d'entre eux, le plus petit, avait une somme magique qui était trois fois une des cellules. Puisqu'on peut réarranger lignes et colonnes pour faire un autre carré semi-magique, n'importe quelle cellule peut devenir la centrale. Donc voici mon carré semi-magique 3x3 de carrés ayant une somme magique qui est trois fois la cellule centrale (S = 3 x 1105²). C'est la seule solution connue."

1751²	155²	757²
595²	1105²	1445²
493²	1555²	1001²

Pour ses 19 autres solutions, la somme magique était trois fois un carré différent de leurs 9 cellules. Leurs sommes (< 3 x 5000²) sont 3 x 1225², 1275², 1533², 1955², 1989², 2125², 2265², 2335², 2345², 2675², 3395², 3485², 3515², 3575², 3655², 3765², 3885², 3995², 4193². Voici l'exemple S = 3 x 1225² :

2105²	25²	265²
235²	1877²	961²
125²	989²	1873²

Reçus du 17 mai au 27 juillet 2009.
Frank Rubin (http://contestcen.com/) a travaillé sur les carrés semi-magiques 3x3 ayant 7 sommes magiques, seulement une diagonale n'étant pas magique. Avec Sd1 = somme magique = somme de la diagonale magique, et Sd2 = somme de la diagonale non-magique, Franck a cherché des carrés ayant le meilleur ratio possible Sd1/Sd2 ~ 1.

En utilisant une méthode de Lee Morgenstern pour trouver des carrés presque magiques 3x3 de carrés avec des sommes proches, voici un des carrés impressionnants calculé par Frank Rubin:

32004859810489663461722097429913882²	6566314229570234516482551556735538²	28680635830907835745130420028727601²
20694684230850857980455894108812542²	25099843330956651396728662500908321²	28839804352015135412123656375760542²
20914717277840113725279028899813359²	34883918758013437522259135104857422²	15352303377279966158185135232591402²

Sd1 = 1890006405715707401173356334328966702876471825085875343146504267674569
Sd2 = 1890006405715707267778636165444057741201927206436686602706450141117123

Sd1/Sd2 = 1.0000000000000000705... Très proche de 1... Et Sd1/Sd2 = 1 serait une solution du problème de carré magique 3x3 de carrés !

Remarquant que la somme magique est un carré (S = Sd1 = 43474203911235768609981537098048163²), je pensais que le carré de Rubin était simplement un membre de la famille de Lucas.
22 janvier 2010, mentionnant mon sentiment à Randall Rathbun, il confirmait, trouvant (p, q, r, s) = (51498645679307420, 68881590670955891, 80839778471595961, 171878882029570731).
Il est hélas connu que cette famille ne peut produire de carrés magique 3x3 de carrés.

Reçu le 26 janvier 2010.
Voici la méthode de Lee Morgenstern, utilisée ci-dessus par Frank Rubin en mai-juillet 2009 pour des carrés presque magiques 3x3 de carrés avec des sommes proches. Cette méthode utilise la formule de Hillyer des triangles de Pythagore ayant des aires égales, et la formule de Newton pour trouver la racine d'un polynome :

Voir la méthode de Morgenstern (en anglais)

Reçu les 2 et 3 mars 2010.
Randall Rathbun a fait une sérieuse tentative pour résoudre l'énigme #1, recherche d'un carré magique 3x3 ayant 7 entiers carrés, différent du seul exemple connu. Il a créé plus de 116.000.000 de carrés magiques ayant 6 entiers carrés, analysant si leurs 7ème, 8ème ou 9ème cellules était un entier carré. Mais hélas, pas de nouvelle solution !

Reçu le 8 avril 2010.
Intéressante remarque de Lee Sallows sur l'énigme #1 : il est possible de construire un carré magique 3x3 ayant 7 entiers carrés, si l'on permet... allow de SallowS ? ;-)... des entiers de Gauss ! Voici son bel exemple ayant une somme magique nulle, les deux entiers non-carrés étant 6 et -6 :

(1+2i)²	(-2+2i)²	(2+i)²	=	-3+4i	-8i	3+4i
6	0²	-6		6	0	-6
(-1+2i)²	(2+2i)²	(2-i)²		-3-4i	8i	3-4i

Quelqu'un peut construire un carré magique 3x3 ayant 8 ou 9 entiers carrés distincts de Gauss ?

Reçu le 15 octobre 2010
Voici la méthode de Lee Morgenstern pour trouver des carrés magiques 3x3 avec 7 entiers carrés distincts. Cette méthode pourrait (peut-être ?) résoudre l'énigme 1.

