Dernières recherches sur le problème du "carré magique 3x3 de carrés"

Cette page présente les plus intéressantes études sur les Problèmes ouverts 1 et 2 effectuées après la publication de mon article "Some notes on the magic squares of squares problem" en 2005. Les deux prix correspondants sont toujours à gagner !

Si vous voulez étudier ces problèmes, je vous recommande d'abord FORTEMENT de :

Envoyez-moi vos résultats, ils seront ajoutés si intéressants.

Reçu le 6 mars 2006
Ajai Choudhry, Inde, a construit quelques carrés 3x3 avec 7 sommes correctes, leurs sommes magiques n'étant pas un carré. Par exemple :

Intéressant, parce que la plupart des carrés 3x3 avec 7 sommes correctes proviennent de la famille Lucas, dans laquelle la somme magique est un carré. Le premier exemple ayant une somme magique non carrée avait été construit par Michael Schweitzer (Fig MS4 de l'article du M.I.). Il serait très intéressant de trouver une solution paramétrique avec une somme magique non carrée, générant ainsi un nombre infini de carrés 3x3. Avec une telle nouvelle solution paramétrique, il devrait être facile de tester mathématiquement si cette famille peut, ou ne peut pas, produire une solution avec 8 sommes magiques. Comme c'est le cas de la famille Lucas, hélas prouvée incapable de produire 8 sommes magiques.

Reçu le 10 octobre 2006
Message de Randall Rathbun, USA, sur le Problème ouvert 2 :

Plusieurs années avant ce problème 2, Randall avait déjà travaillé sur le défi de Gardner (=notre problème 1). C'était en 1999, voir ici :

Reçus les 5, 13, 23 novembre 2006
Jean-Claude Rosa, France, a construit ce carré semi-magique 3x3 (avec 6 sommes correctes) utilisant seulement des nombres impairs. Intéressant, puisque la plupart des carrés semi-magiques 3x3 utilisent à la fois des nombres pairs et impairs. Etrange : dans cet exemple le plus petit possible, tous les nombres utilisés sont des carrés de nombres premiers.

En utilisant ces 3 triangles pythagoriques primitifs ayant la même aire :

il a construit ce carrés 3x3 (avec 7 sommes correctes) utilisant seulement des nombres impairs. 6 de ses 9 nombres sont des carrés de nombres premiers.

Et utilisant d'autres triangles pythagoriques ayant la même aire, il a produit cet autre carré (avec 7 sommes correctes) utilisant seulement des nombres impairs. La somme magique est plus petite que celle du carré précédent.

Reçu le 30 novembre 2006
Théorème de Lee Morgenstern, USA: "Dans un carré magique 3x3 de carrés distincts, le plus petit carré ne peut pas être 1."

Reçu le 10 décembre 2006
Seulement quelques jours après Lee Morgenstern, Jean-Claude Rosa a indépendemment prouvé qu'un carré magique 3x3 ne peut pas être construit avec 1 et huit carrés de nombres impairs.

Reçu le 19 décembre 2006
De Lee Morgenstern, USA, élargissant largement sa précédente preuve excluant 1 : "s'il y a un carré magique 3x3 de carrés distincts, alors tous ses nombres doivent être supérieurs à 10^14."

Reçu le 23 décembre 2006
Lorsqu'il était élève en Mathématiques Spéciales à Lyon, au Lycée du Parc, année scolaire 2005-2006, Lucien Pech avait choisi le "carré magique 3x3 de carrés" comme sujet de TIPE = Travaux d'Initiative Personnelle Encadrés. Il a cherché un sablier magique : une telle solution résoudrait le Problème ouvert 2, puisqu'utilisant 7 carrés. Il a utilisé la méthode de Duncan Buell (voir la référence [12], en haut de cette page), mais n'a pas trouvé de solution à ce problème très difficile. Son meilleur résultat est un excellent exemple modulo 2^52, meilleur que l'exemple modulo 2^46 de Duncan Buell.

Lucien Pech, maintenant étudiant à l'ENS Paris (Ecole Normale Supérieure, rue d'Ulm), m'a envoyé cette version révisée de son TIPE:

Reçu le 21 juillet 2007. Mise à jour reçue le 18 octobre 2007.
Après son article publié en 2003 [49] sur le problème des carrés magiques de carrés, Landon Rabern, USA, a cherché un carré magique 3x3 ayant au moins 7 entiers carrés. En utilisant une méthode similaire à mon étude de 2004 [8], il n'a pu trouver aucun nouvel exemple différent du seul exemple connu.

