Carrés bimagiques de nombres premiers


En 1900, Henry E. Dudeney a probablement été le premier à étudier les carrés magiques de nombres premiers : voir plus bas une histoire abrégée de ces carrés. En 2005, parmi les 10 problèmes ouverts de mon article dans The Mathematical Intelligencer, je posais celui-ci :

Bimagique signifie un carré magique restant magique après que ses nombres aient été élevés au carré. Comme première étape, dans le Supplément de cet article, je donnais ce carré CB16 qui avait été préalablement construit en octobre 2004, comme mentionné dans le Puzzle 287 de Carlos Rivera posant le même problème. C'est seulement un carré "semi"-bimagique, signifiant que ses 2 diagonales n'étaient pas bimagiques.

En novembre 2006, j'ai été heureux de construire le premier carré bimagique connu de nombres premiers. Pleinement bimagique, avec ses deux diagonales bimagiques. Le Problème ouvert 4 est ainsi le premier problème résolu sur les dix ! Dans ce carré d'ordre 11, ce sont 121 nombres premiers consécutifs qui sont utilisés, en excluant seulement 2, 3, 523, 641, 677.

Voici les 6 principales étapes de la méthode utilisée :

  1. Choisir l'ordre. Mon idée -pour la beauté supplémentaire- était d'avoir un ordre premier. 2 et 3 sont impossibles. 5, personne ne connaît de carré bimagique quel que soit l'ensemble utilisé de nombres. 7, probablement encore trop petit pour avoir un nombre suffisant de séries bimagiques. 11, hmmm.
  2. Sélectionner avec soin un bon ensemble de 121 nombres premiers, en utilisant des raisonnements modulo.
  3. Avec cet ensemble, calculer les sommes S1 et S2.
  4. Calculer la liste des séries bimagiques de 11 nombres premiers, de l'ensemble sélectionné, ayant les bonnes sommes S1 et S2.
  5. Utiliser ces séries, utiliser des algorithmes combinatoires, et trouver 22 séries que l'on peut croiser et correctement organiser, produisant un carré semi-bimagique.
  6. Presque fini ? Non ! Comme d'habitude pour les carrés magiques, une des plus difficiles étapes, parfois même impossible : trouver DEUX bonnes diagonales en réarrangeant les cellules du carré semi-bimagique. La plupart des carrés semi-bimagiques ne sont pas capables de créer un carré bimagique : j'ai eu besoin de plusieurs centaines de carrés avant de réussir.

Merci à Jaroslaw Wroblewski : il a été la personne la plus rapide à publier mon carré. C'était dans son article "Kwadraty bimagicze" publié dans la revue polonaise MMM = Magazyn Milosnikow Matematyki, numéro 18.

Puisque le problème ouvert 4 est maintenant résolu, je propose un nouveau défi, le but étant de trouver des carrés plus petits :

Nous avons plus haut un carré semi-bimagique d'ordre 4. Voici un carré semi-bimagique d'ordre 10, utilisant 100 nombres premiers consécutifs <= 571, en excluant seulement 2, 3, 5, 547 et 563. Un carré "quasi" bimagique : 10 lignes bimagiques, 10 colonnes bimagiques, 1 diagonale bimagique, l'autre diagonale étant "seulement" magique. Qui construira un carré pleinement bimagique d'ordre 10, ou d'un ordre plus petit ?


Carré magique de nombres premiers, une histoire abrégée

Comme indiqué dans son livre Amusements in Mathematics, page 125, il semble que le premier à avoir discuté du problème de construire des carrés magiques de nombres premiers ait été Henry Ernest Dudeney. C'était dans The Weekly Dispatch des 22 juillet et 5 août 1900. Hélas, à cette époque, "1" était considéré comme un nombre premier. La somme magique 111 de son carré 3x3 est la plus petite possible, en autorisant "1".

Harry A. Sayles a aussi étudié les carrés magiques de nombres premiers, et a probablement été le premier à publier le carré 3x3 correct, n'utilisant pas 1, avec la plus petite somme magique possible 1777. C'était en 1918, dans The Monist, page 142. Rudolph Ondrejka a trouvé plus tard le même carré, rapporté par Joseph M. Madachy en 1966 dans Mathematics on Vacation, page 95 (livre ensuite republié sous un autre titre, Madachy's Mathematical Recreations).

En 1914, Charles D. Shuldham a publié dans The Monist trois intéressants articles sur les carrés magiques de nombres premiers avec de nombreux exemples d'ordres variés, par exemple ce carré magique pandiagonal, page 608 :

André Gérardin, dans Sphinx-Oedipe, a publié différents carrés magiques de nombres premiers à partir de 1916. Par exemple, il donne cette intéressante méthode utilisant des sommes de carrés.

On connaît maintenant de nombreux carrés magiques d'ordres variés, utilisant des nombres premiers. Je mentionne particulièrement les nombreux carrés et cubes d'Allan W. Johnson Jr. publiés dans différents numéros du Journal of Recreational Mathematics, comme par exemple ce carré magique pandiagonal.

Il faut aussi mentionner le fameux carré de Harry L. Nelson, qui a gagné le prix de 100$ offert par Martin Gardner : produire un carré 3x3 de nombres premiers consécutifs. Voir son article dans le Journal of Recreational Mathematics, 1988, pages 214-216.

En 2004, je construisais les plus petits (et premiers connus) carrés magiques de carrés de nombres premiers : voir les carrés CB17 et CB18 du Supplément. Voir aussi le Puzzle 288 de Carlos Rivera.

En 2007, Jaroslaw Wroblewski et Hugo Pfoertner construisaient le premier carré magique connu de cubes de nombres premiers : voir leur carré magique 42x42.

Pour plus d'infos sur les carrés magiques de nombres premiers, voir :

En 2008, Raanan Chermoni et Jaroslaw Wroblewski ont trouvés le premier AP25 connu, une progression arithmétique de 25 nombres premiers :

Avec cet AP25, on peut facilement arranger ses 25 termes et construire ce carré magique pandiagonal de GROS nombres premiers :

Pour les ordres 3 et 4, on peut construire des carrés magiques de nombres premiers encore plus gros, en utilisant les meilleurs AP9 et AP16 connus, état des recherches sur  http://users.cybercity.dk/~dsl522332/math/aprecords.htm

Par exemple, avec le plus gros AP9 connu, calculé en 2012 par Ken Davis et Paul Underwood:

on peut construire un carré magique 3x3 de nombres premiers où le plus gros entier utilisé est ce nombre premier de 1014 chiffres !

Pour plus d'infos sur les carrés magiques de nombres premiers, voir :


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