Voir la méthode de Morgenstern (en anglais)

Reçu le 27 mai 2011
Ant King (www.mathstutoring.co.uk) a construit cette belle solution paramétrique de carrés semi-magiques 3x3 de carrés utilisant une seule variable, et une diagonale seulement n'est pas magique. Puisque sa somme magique est un entier carré [3(1+ 3k + 3k²)²]², cette solution paramétrique ne peut hélas pas produire de carrés magiques de carrés (qui nécessitent une somme magique valant trois fois un entier carré, ou plus exactement trois fois son centre).

(2 +14k + 37k² + 42k³ +18k⁴)²	(−2 −8k − 7k² + 6k³ + 9k⁴)²	(1+10k + 29k² + 36k³ +18k⁴)²
(2 +12k + 29k² + 30k³ + 9k⁴)²	(1+ 6k +19k² + 30k³ +18k⁴)²	(2 +12k + 29k² + 36k³ +18k⁴)²
(−1− 2k + 7k² + 24k³ +18k⁴)²	(2 +16k + 43k² + 48k³ +18k⁴)²	(2 +10k +19k² +18k³ + 9k⁴)²

Voir la méthode de King (fichier PDF en anglais) construisant des solutions paramétriques

Reçu du 15 novembre 2011 au 27 janvier 2012
Lee Morgenstern a envoyé ces remarques et résultats intéressants (en anglais) :

Par exemple, dans l'avant-dernier document, il a élargi la remarque ci-dessus de Lee Sallows sur les entiers de Gauss.
Et dans le dernier document, il a construit un carré magique de carrés modulo 2^90, donc meilleur que les précédents sabliers magiques de carrés de Duncan Buell et Lucien Pech (respectivement mod 2^46 et mod 2^52).

Reçu le 2 mars 2012, mis à jour le 6 mai 2012, à nouveau mis à jour le 21 août 2012
Mike Winkler (www.mikewinkler.co.nf), en utilisant la remarque ci-dessus de fév. 2009 de Morgenstern, a cherché des carrés semi-magiques 3x3 ayant une somme magique qui est trois fois un carré.

Sa recherche avec Delphi s'est faite avec des sommes magiques < 3 x 320000², mais d'une façon non exhaustive. Il a retrouvé 7 des 20 solutions précédemment trouvées par Morgenstern < 3 x 5000², et aussi ces nouvelles solutions plus grosses. Sommes = 3 x 6115², 7395², 8905², 9345², 9565², 9995², 10195², 12725², 13175², 13765², 14825², 15225², 15525², 16185², 18085², 18115², 20085², 22425², 25075², 26571², 28135², 32625², 37635², 41905², 41925², 42415², 44353², 45025², 45435², 49045², 63495², 76075², 77435², 87135², 117725², 123335², 124845², 140675², 141865², 157675², 195925², 196775², 227035², 264265², 319685². Mais pas de nouvelle solution avec une somme trois fois la cellule centrale.

Reçu le 21 janvier 2013
Lee Morgenstern a réutilisé sa méthode envoyée en avril 2008 concernant la liste des carrés presque magiques 3x3 de carrés ayant toutes leurs cellules impaires et 7 sommes correctes. C'est équivalent à trois progressions arithmétiques de 3 carrés ayant des raisons égales. L'idée était de chercher des cas qui satisfont les conditions d'un carré pleinement magique 3x3 de carrés. Les résultats 2008 étaient basés sur deux recherches :

Toutes les progressions arithmétiques à entiers impairs, primitives et agrandies, jusqu'à une raison d = 1.4 x 10^10.
Toutes les progressions arithmétiques primitives jusqu'à d = 10^19.

Ses nouvelles recherches 2013 étendent :

Jusqu'à d = 2.4 x 10^19.
Jusqu'à d = 6.4 x 10^22.

Voir les résultats de la recherche de Morgenstern

Reçu le 2 juillet et 8 août 2013

Tim S. Roberts, Bundaberg, côte est de l'Australie, auteur de http://unsolvedproblems.org, rappelle qu'un carré magique 3x3 de carrés doit avoir cette forme paramétrique de tout carré magique 3x3 :

