Cubes magiques multiplicatifs

Qu'est-ce qu'un cube magique multiplicatif ?

Un cube magique multiplicatif est un cube qui est magique en utilisant la multiplication au lieu de l'addition. Les nombres utilisés ne peuvent pas être consécutifs, mais doivent être distincts. Un rappel de quelques définitions, similaires aux cubes additifs :

Il semble que les premiers cubes magiques multiplicatifs aient été publiés en 1913 par Harry A. Sayles dans The Monist en 1913. Cet article a été republié dans le livre Magic squares and cubes de W.S. Andrews, où l'on peut trouver (page 293) deux cubes :

En 2002, Marián Trenkler, Slovaquie, a publié un article sur les carrés et cubes magiques multiplicatifs dans Obzory Matematiky, Fyziky a Informatiky 1/2002 (31), pages 9-16, avec :

Est-il possible de faire mieux ? Cubes des mêmes ordres, mais utilisant des plus petits produits P, ou des plus petits Nb max ? Oui, à la fois pour l'ordre 4 et 5 !

Après avoir étudié les carrés magiques multiplicatifs, voici mes meilleurs résultats sur les cubes, d'ordre 3 à 11, obtenus en janvier 2006 (et mai 2006 pour les cubes magiques d'ordre 6 et 10, et juin 2007 pour un meilleur cube d'ordre 4). Mon but est toujours de minimiser le produit magique et le nb max.

Merci à Edwin Clark, Département Mathématiques, University of South Florida, Etats-Unis, pour ses tests de tous mes cubes multiplicatifs, confirmant qu'ils ont bien toutes les caractéristiques annoncées.

Cubes magiques multiplicatifs d'ordre 3

Il est facile de prouver que tout cube magique multiplicatif d'ordre 3 doit avoir P = (centre)^3. Avec les deux constructions différentes possibles utilisant l'entier 1

on peut produire exactement 4 cubes magiques multiplicatifs différents d'ordre 3 avec le même P = (2·3·5)^3 = 27000 : un cube avec la première construction, et trois avec la seconde construction. Ils utilisent le même jeu d'entiers, mais ils sont "différents" car à partir de n'importe lequel de ces 4 cubes, il est impossible d'obtenir l'un des 3 autres en utilisant uniquement des symétries et rotations.

Il est impossible de construire de meilleurs cubes d'ordre 3 avec un plus petit P. Mais, en utilisant Min nb > 1, il est possible de construire des cubes d'ordre 3 avec des plus petits Nb max (et plus gros P), le plus petit Nb max possible étant 400. Voici quelques exemples avec Nb max < 900 :

Et il est possible de construire des cubes semi-magiques d'ordre 3 utilisant des constantes plus petites. Dans les trois exemples ci-dessous, toutes les lignes, colonnes et piles ont le même produit magique P = 7560, mais quelques-unes de leurs 4 triagonales n'ont pas le même produit : l'exemple de droite est un cube quasi magique, puisque seulement une triagonale est incorrecte !!!

Et ajouter des diagonales magiques ? Pour les cubes multiplicatifs, comme pour les additifs, il est impossible de construire des cubes magiques parfaits d'ordre 3.

Cubes magiques multiplicatifs d'ordre 4

Le cube de Sayles et le cube de Trenkler ont les mêmes caractéristiques : P = 57153600, Nb max = 7560. Est-il possible de construire des cubes d'ordre 4 avec des constantes plus petites ? Oui ! Mes meilleurs cubes ont un P plus de 8 fois plus petit, et un Nb max plus de 18 fois plus petit :

Meilleurs cubes multiplicatifs connus d'ordre 4
P = 6 486 480 et Nb max = 546 (cube de gauche, janvier 2006),
P = 17 297 280 et Nb max = 364 (cube de droite, juin 2007)
Le cube de droite est le meilleur cube connu -de tous les ordres- utilisant les plus petits entiers possibles
(cliquer sur l'image pour agrandir un cube)

Ce sont mes deux meilleurs cubes, mais je ne suis pas sûr d'avoir trouvé les meilleurs cubes possibles. Qui saura construire de meilleurs cubes d'ordre 4 (avec un plus petit P ou un plus petit Nb max) ? Est-il possible de construire un cube magique multiplicatif (de tout ordre !) utilisant des entiers < 364 ? De tout ordre, car on peut remarquer que le Nb max = 364 du cube de droite d'ordre 4 est plus petit que le Nb max = 400 utilisé pour les meilleurs cubes d'ordre 3.
En juillet 2008, Michael Quist a travaillé sur cette énigme #5, et trouvé que tout cube d'ordre 4 doit avoir Nb max ≥ 221 et que tout cube d'ordre 5 (ou plus) doit avoir Nb max ≥ 442. Si l'on suppose que son travail est correct (le lire en anglais ici), et si l'on suppose que tout cube d'ordre 3 doit avoir Nb max ≥ 400, alors le problème se limite à l'ordre 4, et est équivalent à : est-il possible de construire un cube magique multiplicatif, donc d'ordre 4, et ayant 221 ≤ Nb max < 364 ?

