Dernières recherches sur le problème du "carré magique 3x3 de carrés"


Cette page présente les plus intéressantes études sur les Problèmes ouverts 1 et 2 effectuées après la publication de mon article "Some notes on the magic squares of squares problem" en 2005. Les deux prix correspondants sont toujours à gagner !

Si vous voulez étudier ces problèmes, je vous recommande d'abord FORTEMENT de :

Envoyez-moi vos résultats, ils seront ajoutés si intéressants.


Reçu le 6 mars 2006
Ajai Choudhry, Inde, a construit quelques carrés 3x3 avec 7 sommes correctes, leurs sommes magiques n'étant pas un carré. Par exemple :

Intéressant, parce que la plupart des carrés 3x3 avec 7 sommes correctes proviennent de la famille Lucas, dans laquelle la somme magique est un carré. Le premier exemple ayant une somme magique non carrée avait été construit par Michael Schweitzer (Fig MS4 de l'article du M.I.). Il serait très intéressant de trouver une solution paramétrique avec une somme magique non carrée, générant ainsi un nombre infini de carrés 3x3. Avec une telle nouvelle solution paramétrique, il devrait être facile de tester mathématiquement si cette famille peut, ou ne peut pas, produire une solution avec 8 sommes magiques. Comme c'est le cas de la famille Lucas, hélas prouvée incapable de produire 8 sommes magiques.


Reçu le 10 octobre 2006
Message de Randall Rathbun, USA, sur le Problème ouvert 2 :

Plusieurs années avant ce problème 2, Randall avait déjà travaillé sur le défi de Gardner (=notre problème 1). C'était en 1999, voir ici :


Reçus les 5, 13, 23 novembre 2006
Jean-Claude Rosa, France, a construit ce carré semi-magique 3x3 (avec 6 sommes correctes) utilisant seulement des nombres impairs. Intéressant, puisque la plupart des carrés semi-magiques 3x3 utilisent à la fois des nombres pairs et impairs. Etrange : dans cet exemple le plus petit possible, tous les nombres utilisés sont des carrés de nombres premiers.

En utilisant ces 3 triangles pythagoriques primitifs ayant la même aire :

il a construit ce carrés 3x3 (avec 7 sommes correctes) utilisant seulement des nombres impairs. 6 de ses 9 nombres sont des carrés de nombres premiers.

Et utilisant d'autres triangles pythagoriques ayant la même aire, il a produit cet autre carré (avec 7 sommes correctes) utilisant seulement des nombres impairs. La somme magique est plus petite que celle du carré précédent.


Reçu le 30 novembre 2006
Théorème de Lee Morgenstern, USA: "Dans un carré magique 3x3 de carrés distincts, le plus petit carré ne peut pas être 1."


Reçu le 10 décembre 2006
Seulement quelques jours après Lee Morgenstern, Jean-Claude Rosa a indépendemment prouvé qu'un carré magique 3x3 ne peut pas être construit avec 1 et huit carrés de nombres impairs.


Reçu le 19 décembre 2006
De Lee Morgenstern, USA, élargissant largement sa précédente preuve excluant 1 : "s'il y a un carré magique 3x3 de carrés distincts, alors tous ses nombres doivent être supérieurs à 10^14."


Reçu le 23 décembre 2006
Lorsqu'il était élève en Mathématiques Spéciales à Lyon, au Lycée du Parc, année scolaire 2005-2006, Lucien Pech avait choisi le "carré magique 3x3 de carrés" comme sujet de TIPE = Travaux d'Initiative Personnelle Encadrés. Il a cherché un sablier magique : une telle solution résoudrait le Problème ouvert 2, puisqu'utilisant 7 carrés. Il a utilisé la méthode de Duncan Buell (voir la référence [12], en haut de cette page), mais n'a pas trouvé de solution à ce problème très difficile. Son meilleur résultat est un excellent exemple modulo 2^52, meilleur que l'exemple modulo 2^46 de Duncan Buell.

Lucien Pech, maintenant étudiant à l'ENS Paris (Ecole Normale Supérieure, rue d'Ulm), m'a envoyé cette version révisée de son TIPE:


Reçu le 21 juillet 2007. Mise à jour reçue le 18 octobre 2007.
Après son article publié en 2003 [49] sur le problème des carrés magiques de carrés, Landon Rabern, USA, a cherché un carré magique 3x3 ayant au moins 7 entiers carrés. En utilisant une méthode similaire à mon étude de 2004 [8], il n'a pu trouver aucun nouvel exemple différent du seul exemple connu.