a²	b²	c²	=	x+y	x-y-z	x+z
d²	e²	f²		x-y+z	x	x+y-z
g²	h²	i²		x-z	x+y+z	x-y

Comme exemple, on regardera le modulo 13. Tout entier carré peut avoir seulement une de ces 7 valeurs "autorisées", les résidus quadratiques mod 13: 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12. Si on teste par programme toutes les valeurs possibles (x, y, z) mod 13, les neuf cellules (x+y), (x-y-z), ... (x-y) peuvent être neuf carrés (signifiant qu'aucune d'entre elles n'est égale à une autre valeur que les 7 autorisées) seulement quand (x, y, z) = (x, y, 0) ou (x, 0, z) : on en conclut que y ou z doit être divisible par 13. Aussi équivalent à dire que y*z doit être divisible par 13. Voici les étonnants résultats finaux que j'ai vérifié et légèrement étendus (5 -> 5^2, et 7 -> 7^2) :

y*z doit être divisible par 2^6 * 3^2 * 5^2 * 7^2 * 11 * 13 * 19 * 31 = 59 430 571 200.
x*y*z doit être divisible par 59 430 571 200 * 17 * 29 * 37 = 1 084 073 049 259 200.

Oui, x*y*z doit être divisible par tous les nombres premiers < 40, avec la seule exception de 23.

Reçu du 10 août au 3 septembre 2013

Tim S. Roberts, en utilisant à nouveau la forme paramétrique ci-dessus d'un carré magique 3x3, remarque que :

au moins un élément de (x, y, z, y+z, y-z) doit être divisible par 2
au moins un élément de (x, y, z, y+z, y-z) doit être divisible par 3
au moins un élément de (x, y, z, y+z, y-z) doit être divisible par 4
etc...au moins un élément doit être divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 51, 52, 53, 56, 57, 60, 61, 62, 66, 67, 68, 69,...

Etonnant ! Une liste incroyablement longue, où 25 est le premier entier > 1 non présent. On peut étendre sa liste, et dire :

au moins un élément de (x, y, z, y+z, y-z) doit être divisible par 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26, 28, 29, 30, 31, 33, 34, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 46, 47, 48, 51, 52, 53, 56, 57, 60, 61, 62, 66, 67, 68, 69, 72, 76, 78, 84, 86, 88, 92, 93, 94, 102, 104, 114, 120, 124, 129, 132, 134, 136, 138, 141, 152, 156, 168, 172, 184, 186, 188, 201, 204, 228, 248, 258, 264, 268, 276, 282, 312, 344, 372, 376, 402, 408, 456, 516, 536, 552, 564, 744, 804, 1032, 1128, 1608.

Cela devrait être la liste complète, au total 106 entiers. Tous ces entiers se factorisent avec ces nombres premiers seulement (ou leurs puissances) : 2 (4, 8, 16), 3 (9), 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, 67.
C'est-à-dire tout nombre premier < 70, avec la seule exception de 59. On peut aussi dire que :

x*y*z*(y+z)*(y-z) doit être divisible par 2^4 * 3^2 * 5 * 7 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47 * 53 * 61 * 67 = 3196605376710617107476240.

Reçu du 18 décembre 2013 au 8 janvier 2014

Mark Underwood, Canada, a envoyé à Tim S. Roberts une intéressante remarque améliorant les résultats ci-dessus : y et z doivent être tous deux divisibles par 24, donc aussi y+z et y-z. Donc le produit des quatre doit être divisible par 24^4, c'est-à-dire 2^12 * 3^4. Et de plus, au moins un de ces éléments doit être divisible par 16, et au moins un par 9. Ce qui porte à 2^13 * 3^5.

Et si je rajoute ma précédente de remarque de juillet-août 2013 que y*z doit être divisible par 5^2 * 7^2, alors:

x*y*z*(y+z)*(y-z) doit être divisible par 2^13 * 3^5 * 5^2 * 7^2 * 11 * 13 * 17 * 19 * 23 * 29 * 31 * 37 * 41 * 43 * 47 * 53 * 61 * 67 = 1546645545467664981281303961600.
Divisible par un entier aussi grand que ~ 1.5 * 10^30...

Reçu le 6 et 22 février 2014

Lee Morgenstern a à nouveau élargi ses recherches précédentes de janvier 2013 et avril 2008. Pas de solution :

jusqu'à d = 2.4 x 10^21.
jusqu'à d = 6.0 x 10^23, en utilisant 4mn(m²-n²), avec m,n premiers entre eux, un impair, un pair, et n < m < 2^24.

Reçu le 30 juin 2014

Lee Morgenstern a fini trois nouvelles recherches pour un sablier magique, mais n'a trouvé aucune solution.