Quelques diagonales de mes deux cubes ci-dessus sont magiques, mais pas toutes : à la fois pour les cubes additifs et les cubes multiplicatifs, il est impossible de construire des cubes magiques parfaits d'ordre 4. Mon cube de gauche utilise la construction suivante avec (a, b, c, d, e, f) = (2, 3, 5, 7, 11, 13) :

En janvier 2010, Max Alekseyev, Dept of Computer Science & Engineering, University of South Carolina, a trouvé un autre cube magique d'ordre 4 ayant le même Nb max = 364 que mon cube ci-dessus, mais avec un P plus petit. Aucune de ses 24 petites diagonales ne sont magiques (8 petites diagonales sont magiques dans mon cube), mais ce n'est pas un problème puisque cela n'est pas demandé dans un cube magique : seulement les lignes + colonnes + piles + 4 triagonales doivent être magiques. Un excellent cube construit par Max !

Cubes magiques multiplicatifs d'ordre 5

Le cube de Trenkler publié en 2002 a son produit P = 35286451200, et son Nb max = 2448. Est-il possible construire des cubes d'ordre 5 avec des constantes plus petites ? Oui ! Mon meilleur cube a un P plus de 2 fois plus petit, et un Nb max plus de 2 fois plus petit :

Meilleur cube multiplicatif connu d'ordre 5,
P = 16 761 064 320 et Nb max = 1026
(cliquer sur l'image pour l'agrandir)
 

Toutes ses lignes, colonnes, piles et 4 triagonales sont magiques. Et ce cube a une très belle caractéristique supplémentaire : toutes ses triagonales brisées sont magiques, comme par exemple celle en fond bleu.

Mais hélas ses diagonales ne sont pas magiques : ce n'est pas un cube magique parfait. Il est toutefois possible de construire des cubes magiques parfaits d'ordre 5 : utilisez le premier cube magique (additif) parfait d'ordre 5 construit par Walter Trump et moi-même en 2003, et remplacez chaque nombre n par 2^(n-1). Vous obtenez alors un cube magique parfait multiplicatif... mais très stupide... utilisant des très grands nombres : Nb max = 2^(125-1) = 2,13 · 10^37, et P = 2^310 = 2,09 · 10^93.

Cubes magiques multiplicatifs d'ordre 6

J'ai construit deux cubes:

Ces cubes sont seulement semi-magiques : leurs 4 triagonales ne sont pas magiques.

Puis, en mai 2006, j'ai construit un cube magique avec cette fois 4 triagonales magiques. Cette caractéristique supplémentaire a un coût, plus gros P et Nb max que les cubes semi-magiques précédents :

Il est possible de construire des cubes magiques parfaits d'ordre 6 : utilisez le premier cube magique (additif) parfait d'ordre 6 construit par Walter Trump en 2003, et remplacez chaque nombre n par 2^(n-1). Vous obtenez alors un cube magique parfait multiplicatif... mais très stupide... utilisant des très grands nombres : Nb max = 2^(216-1) = 5,27 · 10^64, et P = 2^645 = 1,46 · 10^194.

Cubes magiques multiplicatifs d'ordre 7

Mes deux meilleurs cubes sont :

Comme le cube magique d'ordre 5 vu plus haut, toutes leurs triagonales brisées et 4 triagonales entières sont magiques, mais leurs diagonales ne sont pas magiques : ce ne sont pas des cubes magiques parfaits. Avec les mêmes P et Nbs max, j'ai réussi à construire des cubes ayant toutes leur diagonales magiques... mais tout en perdant hélas 2 triagonales magiques sur les 4 triagonales.

En gardant les diagonales magiques, j'ai construit deux cubes avec 3 triagonales magiques (maintenant, seulement une triagonale est mauvaise !) mais avec le coût d'utiliser des plus grandes constantes :

et finalement réussi à construire des cubes magiques parfaits avec 4 triagonales magiques, mais avec d'encore plus grandes constantes. Le coût pour obtenir la 4ème triagonale est très élevé !

Mais même avec ses grosses caractéristiques, le cube P = 1,41 · 10^27 est le meilleur cube magique parfait -de tout ordre- utilisant le plus petit produit magique. Qui réussira à construire un cube parfait -de n'importe quel ordre (5, 6, 7,...)- ayant un plus petit produit magique ?

Des cubes parfaits utilisant des plus entiers sont connus : voir mon cube parfait pandiagonal d'ordre 11 avec Nb max = 24 992.

Cubes magiques multiplicatifs d'ordre 8 à 11

Voir le résumé dans la table au début de cette page. Et voir la page sur les cubes magiques multiplicatifs pandiagonaux parfaits.

En souvenir de janvier 2006, date à laquelle ces cubes ont été créés, les deux premiers nombres utilisés dans les cubes d'ordre 10 et 11 sont : "2006" et "1" !

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