Vous pouvez télécharger et utiliser son application Windows sur tout autre ensemble de cellules centrales, même s'il ne fournit (hélas) aucune explication sur son utilisation : http://landon314.brinkster.net/MagicSearcher.zip. Cette application nécessite le Microsoft .NET Framework. Les codes sources sont fournis.


Reçus les 8 et 12 avril 2008.
De Lee Morgenstern, USA, la formule complète de tous les carrés semi-magiques 3x3 de carrés (meilleure que la formule de Lucas produisant quelque carrés semi-magiques 3x3 de carrés, mais pas tous), et une liste de carrés semi-magiques 3x3 ayant 7 sommes correctes et utilisant des entiers impairs (incluant les deux premiers carrés les plus petits donnés ci-dessus par J.-C. Rosa en 2006) :


Reçu le 6 février 2009.
De Lee Morgenstern, USA : "On sait que la somme magique d'un carré pleinement magique 3x3 doit être égale à trois fois la cellule centrale. Y a-t-il des carrés semi-magiques 3x3 de carrés avec une somme magique de trois fois un carré ? En regardant les résultats publiés, comme ceux de la formule de Lucas, toutes les sommes magiques sont des carrés. Les nouvelles sommes magiques non carrées que vous avez publiées dans votre précédente mise à jour n'étaient pas trois fois un carré. J'ai cherché des carrés semi-magiques 3x3 de carrés et en ai trouvé 20 avec une somme magique qui est trois fois un carré (cherché jusqu'à une somme magique de 3 x 5000²). L'un d'entre eux, le plus petit, avait une somme magique qui était trois fois une des cellules. Puisqu'on peut réarranger lignes et colonnes pour faire un autre carré semi-magique, n'importe quelle cellule peut devenir la centrale. Donc voici mon carré semi-magique 3x3 de carrés ayant une somme magique qui est trois fois la cellule centrale (S = 3 x 1105²). C'est la seule solution connue."

Pour ses 19 autres solutions, la somme magique était trois fois un carré différent de leurs 9 cellules. Leurs sommes (< 3 x 5000²) sont 3 x 1225², 1275², 1533², 1955², 1989², 2125², 2265², 2335², 2345², 2675², 3395², 3485², 3515², 3575², 3655², 3765², 3885², 3995², 4193². Voici l'exemple S = 3 x 1225² :


Reçus du 17 mai au 27 juillet 2009.
Frank Rubin (http://contestcen.com/) a travaillé sur les carrés semi-magiques 3x3 ayant 7 sommes magiques, seulement une diagonale n'étant pas magique. Avec Sd1 = somme magique = somme de la diagonale magique, et Sd2 = somme de la diagonale non-magique, Franck a cherché des carrés ayant le meilleur ratio possible Sd1/Sd2 ~ 1.

En utilisant une méthode de Lee Morgenstern pour trouver des carrés presque magiques 3x3 de carrés avec des sommes proches, voici un des carrés impressionnants calculé par Frank Rubin:

Sd1 = 1890006405715707401173356334328966702876471825085875343146504267674569
Sd2 = 1890006405715707267778636165444057741201927206436686602706450141117123

Sd1/Sd2 = 1.0000000000000000705... Très proche de 1... Et Sd1/Sd2 = 1 serait une solution du problème de carré magique 3x3 de carrés !

Remarquant que la somme magique est un carré (S = Sd1 = 43474203911235768609981537098048163²), je pensais que le carré de Rubin était simplement un membre de la famille de Lucas.
22 janvier 2010, mentionnant mon sentiment à
Randall Rathbun, il confirmait, trouvant (p, q, r, s) = (51498645679307420, 68881590670955891, 80839778471595961, 171878882029570731).
Il est hélas connu que cette famille ne peut produire de carrés magique 3x3 de carrés.


Reçu le 26 janvier 2010.
Voici la méthode de Lee Morgenstern, utilisée ci-dessus par Frank Rubin en mai-juillet 2009 pour des carrés presque magiques 3x3 de carrés avec des sommes proches. Cette méthode utilise la formule de Hillyer des triangles de Pythagore ayant des aires égales, et la formule de Newton pour trouver la racine d'un polynome :


Reçu les 2 et 3 mars 2010.
Randall Rathbun a fait une sérieuse tentative pour résoudre l'énigme #1, recherche d'un carré magique 3x3 ayant 7 entiers carrés, différent du seul exemple connu. Il a créé plus de 116.000.000 de carrés magiques ayant 6 entiers carrés, analysant si leurs 7ème, 8ème ou 9ème cellules était un entier carré. Mais hélas, pas de nouvelle solution !