Vous pouvez télécharger et utiliser son application Windows sur tout autre ensemble de cellules centrales, même s'il ne fournit (hélas) aucune explication sur son utilisation : http://landon314.brinkster.net/MagicSearcher.zip. Cette application nécessite le Microsoft .NET Framework. Les codes sources sont fournis.

Reçus les 8 et 12 avril 2008.
De Lee Morgenstern, USA, la formule complète de tous les carrés semi-magiques 3x3 de carrés (meilleure que la formule de Lucas produisant quelque carrés semi-magiques 3x3 de carrés, mais pas tous), et une liste de carrés semi-magiques 3x3 ayant 7 sommes correctes et utilisant des entiers impairs (incluant les deux premiers carrés les plus petits donnés ci-dessus par J.-C. Rosa en 2006) :

Reçu le 6 février 2009.
De Lee Morgenstern, USA : "On sait que la somme magique d'un carré pleinement magique 3x3 doit être égale à trois fois la cellule centrale. Y a-t-il des carrés semi-magiques 3x3 de carrés avec une somme magique de trois fois un carré ? En regardant les résultats publiés, comme ceux de la formule de Lucas, toutes les sommes magiques sont des carrés. Les nouvelles sommes magiques non carrées que vous avez publiées dans votre précédente mise à jour n'étaient pas trois fois un carré. J'ai cherché des carrés semi-magiques 3x3 de carrés et en ai trouvé 20 avec une somme magique qui est trois fois un carré (cherché jusqu'à une somme magique de 3 x 5000²). L'un d'entre eux, le plus petit, avait une somme magique qui était trois fois une des cellules. Puisqu'on peut réarranger lignes et colonnes pour faire un autre carré semi-magique, n'importe quelle cellule peut devenir la centrale. Donc voici mon carré semi-magique 3x3 de carrés ayant une somme magique qui est trois fois la cellule centrale (S = 3 x 1105²). C'est la seule solution connue."

Pour ses 19 autres solutions, la somme magique était trois fois un carré différent de leurs 9 cellules. Leurs sommes (< 3 x 5000²) sont 3 x 1225², 1275², 1533², 1955², 1989², 2125², 2265², 2335², 2345², 2675², 3395², 3485², 3515², 3575², 3655², 3765², 3885², 3995², 4193². Voici l'exemple S = 3 x 1225² :

Reçus du 17 mai au 27 juillet 2009.
Frank Rubin a travaillé sur les carrés semi-magiques 3x3 ayant 7 sommes magiques, seulement une diagonale n'étant pas magique. Avec Sd1 = somme magique = somme de la diagonale magique, et Sd2 = somme de la diagonale non-magique, Franck a cherché des carrés ayant le meilleur ratio possible Sd1/Sd2 ~ 1.

En utilisant une méthode de Lee Morgenstern pour trouver des carrés presque magiques 3x3 de carrés avec des sommes proches, voici un des carrés impressionnants calculé par Frank Rubin:

Sd1 = 1890006405715707401173356334328966702876471825085875343146504267674569
Sd2 = 1890006405715707267778636165444057741201927206436686602706450141117123

Sd1/Sd2 = 1.0000000000000000705... Très proche de 1... Et Sd1/Sd2 = 1 serait une solution du problème de carré magique 3x3 de carrés !

Remarquant que la somme magique est un carré (S = Sd1 = 43474203911235768609981537098048163²), je pensais que le carré de Rubin était simplement un membre de la famille de Lucas.
22 janvier 2010, mentionnant mon sentiment à Randall Rathbun, il confirmait, trouvant (p, q, r, s) = (51498645679307420, 68881590670955891, 80839778471595961, 171878882029570731).
Il est hélas connu que cette famille ne peut produire de carrés magique 3x3 de carrés.

 

Reçu le 26 janvier 2010.
Voici la méthode de Lee Morgenstern, utilisée ci-dessus par Frank Rubin en mai-juillet 2009 pour des carrés presque magiques 3x3 de carrés avec des sommes proches. Cette méthode utilise la formule de Hillyer des triangles de Pythagore ayant des aires égales, et la formule de Newton pour trouver la racine d'un polynome :

Reçu les 2 et 3 mars 2010.
Randall Rathbun a fait une sérieuse tentative pour résoudre l'énigme #1, recherche d'un carré magique 3x3 ayant 7 entiers carrés, différent du seul exemple connu. Il a créé plus de 116.000.000 de carrés magiques ayant 6 entiers carrés, analysant si leurs 7ème, 8ème ou 9ème cellules était un entier carré. Mais hélas, pas de nouvelle solution !

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