Reçu le 16 septembre 2014

Ce n'est pas une recherche... mais un appel à chercher un carré magique 3x3 de carrés dans un article du site de Scientific American. Merci à Ricki Rusting, Managing Editor, mentionnant mon nom avec un lien vers multimagie.com

http://www.scientificamerican.com/article/can-you-solve-a-puzzle-unsolved-since-1996

Reçu du 19 février au 13 mars 2015

Paul Zimmermann, chercheur (INRIA, LORIA, http://www.loria.fr/~zimmerma/), avec deux jeunes étudiants, Paul Pierrat et François Thiriet, ont prouvé ces propriétés modulaires : la somme magique de tout carré magique primitif 3x3 de carrés doit être 3 mod 72, et les cellules carrées doivent être 1 mod 24. Et élargissant les précédentes recherches de Buell et Pech, ils ont trouvé des solutions mod 2^n de carrés magiques 3x3 de 7 carrés, jusqu'à modulo 2^59.

Leur article est disponible ici: http://www.loria.fr/~zimmerma/papers/squares.pdf

Reçu le 25 juillet 2015

Terry Moriarty, Irlande du Nord, a trouvé quelques propriétés des carrés magiques 3x3 de carrés. Par exemple, leurs sommes magiques sont 3 mod 72. Voir http://magicsqr.byethost8.com/

Reçu le 16 avril 2016

En autorisant les nombres imaginaires (voir aussi plus haut), Eddie Gutierrez, New Jersey, USA, a trouvé des carrés magiques 3x3 ayant 7 entiers carrés. Par exemple, ce carré de somme magique = 15552:

113²	(121i)²	132²	=	12769	-14641	17424
9839	72²	23²		9839	5184	529
(84i)²	25009	(49i)²		-7056	25009	-2401

Voir http://www.oddwheel.com/, avec quelques autres études. Le carré ci-dessus peut être trouvé dans sa "table of contents 0B", 15ème page (ou directement http://www.oddwheel.com/Image_SquareA.html)

Reçu le 18 avril 2016

AMUSANT !!! Matt Parker, un Australien vivant au Royaume-Uni, ancien prof de maths (https://en.wikipedia.org/wiki/Matt_Parker et http://standupmaths.com/), a essayé de résoudre l'énigme #1 (carré magique 3x3 de carrés) à (vidéos YouTube Numberphile de Brady Haran). Dans sa vidéo, 1:02-1:36, il présente aussi la solution de l'énigme #4c (carré magique 7x7 de cubes) trouvée en 2015 par Sébastien Miquel:

https://youtu.be/aOT_bG-vWyg, The Parker Square, vidéo YouTube de 5 minutes, avec déjà 295 000 vues (chiffre à mi-février 2017)

http://theparkersquare.com avec un tee-shirt d'un carré magique 3x3 de carrés que vous pouvez acheter ! (https://teespring.com/parker-square-EU)

Solution invalide..., donc non, je n'ai envoyé aucun prix en euros, ni aucune bouteille de champagne, à Matt! :-)

Reçu le 6 février 2017 et 1er mars 2017

Ben Asselstine, Canada, a annoncé son "ensemble d'outils pour chercher et gérer des carrés magiques 3x3 de carrés" librement disponible à http://fituvalu.nongnu.org/. Ce logiciel utilise libgmp (GNU Multiprecision Arithmetic Library) pour calculer sur des gros entiers, et est conçu pour être facilement parallélisable avec GNU Parallel.

Il a ajouté son programme javascript http://fituvalu.nongnu.org/checker.html : "Cela permet aux gens de tester leur carrés magiques 3x3 avec 6 entiers carrés ou plus (?) par rapport à une liste de 100 000 carrés connus."

Reçu le 27 février 2017

Lee Morgenstern a envoyé les PDF de deux articles écrits il y a quelques années, versions mises à jour des liens morts de 2006 :

Juin 2007, Smallest Entry in a 3x3 Magic Square of Squares, procédure informatique qui a prouvé que les 9 cellules d'un carré magique 3x3 de carrés distincts doivent être les carrés d'entiers d'au moins 8 chiffres
Juillet 2015, 3x3 Magic Square of Squares Properties, inspiré par l'article de Landon Rabern publié en 2003 [49], prouvant à nouveau (mais différemment) les résultats de Rabern et ajoutant des nouvelles preuves

Reçu le 10 mars 2017

Lee Morgenstern a généré ce carré 3x3, en utilisant le nouveau 6ème triplé de triangles pythagoriciens primitifs ayant des aires égales trouvé par Duncan Moore quelques jours plus tôt :

19720769947309²	6757561171393²	11290071470263²
10987237357337²	9483582546853²	18745169816089²
7239541562993²	20650330341071²	9120965347253²

S = 562039114103450691451191099 pour les lignes, colonnes et une diagonale. Hélas l'autre diagonale a une somme différente.

