Carrés bimagiques et trimagiques pandiagonaux

Un carré magique pandiagonal est un carré magique qui a une propriété supplémentaire: toutes ses diagonales brisées sont magiques. Beaucoup de carré magiques pandiagonaux d'ordres variés sont connus. Les plus petits carrés magiques pandiagonaux sont d'ordre 4. Parmi les 880 différents carrés magiques d'ordre 4, seulement 48 sont pandiagonaux. Voici l'un d'eux :

Un carré magique pandiagonal

3	6	15	10
16	9	4	5
2	7	14	11
13	12	1	8

Dans le carré ci-dessus, les deux diagonales 3+9+14+8 et 10+4+7+13 ont la somme correcte 34. Mais aussi les diagonales brisées, comme par exemple 10+16+7+1, 15+5+2+12, 6+4+11+13,...

Il est plus difficile de créer un carré magique pandiagonal qui est également un carré bimagique. Le premier a été publié en 1903 par Gaston Tarry, dans le Compte-Rendu de la 32ème Session (Angers) de l'AFAS :

Dans le carré ci-dessus d'ordre 8 de Tarry :

• les lignes, les colonnes, les deux diagonales classiques, et les diagonales brisées sont magiques
• les lignes, les colonnes, les deux diagonales classiques sont bimagiques... MAIS seulement deux diagonales brisées sont bimagiques.

En janvier-février 2012, Francis Gaspalou a énuméré les carrés obtenus par la méthode ci-dessus de Tarry : voir le fichier PDF de Gaspalou (en anglais), ainsi que son étude de la méthode de Coccoz ici.
En octobre-novembre 2013, Holger Danielsson a travaillé sur dix autres familles similaires de carrés 8x8, aussi inventées par Tarry : voir le fichier PDF #1 de Danielssson (en anglais) et le fichier PDF #2 (liste de carrés).

1939: A pandiagonal magic square with all its broken diagonals bimagic,
by H. Schots, Belgium

1	2	60	59	7	8	62	61
15	40	32	49	9	34	26	55
18	42	45	21	24	48	43	19
54	27	35	12	52	29	37	14
64	63	5	6	58	57	3	4
50	25	33	16	56	31	39	10
47	23	20	44	41	17	22	46
11	38	30	53	13	36	28	51

1939: Un carré magique pandiagonal avec toutes ses diagonales brisées bimagiques,
par H. Schots, Belgique

1	2	60	59	7	8	62	61
15	40	32	49	9	34	26	55
18	42	45	21	24	48	43	19
54	27	35	12	52	29	37	14
64	63	5	6	58	57	3	4
50	25	33	16	56	31	39	10
47	23	20	44	41	17	22	46
11	38	30	53	13	36	28	51

Dans le carré ci-dessus d'ordre 8 de Schots :

• les lignes, les colonnes, les deux diagonales classiques, et les diagonales brisées sont magiques
• les deux diagonales classiques et les diagonales brisées sont bimagiques... MAIS les lignes et les colonnes ne sont PAS bimagiques !
   

Le carré ci-dessus d'ordre 18 construit par Su Maoting en 2000 est un très intéressant carré bimagique pandiagonal avec toutes ses diagonales brisées bimagiques... MAIS c'est un carré magique non-normal : il utilise des nombres non consécutifs.

• Télécharger le carré ci-dessus en fichier Excel (42Ko)

 Su Maoting

Six années plus tard, en février 2006, Su Maoting était le premier à réussir à construire un carré normal bimagique pandiagonal, utilisant des entiers consécutifs et ayant toutes ses diagonales brisées bimagiques. Beaucoup de personnes (moi y compris...) pensaient que ce problème était peut-être impossible. Un difficile problème posé depuis plus d'un siècle. Félicitations ! Son carré est d'ordre 32. Su Maoting a 45 ans, et vit dans la province de Fujian, en Chine. Il travaille dans une société de transports automobiles.

