Carré magique de cubes de nombres premiers, ordre 42
Carré magique de puissances 4, ordre 44


En 2007, Jaroslaw Wroblewski (Université de Wroclaw, Pologne) et Hugo Pfoertner (MTU Aero Engines, Allemagne) ont résolu deux intéressants et très difficiles problèmes :

  1. premier carré magique connu de cubes de nombres premiers
  2. premier carré magique connu de puissances 4 ayant un ordre plus petit que 243

Leur carré magique #1 résoud un de mes problèmes ouverts publiés dans The Mathematical Intelligencer en 2005. Et leur carré magique #2 améliore nettement le précédent record, leur ordre 44 étant bien plus petit que 243. Voici l'histoire de leurs découvertes, cinq parties dans cette page :


Le premier problème et son contexte

En 2005, je donnais ces premiers carrés magiques connus 4x4 et 5x5 de nombres premiers dans le supplément de mon article sur les carrés magiques de carrés publié dans The Mathematical Intelligencer :

Qu'est-ce qui est plus difficile que des carrés magiques de carrés ? Des carrés magiques de cubes ! C'est pourquoi, parmi les 10 problèmes ouverts publiés dans mon article, je posais celui-ci :

Deux années après sa publication, Wroblewski et Pfoertner seront les premiers à résoudre ce problème !


Le second problème et son contexte

Démarré par Leonhard Euler en 1770 avec son carré magique 4x4 de carrés, et plus tard par Edouard Lucas en 1876 avec sa recherche infructueuse de carrés magiques 3x3 de carrés, le plus petit carré magique possible de n'importe quelle puissance est un problème extrêmement difficile : POUR N'IMPORTE QUELLE PUISSANCE > 1, ON NE SAIT PAS QUEL EST LE PLUS CARRE MAGIQUE POSSIBLE ! On ne sait pas si un carré magique 3x3 de carrés est possible. On ne sait pas si des carrés magiques 4x4 ou 5x5 ou 6x6 ou 7x7 ou 8x8 de cubes sont possibles, et ainsi de suite...

Avant le carré Wroblewski-Pfoertner, le plus petit carré magique de puissances 4 provenait du carré tétramagique 243x243 de Pan Fengchu (voir les records multimagiques) : quand les nombres d'un carré tétramagique sont élevés au carré, ou au cube, ou à la puissance 4, le carré magique reste toujours magique.

Si l'on ne tient pas compte des diagonales (c'est-à-dire rechercher des carrés semi-magiques au lieu des carrés magiques), alors on connaît quelques réponses à la question des plus petits possibles. Par exemple on connaît des carrés semi-magiques 3x3 de carrés, et des carrés semi-magiques 4x4 de cubes. Concernant notre problème ici avec des puissances 4, on connaît des carrés semi-magiques 4x4, 8x8, 9x9.

L'écart entre les plus petits carrés semi-magiques et magiques de puissances 4 était incroyablement grand : 4x4 contre 243x243. Ma question posée dans ce site était :

Wroblewski et Pfoertner seront les premiers à résoudre ce problème !


Le travail de Wroblewski sur des solutions semi-magiques

 Jaroslaw Wroblewski (Wroclaw 1962 -)
jouant pendant la "LVII Olimpiada Matematyczna" de Pologne, en 2006. Cliquer sur l'image pour l'agrandir.

Jaroslaw Wrobleski & Jean-Charles Meyrignac ont été l'équipe gagnante du concours de programmation de Al Zimmermann de mars-mai 2007 nommé "recherche de carrés multiplicatifs pandiagonaux Kurchan". Ils ont gagné les trois parties du concours : voir http://www.recmath.org/contest/Kurchan/index.php. Précédemment, en février 2006, Jaroslaw Wrobleski avait été la première personne capable de construire un carré bimagique plus petit que 8x8 : un résultat attendu depuis longtemps, depuis 1890 ! Voir son carré bimagique 6x6.

Réutilisant son code gagnant du concours de Zimmermann, mais modifié pour les deux problèmes décrits plus haut, il a réussi à produire deux carrés semi-magiques, le 6 juin 2007. Comme il le dit, c'est une "conséquence du concours".

Voici quelques-uns de ses commentaires sur la méthode utilisée pour S42.TXT :

Ces carrés semi-magiques ne sont pas des carrés magiques. Qui sera capable de trouver deux diagonales magiques ? Ce difficile problème sera résolu par Hugo Pfoertner.


Le travail final de Pfoertner sur les diagonales

 Hugo Pfoertner (Rosenheim 1950 -)
Photo à une conférence conference de la Research and Technology Organization de l'OTAN, Budapest, 2005. Cliquer sur l'image pour l'agrandir.

Comme Jaroslaw Wroblewski, Hugo Pfoertner a aussi été un excellent compétiteur des trois parties du même concours Al Zimmermann : ses classements finaux sont 13ème (partie maximale), 5ème (partie minimale), et 4ème (partie Kurchan). Hugo est employé dans l'équipe de recherche et développement de MTU Aero Engines, Allemagne. Pendant son temps libre, il aime résoudre des problèmes mathématiques à l'aide d'ordinateurs : voir www.pfoertner.org.

Trouver deux diagonales magiques dans un carré semi-magique est un difficile problème. Imaginez qu'il y a 44! = 2.66*10^54 diagonales possibles dans un carré semi-magique 44x44, et que la probabilité de découvrir deux diagonales qui se croisent et qui ont la somme correcte, aussi grosse que 123784061778806 pour le 44x44, est extrêmement faible.

Hugo Pfoertner a démarré sur le plus petit carré, 42x42, et a réussi un mois plus tard à trouver deux bonnes diagonales, le 9 juillet : le premier problème était résolu ! Pour ce premier carré, le temps total de CPU a été de quatre semaines sur jusqu'à dix CPUs (Itanium-2 ou Pentium 3.4GHz).

Et le 8 octobre 2007, je recevais ce message d'Hugo :

Hugo Pfoertner remercie son employeur, MTU Aero Engines, pour lui avoir laissé l'accès à ces importantes ressources de calcul.

http://www.mtu.de/en/index.html


Les solutions avec les deux carrés magiques

Voici les deux excellents et impressionnants carrés de Wroblewski-Pfoertner :

Avec leur premier carré, mon Problème ouvert 6 est maintenant résolu. Et avec leur second carré, la table des records vue ci-dessus peut maintenant être mise à jour :

Mais peut-être que d'autres personnes essaieront d'améliorer leurs résultats, avec des carrés plus petits que 44x44 ou 42x42 ? Si oui, envoyez-moi un message !

Comme conclusion (temporaire ?), quelques remarques de Jaroslaw:

IMPORTANT! L'état ci-dessus de 2007 a maintenant changé, avec de nouveaux plus petits carrés magiques de cubes, puissances 4 et puissances 5 ! Voir ici.


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