Reçu du 11 au 13 mars 2017

Randall Rathbun, USA, a trouvé cette courbe elliptique de rang 4

y² = x³ - x² + 7528505392x + 671534074163712

donnant le seul exemple connu avec 7 carrés. Un travail excellent, puisqu'il est très difficile de trouver cette courbe. Mais hélas, les milliers de points de cette courbe (produisant des nombres avec des milliers de chiffres !) ne génèrent pas d'autre carré magique de 7 carrés.

Détails dans les mails envoyés par Randall à Andrew Bremner et moi.

Reçu le 5 juin 2017

Christian Woll, Californie, USA, a envoyé un article intéressant intitulé "The Magic Hourglass of Squares related to the Gaussian Integers"

Reçu le 22 septembre 2017

Joseph Hurban, quand il était "student tutor" au TCNJ (College of New Jersey, USA), a envoyé cette belle formule produisant des carrés magiques 3x3 de 5 carrés :

(10z² + 20z + 5)²	b = 7²(2z² + 1)² - 4z(2z² + 101z + 1)	c = (2z² + 1)² + 8z(26z² + 38z + 13)
(2z² + 2z + 1)²	(10z² + 10z + 5)²	(14z² + 14z + 7)²
g = 7²(2z² + 1)² + 8z(24z² - 13z + 12)	h = (2z² + 1)² + 4z(102z² + 151z + 51)	(10z² - 5)²

Est-il possible d'obtenir des entiers carrés supplémentaires dans les cellules b, c, g, et h ? Avec un programme MATLAB, il a essayé de trouver d'autres solutions, et de z = 0 à 1.000.000, a trouvé cinq solutions :

z = 0 : b, c, g, h sont des entiers carrés, mais la solution n'a pas des entiers uniques
z = 1 : b, c, g, h sont des entiers carrés, mais la solution n'a pas des entiers uniques
z = 3 : c = 95², produit un carré magique 3x3 de 6 carrés
z = 10: c = 529², produit un carré magique 3x3 de 6 carrés
z = 12 : h = 937², produit un carré magique 3x3 de 6 carrés

Exemples avec z = 1, 2, 3:

35²	5²	25²	85²	2281	3169	155²	13825	95²
5²	25²	35²	13²	65²	91²	25²	125²	175²
25²	35²	5²	5281	6169	35²	22225	17425	85²

J'ai testé qu'il n'y a pas d'autre solution avec plus de 5 entiers carrés pour tout z < 10^10.

Reçu le 15 novembre 2017

Adrian Suter, Suisse, travaillant sur les résultats de Moriarty, a envoyé un article générant malheureusement un carré magique 3x3 de carrés non distincts...

Reçu le 28 novembre 2017

Benjamin Bartsch a envoyé cette solution paramétrique, similaire aux solutions de King, produisant des carrés semi-magiques 3x3 :

(-2 - 6x - 7x² - 2x³ - x⁴)²	(-2 + 5x² + 4x³ + 2x⁴)²	(-1 - 6x - 5x² - 4x³ - 2x⁴)²
(-2 - 4x - 5x² + 2x⁴)²	(-1 - 2x - 7x² - 6x³ - 2x⁴)²	(-2 - 4x - 5x² - 6x³ - x⁴)²
(1 - 2x - 7x² - 8x³ - 2x⁴)²	(-2 - 8x - 7x² - 2x³ + x⁴)²	(2 + 2x + x² + 2x³ + 2x⁴)²

Sept alignements magiques avec S = 9 + 36x + 90x² + 144x³ + 171x⁴ + 144x⁵ + 90x⁶ + 36x⁷ + 9x⁸, une diagonale n'étant pas magique avec une somme différente.

Je remarque qu'avec x = -8,6131187, on a un carré pleinement magique avec huit alignements magiques.... mais bien sûr utilisant des non-entiers :-)

Reçu le 25 avril 2018

Deux ans après ses carrés magiques de 7 carrés autorisant les nombres imaginaires, Eddie Gutierrez a trouvé un nouveau carré magique 3x3 de 7 carrés, ce coup-ci lié au carré Bremner (www.oddwheel.com/special squares.html), S = 780300:

806425	(697i)²	678²	=	806425	-485809	459684
-86641	510²	779²		-86641	260100	606841
246²	1003²	(535i)²		60516	1006009	-286225

Thèse, mai 2018

Giancarlo Labruna, Montclair State University (New Jersey, USA), a soumis sa thèse intitulée "Magic Squares of Squares of Order Three over Finite Fields". Giancarlo est maintenant enseignant à la School of General Studies de Kean University (New Jersey).