• Télécharger le premier carré pandiagonal bimagique connu (fichier Excel, 137Ko)

Est-il possible de construire un carré bimagique pandiagonal plus petit que l'ordre 32 utilisé par Su Maoting? Si vous avez quelques résultats sur ce problème, envoyez-moi un message ! Je serai heureux de rajouter vos résultats dans cette page. Voir aussi quelques autres problèmes multimagiques non résolus.

En février-avril 2009, Li Wen, Chine, a construit d'autres carrés normaux bimagiques pandiagonaux d'ordres plus grands :

• Télécharger le carré pandiagonal bimagique d'ordre 77 de Li Wen (fichier Excel zippé, 211Ko)
• Télécharger les carrés pandiagonaux bimagiques d'ordre 91 et 125 de Li Wen (fichier Excel zippé, 70Ko)

et en février 2009, Li Wen était le premier à réussir à construite un carré non-normal TRImagique pandiagonal, toutes ses diagonales brisées sont trimagiques. Ses 156816 entiers utilisés sont distincts mais non consécutifs : l'entier maximal utilisé est 278259381. Et une incroyable propriété supplémentaire : c'est aussi un carré PENTAmagique, ce qui signifie que ses lignes, colonnes et deux diagonales principales sont magiques jusqu'à la puissance 5 !!! Li Wen était déjà célèbre en construisant en 2003 son carré pentamagique d'ordre 729, qui est toujours aujourd'hui le carré normal pentamagique le plus petit connu (voir les records multimagiques).

• Télécharger le carré non-normal pandiagonal trimagique, et carré pentamagique, de Li Wen (fichier Excel zippé, 693Ko)

En 2011, Chen Kenju, Li Wen, et Pan Fengchu ont publié "A family of pandiagonal bimagic squares based on orthogonal arrays" dans le Journal of Combinatorial Designs, Vol. 19, Numéro 6, Novembre 2011, p. 427-438. Voici leur résumé :

In this article we give a construction of pandiagonal bimagic squares by means of four-dimensional bimagic rectangles, which can be obtained from orthogonal arrays with special properties. In particular, we show that there exists a normal pandiagonal bimagic square of order n⁴ for all positive integer n ≥ 7 such that gcd(n,30) = 1, which gives an answer to problem 22 of Abe in [Discrete Math 127 (1994), 3–13].

La même année, Pan Fengchu a construit des carrés pandiagonaux bimagiques d'ordre n ≥ 32 avec pgcd(n,72) = 1 ou 9:

• Télécharger les carrés pandiagonaux bimagiques de Pan Fengchu des ordres 32, 40, 56, 64, 72, 80, 88, 104, 112, 128, 136, 144, 152, 160, 176, 184, 200, 208, 216, 224, 232, 248, 256 (fichier Excel zippé, 1,7Mo)

En 2012, Li Wen, Wu Dianhua, et Pan Fengchu ont publié "A construction for doubly pandiagonal magic squares" dans Discrete Mathematics, Vol. 312, Numéro 2, 28 janvier 2012, p. 479-485. Voici leur résumé :

In this note, a doubly magic rectangle is introduced to construct a doubly pandiagonal magic square. A product construction for doubly magic rectangles is also presented. Infinite classes of doubly pandiagonal magic squares are then obtained, and an answer to problem 22 of [G. Abe, Unsolved problems on magic squares, Discrete Math. 127 (1994) 3] is given.

"Doubly magic" signifie ici "bimagique". la partie important de leur article est ce théorème :

Theorem 1.3. For each integer n ≥ 1, and (p, q) ∈ E = {(11, 7), (13, 7), (19, 7), (13, 11), (17, 11)}, there exists a doubly pandiagonal magic square of order (pq)ⁿ.

Cela explique par exemple pourquoi les carrés ci-dessus d'ordre 77 = 11*7 et 91 = 13*7, construits par Li Wen en 2009, sont possibles.

En 2015, Li Wen a construit un carré pandiagonal bimagique d'ordre 385. Difficile de construire de tels carrés d'ordre pqr, avec p, q, r premiers différents ! Ici 385 = 5*7*11.

• Télécharger le carré bimagique pandiagonal d'ordre 385 de Li Wen (fichier Excel, 1Mo)

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