Reçu le 8 avril 2010.
Intéressante remarque de Lee Sallows sur l'énigme #1 : il est possible de construire un carré magique 3x3 ayant 7 entiers carrés, si l'on permet... allow de SallowS ? ;-)... des entiers de Gauss ! Voici son bel exemple ayant une somme magique nulle, les deux entiers non-carrés étant 6 et -6 :

Quelqu'un peut construire un carré magique 3x3 ayant 8 ou 9 entiers carrés distincts de Gauss ?


Reçu le 15 octobre 2010
Voici la méthode de Lee Morgenstern pour trouver des carrés magiques 3x3 avec 7 entiers carrés distincts. Cette méthode pourrait (peut-être ?) résoudre l'énigme 1.


Reçu le 27 mai 2011
Ant King (www.mathstutoring.co.uk) a construit cette belle solution paramétrique de carrés semi-magiques 3x3 de carrés utilisant une seule variable, et une diagonale seulement n'est pas magique. Puisque sa somme magique est un entier carré [3(1+ 3k + 3k²)²]², cette solution paramétrique ne peut hélas pas produire de carrés magiques de carrés (qui nécessitent une somme magique valant trois fois un entier carré, ou plus exactement trois fois son centre).


Reçu du 15 novembre 2011 au 27 janvier 2012
Lee Morgenstern a envoyé ces remarques et résultats intéressants (en anglais) :

Par exemple, dans l'avant-dernier document, il a élargi la remarque ci-dessus de Lee Sallows sur les entiers de Gauss.
Et dans le dernier document, il a construit un carré magique de carrés modulo 2^90, donc meilleur que les précédents sabliers magiques de carrés de Duncan Buell et Lucien Pech (respectivement mod 2^46 et mod 2^52).


Reçu le 2 mars 2012, mis à jour le 6 mai 2012, à nouveau mis à jour le 21 août 2012
Mike Winkler (www.mikewinkler.co.nf), en utilisant la remarque ci-dessus de fév. 2009 de Morgenstern, a cherché des carrés semi-magiques 3x3 ayant une somme magique qui est trois fois un carré.

Sa recherche avec Delphi s'est faite avec des sommes magiques < 3 x 320000², mais d'une façon non exhaustive. Il a retrouvé 7 des 20 solutions précédemment trouvées par Morgenstern < 3 x 5000², et aussi ces nouvelles solutions plus grosses. Sommes = 3 x 6115², 7395², 8905², 9345², 9565², 9995², 10195², 12725², 13175², 13765², 14825², 15225², 15525², 16185², 18085², 18115², 20085², 22425², 25075², 26571², 28135², 32625², 37635², 41905², 41925², 42415², 44353², 45025², 45435², 49045², 63495², 76075², 77435², 87135², 117725², 123335², 124845², 140675², 141865², 157675², 195925², 196775², 227035², 264265², 319685². Mais pas de nouvelle solution avec une somme trois fois la cellule centrale.


Reçu le 21 janvier 2013
Lee Morgenstern a réutilisé sa méthode envoyée en avril 2008 concernant la liste des carrés presque magiques 3x3 de carrés ayant toutes leurs cellules impaires et 7 sommes correctes. C'est équivalent à trois progressions arithmétiques de 3 carrés ayant des raisons égales. L'idée était de chercher des cas qui satisfont les conditions d'un carré pleinement magique 3x3 de carrés. Les résultats 2008 étaient basés sur deux recherches :

  1. Toutes les progressions arithmétiques à entiers impairs, primitives et agrandies, jusqu'à une raison d = 1.4 x 10^10.
  2. Toutes les progressions arithmétiques primitives jusqu'à d = 10^19.

Ses nouvelles recherches 2013 étendent :

  1. Jusqu'à d = 2.4 x 10^19.
  2. Jusqu'à d = 6.4 x 10^22.

Reçu le 2 juillet et 8 août 2013

Tim S. Roberts, Bundaberg, côte est de l'Australie, auteur de http://unsolvedproblems.org, rappelle qu'un carré magique 3x3 de carrés doit avoir cette forme paramétrique de tout carré magique 3x3 :

Comme exemple, on regardera le modulo 13. Tout entier carré peut avoir seulement une de ces 7 valeurs "autorisées", les résidus quadratiques mod 13: 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12. Si on teste par programme toutes les valeurs possibles (x, y, z) mod 13, les neuf cellules (x+y), (x-y-z), ... (x-y) peuvent être neuf carrés (signifiant qu'aucune d'entre elles n'est égale à une autre valeur que les 7 autorisées) seulement quand (x, y, z) = (x, y, 0) ou (x, 0, z) : on en conclut que y ou z doit être divisible par 13. Aussi équivalent à dire que y*z doit être divisible par 13. Voici les étonnants résultats finaux que j'ai vérifié et légèrement étendus (5 -> 5^2, et 7 -> 7^2) :

Oui, x*y*z doit être divisible par tous les nombres premiers < 40, avec la seule exception de 23.