Publié de septembre à novembre 2018

Christian Woll, après son article plus haut de juin 2017, a publié deux nouveaux articles sur arXiv:

"A Partial Residue Categorization of the Magic Square of Squares"
"There is a 3×3 Magic Square of Squares on the Moon - A Lot of Them, Actually" ... quel titre mystérieux !!! :-)
Puis dans The Mathematical Intelligencer 41, 73–76 (2019)

Deux exemples de ses carrés magiques lunaires de carrés. A gauche en base 10, S = 24². A droite en base 2, S = 1011111.

22²	0²	14²	11²	101²	1001²
1²	24²	2²	110²	1011²	1²
4²	3²	23²	1010²	0²	111²

Sur l'arithmétique lunaire, et les nombres premiers sur la Lune, vidéo Numberphile avec Neil Sloane (OEIS): https://youtu.be/cZkGeR9CWbk, nov. 2018.

Addition lunaire, multiplication lunaire, et Neil Sloane

Reçu le 18 novembre 2018

Vlad Volosatov, Russie, remarque astucieusement que les carrés magiques 3x3 de carrés sont possibles en utilisant les quaternions (i² = j² = k² = ijk = -1). Par exemple, avec S = -75:

(5i)²	(7k)²	(j)²	=	-25	-49	-1
(k)²	(5j)²	(7i)²		-1	-25	-49
(7j)²	(i)²	(5k)²		-49	-1	-25

J'ajoute une remarque : il y a déjà un lien entre les quaternions et les carrés magiques 4x4 de carrés !

Reçu le 30 décembre 2018

Arkadiusz Wesolowski, Pologne, a trouvé deux solutions paramétriques de carrés magiques 3x3 de 5 entiers carrés. Avec n >= 1, posons

x = -1 + [(sqrt(2)/2)*((3 + 2*sqrt(2))ⁿ - (3 - 2*sqrt(2))ⁿ) + (3 + 2*sqrt(2))ⁿ + (3 - 2*sqrt(2))ⁿ)]/2

Ou équivalent, la valeur de x peut aussi être obtenue avec la formule de récurrence :

x = a(n) = 6*a(n-1) - a(n-2) + 4, en démarrant avec a(0) = 0 et a(1) = 4

Alors on obtient ce carré magique, les entiers en noir étant des entiers carrés :

17x⁴ + 44x³ + 34x² + 10x + 1	9x² + 6x + 1	10x⁴ + 28x³ + 23x² + 8x + 1
2x⁴ + 8x³ + 11x² + 6x + 1	9x⁴ + 24x³ + 22x² + 8x + 1	16x⁴ + 40x³ + 33x² + 10x + 1
8x⁴ + 20x³ + 21x² + 8x + 1	18x⁴ + 48x³ + 35x² + 10x + 1	x⁴ + 4x³ + 10x² + 6x + 1

Premiers exemples avec n = 1 (-> x = 4) et n = 2 (-> x = 28):

7753	13²	4753	11441977	85²	6779473
35²	65²	85²	1189²	2465²	3277²
3697	91²	697	5372977	3485²	710473

L'autre solution paramétrique est dérivée de la première ci-dessus. A nouveau avec n >= 1:

x = 1 + [(sqrt(2)/2)*((3 + 2*sqrt(2))ⁿ - (3 - 2*sqrt(2))ⁿ) + (3 + 2*sqrt(2))ⁿ + (3 - 2*sqrt(2))ⁿ]/2
ou x = a(n) = 6*a(n-1) - a(n-2) - 4, en démarrant avec a(0) = 2 et a(1) = 6

17x⁴ - 44x³ + 34x² - 10x + 1	9x² - 6x + 1	10x⁴ - 28x³ + 23x² - 8x + 1
2x⁴ - 8x³ + 11x² - 6x + 1	9x⁴ - 24x³ + 22x² - 8x + 1	16x⁴ - 40x³ + 33x² - 10x + 1
8x⁴ - 20x³ + 21x² - 8x + 1	18x⁴ - 48x³ + 35x² - 10x + 1	x⁴ - 4x³ + 10x² - 6x + 1

Premiers exemples avec n = 1 (-> x = 6) et n = 2 (-> x = 30):

13693	17²	7693	12612301	89²	7364461
35²	85²	115²	1189²	2581²	3451²
6757	119²	757	5958661	3649²	710821

Dans les deux solutions paramétriques, les nombres croissent très vite : par exemple avec n = 100, les sommes magiques sont aussi grosses que ~2.38*10^307... Toutefois peut-être que, pour quelques valeurs de n, les cellules en rouge pourraient devenir des (énormes) entiers carrés, donnant des carrés magiques avec plus de 5 entiers carrés ?

Reçu en mai-juin 2019

Onno M. Cain, USA, a travaillé sur un article, ensuite publié en août 2019 sur arXiv, intitulé "Gaussian Integers, Rings, Finite Fields, and the Magic Square of Squares".

Et, après l'article de Woll sur les carrés magiques 3x3 de carrés sur la Lune, Onno a construit ce carré magique 3x3 de carrés de nombres premiers lunaires :

1001101²	110101²	1010011²
111001²	1010111²	1011001²
1001011²	1011101²	1001111²

Ses articles (incluant ce carré) sont disponibles https://sites.google.com/view/onnomc/papers, et son logiciel pour des calculs arithmétiques lunaires en Python sont aussi disponibles https://github.com/onnomc/lunar-arithmetic-wrapper et https://repl.it/@onnomc/LunarArithmeticPlayground

Reçu le 24 juin 2019

Ben Asselstine a publié un PDF de 41 pages, à l'allure d'un fichier PowerPoint, sur le problème du carré magique 3x3 de carrés, incluant son analyse des carrés magiques de 6 carrés.

Reçu le 16 septembre 2019

Sunil Kumar, Tamil Nadu, Inde, 16 ans, a trouvé ce carré magique 3x3 de presque 7 carrés, S = 108329642031:

65118629677	49565²	201877²
108377²	190026² + 1	245915²
177385²	264127²	7101131677

Reçu les 20 et 22 décembre 2019

Un an après ses solutions paramétriques de carrés magiques 3x3 de 5 entiers carrés, données plus haut, voilà un entier carré supplémentaire ! Arkadiusz Wesolowski a trouvé cette merveilleuse solution paramétrique de carrés magiques 3x3 de 6 entiers carrés :

x = [(3 + sqrt(3))*(2 + sqrt(3))ⁿ⁺¹ + (3 - sqrt(3))*(2 - sqrt(3))ⁿ⁺¹]/6,
y = [(3 + sqrt(3))*(2 + sqrt(3))ⁿ + (3 - sqrt(3))*(2 - sqrt(3))ⁿ]/6,
z = 2ⁿ* [(1 + sqrt(3)/2)ⁿ⁺¹ - (1 - sqrt(3)/2)ⁿ⁺¹]/sqrt(3).

(xy - z)²	(xz + y)²	x² + y²z²
(x + yz)²	(x² + y²)(z² + 1)/2	(xz - y)²
x²z² + y²	(yz - x)²	(xy + z)²

Les trois premiers exemples de carrés magiques 3x3, construits avec n = 1 (-> (x, y, z) = (11, 3, 4)), n = 2 (-> 41, 11, 15), et n = 3 (-> 153, 41, 56):

29²	47²	265	436²	626²	28906	6217²	8609²	5295025
23²	1105	41²	206²	203626	604²	2449²	39353665	8527²
1945	1²	37²	378346	124²	466²	73412305	2143²	6329²

Quand n est un entier pair positif, on peut prouver que les cellules en rouge ne peuvent être des entiers carrés. Sa recherche rapide pour les entiers impairs n <= 2*10^5 n'a pas produit de carré magique 3x3 de sept, huit ou neuf entiers carré. Mais peut-être avec un entier n impair plus grand ?

Ce n'était pas indiqué par Arkadiusz, mais x, y, z peuvent être aisément calculés avec ces formules de récurrence :

x(0) = 3
y(0) = 1
z(0) = 1

x(n) = 3*x(n-1) + 2*z(n-1)
y(n) = x(n-1)
z(n) = x(n-1) + z(n-1)

Reçu le 18 janvier 2020

Et moins d'un mois plus tard, Arkadiusz Wesolowski a trouvé une autre merveilleuse solution paramétrique de carrés magiques 3x3 de 6 entiers carrés. L'identité suivante exprime le produit de deux sommes de deux carrés en une somme de deux carrés de trois façons différentes.