Reçu du 10 août au 3 septembre 2013

Tim S. Roberts, en utilisant à nouveau la forme paramétrique ci-dessus d'un carré magique 3x3, remarque que :

Etonnant ! Une liste incroyablement longue, où 25 est le premier entier > 1 non présent. On peut étendre sa liste, et dire :

Cela devrait être la liste complète, au total 106 entiers. Tous ces entiers se factorisent avec ces nombres premiers seulement (ou leurs puissances) : 2 (4, 8, 16), 3 (9), 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, 67.
C'est-à-dire tout nombre premier < 70, avec la seule exception de 59. On peut aussi dire que :


Reçu du 18 décembre 2013 au 8 janvier 2014

Mark Underwood, Canada, a envoyé à Tim S. Roberts une intéressante remarque améliorant les résultats ci-dessus : y et z doivent être tous deux divisibles par 24, donc aussi y+z et y-z.  Donc le produit des quatre doit être divisible par 24^4, c'est-à-dire 2^12 * 3^4. Et de plus, au moins un de ces éléments doit être divisible par 16, et au moins un par 9. Ce qui porte à 2^13 * 3^5.

Et si je rajoute ma précédente de remarque de juillet-août 2013 que y*z doit être divisible par 5^2 * 7^2, alors:


Reçu le 6 et 22 février 2014

Lee Morgenstern a à nouveau élargi ses recherches précédentes de janvier 2013 et avril 2008. Pas de solution :

  1. jusqu'à d = 2.4 x 10^21.
  2. jusqu'à d = 6.0 x 10^23, en utilisant 4mn(m²-n²), avec m,n premiers entre eux, un impair, un pair, et n < m < 2^24.

Reçu le 30 juin 2014

Lee Morgenstern a fini trois nouvelles recherches pour un sablier magique, mais n'a trouvé aucune solution.


Reçu le 16 septembre 2014


Reçu du 19 février au 13 mars 2015

Paul Zimmermann, chercheur (INRIA, LORIA, http://www.loria.fr/~zimmerma/), avec deux jeunes étudiants, Paul Pierrat et François Thiriet, ont prouvé ces propriétés modulaires : la somme magique de tout carré magique primitif 3x3 de carrés doit être 3 mod 72, et les cellules carrées doivent être 1 mod 24. Et élargissant les précédentes recherches de Buell et Pech, ils ont trouvé des solutions mod 2^n de carrés magiques 3x3 de 7 carrés, jusqu'à modulo 2^59.

Leur article est disponible ici: http://www.loria.fr/~zimmerma/papers/squares.pdf


Reçu le 25 juillet 2015

Terry Moriarty, Irlande du Nord, a trouvé quelques propriétés des carrés magiques 3x3 de carrés. Par exemple, leurs sommes magiques sont 3 mod 72. Voir http://magicsqr.byethost8.com/


Reçu le 16 avril 2016

En autorisant les nombres imaginaires (voir aussi plus haut), Eddie Guttierez, New Jersey, USA, a trouvé des carrés magiques 3x3 ayant 7 entiers carrés. Par exemple, ce carré de somme magique = 15552:

Voir http://www.oddwheel.com/, avec quelques autres études. Le carré ci-dessus peut être trouvé dans sa "table of contents 0B", 15ème page (ou directement http://www.oddwheel.com/Image_SquareA.html)


Reçu le 18 avril 2016

AMUSANT !!! Matt Parker, un Australien vivant au Royaume-Uni, ancien prof de maths (https://en.wikipedia.org/wiki/Matt_Parker et http://standupmaths.com/), a essayé de résoudre l'énigme #1 (carré magique 3x3 de carrés) à (vidéos YouTube Numberphile de Brady Haran). Dans sa vidéo, 1:02-1:36, il présente aussi la solution de l'énigme #4c (carré magique 7x7 de cubes) trouvée en 2015 par Sébastien Miquel:

Solution invalide..., donc non, je n'ai envoyé aucun prix en euros, ni aucune bouteille de champagne, à Matt! :-)


Reçu le 6 février 2017

Ben Asselstine, Canada, a annoncé son "ensemble d'outils pour chercher et gérer des carrés magiques 3x3 de carrés" librement disponible à http://fituvalu.nongnu.org/. Ce logiciel utilise libgmp (GNU Multiprecision Arithmetic Library) pour calculer sur des gros entiers, et est conçu pour être facilement parallélisable avec GNU Parallel.


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