[(6n² + 6n + 2)² + (2n + 1)²] * [(3n² + 2n)² + (3n² + 4n + 1)²]
= (18n⁴ + 48n³ + 43n² + 16n + 2)² + (18n⁴ + 24n³ + 7n² - 2n - 1)²
= (18n⁴ + 42n³ + 37n² + 14n + 2)² + (18n⁴ + 30n³ + 19n² + 6n + 1)²
= (18n⁴ + 36n³ + 29n² + 10n + 1)² + (18n⁴ + 36n³ + 29n² + 12n + 2)²

Et puisque

2 * (18n⁴ + 42n³ + 37n² + 14n + 2)²= (18n⁴ + 48n³ + 43n² + 16n + 2)² + (18n⁴ + 36n³ + 29n² + 12n + 2)²

on peut former un carré magique avec :

w = 6n² + 6n + 2,
x = 2n + 1,
y = 3n² + 2n,
z = 3n² + 4n + 1.

(wz + xy)²	(wy - xz)²	(2y² - z²)x² + (2z² - y²)w²
2(x²y² + w²z²) - (wy + xz)²	x²y² + w²z²	(wy + xz)²
x²z² + w²y²	2(x²y² + w²z²) - (wy - xz)²	(wz - xy)²

Les trois premiers exemples de carrés magiques 3x3, construits avec n = 1, 2, 3 :

127²	46²	20062	878²	503²	905719	3191²	2162²	11588158
16702	113²	94²	778039	802²	713²	10220638	2969²	2722²
74²	23422	97²	617²	1033399	718²	2458²	12955678	2729²

J'ai testé que les cellules en rouge ne sont pas des entiers carrés pour tout n < 10^10, donc somme magique < 9.72*10^82. Si difficile d'obtenir un 7ème entier carré ! Mais peut-être possible avec un n plus grand ?

Reçu le 18 mai 2020

Trois ans après sa première solution paramétrique, Joseph Hurban a envoyé cette belle solution paramétrique de carrés magiques 3x3 de 4 entiers carrés :

(qr - ps)²	[(qr)² + (ps)² + (pr)² + (qs)²]/2 + 4pqrs	(pr - qs)²
[3(pr)² + 3(qs)² - (qr)² - (ps)²]/2	[(qr)² + (ps)² + (pr)² + (qs)²]/2	[3(qr)² + 3(ps)² - (pr)² - (qs)²]/2
(qr + ps)²	[(qr)² + (ps)² + (pr)² + (qs)²]/2 - 4pqrs	(pr + qs)²

On peut obtenir beaucoup de solutions avec deux entiers carrés supplémentaires, mais c'est à nouveau très difficile d'en obtenir un 7ème... Voici deux exemples de solutions avec 6 entiers carrés, obtenus avec (p, q, r, s) = (1, 3, 2, 11) et (1, 9, 5, 8):

5²	889	31²	37²	5089	67²
1561	25²	-311	6769	3649	23²
17²	19²	35²	53²	47²	77²

Chers lecteurs et chercheurs,

Avant de m'envoyer vos résultats, ne réinventez pas la roue !
Lisez le haut de cette page. Par exemple, oui, les résultats ci-dessous sont bien connus, ne les renvoyez pas encore.

Si un carré magique 3x3 de 9 entiers carrés existe (primitif, avec cellules premières entre elles), alors toutes les cellules sont impaires et sont 3k+1
-> donc toutes les cellules sont 6k+1.
Et il n'y a pas de cellule multiple de 3, 11, 19, 43,... puisque déjà prouvé que :
1) la cellule centrale est un produit (au carré) de nombres premiers 4k+1 = 5, 13, 17, 29, 37, 41,...
2) les 4 cellules au milieu des côtés sont des produits (au carré) de nombres premiers 8k+1 et/ou 8k+7 = 7, 17, 23, 31, 41, 47,...
3) les 4 coins sont des produits (au carré) de nombres premiers 8k+1, +5, et/ou +7 = 5, 7, 13, 17, 23, 29, 31, 37, 41, 47,...

Dans un carré magique 3x3 de 9 entiers carrés, si on accepte que quelques entiers carrés soient répétés, alors toute solution utilise seulement 1 ou 3 entiers carrés.
Aucune autre façon, impossible avec 2, 4, 5, 6, 7, ou 8 entiers carrés distincts. Mais inconnu avec 9, c'est le problème...
A gauche, la seule famille possible de solutions avec entiers carrés répétés.

Carré magique 3x3 de carrés, S = 3c², avec a² + b² = 2c²			Évident carré magique 3x3 de carrés, S = 3, construit avec (a, b, c) = (1, 1, 1)			Carré magique 3x3 de carrés, S = 75, construit avec (a, b, c) = (1, 7, 5)
a²	b²	c²	1²	1²	1²	1²	7²	5²
b²	c²	a²	1²	1²	1²	7²	5²	1²
c²	a²	b²	1²	1²	1²	5²	1²	7²

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