Les plus petits carrés magiques multiplicatifs possibles



Quels sont les plus petits carrés multiplicatifs possibles ?

En septembre 2005, Ed Pegg Jr., auteur du site MathPuzzle, posait la question : "Existe-t-il une liste des plus petites constantes pour carrés multiplicatifs NxN pour divers N ?"

Etrangement, il semble qu'aucune liste n'ait jamais été publiée. Après la question posée par Ed, j'ai immédiatement étudié la question et vous trouverez dans ce site la réponse à la question de Ed : les listes 3x3, 4x4, 5x5, 6x6, 7x7, et encore plus d'information... Beaucoup de nouveaux résultats: par exemple, le plus petit P=302400 pour carrés 5x5 est nouveau, trouvé en septembre 2005. Il semble que tous les exemples de carrés multiplicatifs 5x5 publiés auparavant étaient plus gros.

Merci à Ed pour sa question très intéressante !  Après les premières réponses à sa question, Ed a écrit un intéressant article dans sa rubrique Math Games de MAA Online :

Merci à Dan Asimov, Michael Kleber, Richard Schroeppel, et David Wilson pour leurs idées. Et merci à Edwin Clark, Don Reble, et Günter Stertenbrink pour leurs tests de mes grands carrés multiplicatifs, confirmant qu'il avaient toutes les propriétés annoncées.


Qu'est-ce qu'un carré magique multiplicatif ?

C'est un carré qui est magique en utilisant la multiplication au lieu de l'addition.

Un carré magique "multiplicatif" est très facile à construire à partir d'un carré magique "additif" standard, en utilisant les nombres du carré magique additif comme puissances d'un entier fixé. Par exemple :

Quand on ajoute les nombres de tout alignement du carré de gauche, on obtient toujours le même nombre (ici 12). Quand on multiplie les nombres de tout alignement du carré de droite, on obtient toujours le même nombre (ici 4096). Le carré multiplicatif d'ordre 3 de droite a été publié par Antoine Arnauld dans Nouveaux Eléments de Géométrie, Paris, en... 1667... il y a bien longtemps !

Quelques propriétés des carrés multiplicatifs :

Je recommande le livre Magic squares and cubes de W.S. Andrews republié par Dover en 1960 : il contient en pages 283-294 un excellent article sur les carrés multiplicatifs écrit par Harry A. Sayles, article qui avait été initialement publié dans The Monist en 1913. Des exemples variés de carrés magiques multiplicatifs sont donnés. Quelques-uns sont dans cette page, référencés par Sayles[page dans le livre d'Andrews, numéro de la figure]. Par exemple, le carré ci-dessus P=4096 peut aussi être trouvé dans ce livre : Sayles[284, 510]. Et je recommande le vieux magazine français Les Tablettes du Chercheur, année 1893, dans lequel G. Pfeffermann a publié différents carrés multiplicatifs présentés en grilles à compléter.


Les plus petits carrés multiplicatifs d'ordre 3

Comme la méthode de construction vue ci-dessus utilise des puissances, les nombres générés sont gros. Il est possible de construire des carrés 3x3 avec des produits magiques plus petits que 4096. Sayles a publié en 1913 deux exemples :

J'ai découvert en 2006 que G. Pfeffermann a publié de nombreux carrés 3x3 multiplicatifs 20 ans avant Sayles: il a publié 17 carrés en 1893! Ces carrés étaient des jeux, comme ses premiers carrés bimagiques 8x8 et 9x9. Ses neuf premiers carrés multiplicatifs 3x3 étaient les suivants, incluant le plus petit P=216. Réussirez-vous à les remplir ?

En 1917, dans son livre Amusements in Mathematics, Henry E. Dudeney a également publié le carré P=216. On peut remarquer que ces carrés peuvent être générés avec la même méthode :

Avec a=2 et b=3, on obtient le carré P=216. Avec a=2 et b=5, on obtient le carré P=1000.

Comme déjà prouvé dans un article publié en 1983 dans Discrete Mathematics par Debra K. Borkovitz (actuellement au Wheeklock College, Boston, USA) et Frank K.-M. Hwang (actuellement National Chiao Tung University, Taiwan), le produit magique minimum pour carrés multiplicatifs 3x3 est 216. En 2005, juste après la question posée par Ed, voici une autre -et très courte- preuve donnée par Rich Schroeppel :

Si l'on ne tient pas compte des diagonales, voici le plus petit carré semi-magique possible. Cela n'était pas demandé, mais une diagonale (pas l'autre diagonale) a aussi le bon produit P :

Et maintenant, voici la liste des plus petits produits magiques demandés par Ed :

Pour plus de termes : voir la liste 3x3 référencée en oct. 2005 sous le numéro A111029 dans la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.

Parmi les 17 carrés (3x3) publiés par G. Pfeffermann en 1893, les 10 plus petits produits P ci-dessus étaient déjà tous présents. Excellente analyse faite il y a plus d'un siècle !

Ma formule plus haut avec P = a3b3 est la formule complète en nombres rationnels normalisés. Voici la belle formule complète en entiers construite par Lee Morgenstern en décembre 2007, où ab = cd. Toutes les solutions peuvent être obtenues à partir de cette formule en réduisant les 9 nombres par le même entier. Dans une solution non réduite, les 3 nombres au milieu des côtés sont toujours des carrés.


Les plus petits carrés multiplicatifs d'ordre 4

En 1893, G. Pfeffermann a publié un carré pandiagonal d'ordre 4 comme un jeu, de façon habituelle pour lui. Compléter le carré ci-dessus P=28224 avec les nombres 2, 3, 4, 6, 8, 12, 14, 21, 28, 42, 56, 84. Les nombres dans les quatre quarts, ainsi que dans le carré central 2x2, doivent aussi avoir le même P. Y arriverez-vous ? G. Pfeffermann a donné 3 solutions, mais comme remarqué par Philippe Deléham en octobre 2014, son problème a 6 solutions.

En 1913, Sayles a publié divers exemples de carrés d'ordre 4 : P = 5040, 7560, 11760, 14112, 14400, 21000, 2985984. Dans leur article de Discrete Mathematics publié en 1983, Borkovitz et Hwang ont prouvé que le produit magique minimum pour carrés multiplicatifs 4x4 (non-pandiagonaux) est 5040, et ont donné un exemple différent de celui de Sayles.

Ces 2 carrés peuvent être construits en multipliant les cellules de deux carrés latins (les deux carrés générant un carré eulérien), et en utilisant deux ensembles différents de nombres (A, B, C, D) et (a, b, c, d). Par exemple, le carré de Sayles peut être construit ainsi :

et l'exemple de Borkovitz & Hwang peut être construit avec la même méthode, mais en utilisant d'autres carrés latins et d'autres ensembles : (1, 2, 3, 6) et (1, 4, 5, 7).

Sayles a également publié un carré multiplicatif magique pandiagonal, pandiagonal signifiant que toutes les diagonales brisées donnent aussi le même produit magique. Comme le carré 4x4 précédent de Pfeffermann, c'est également un carré magique plus-que-parfait ("most-perfect") : tous ses sous-carrés 2x2 ont le même produit magique.

En 1957, Ronald B. Edwards, Rochester (NY, Etats-Unis) http://geniimagazine.com/magicpedia/Ronald_B._Edwards, a publié dans Scripta Mathematica (Vol XXII, p.202) un très étonnant carré multiplicatif d'ordre 4. Quand on écrit tous ses nombres à l'envers, on obtient encore un carré multiplicatif d'ordre 4 !!! Un carré si étonnant ! De plus, son produit magique 4558554 est un nombre palindrome. Et l'on peut encadrer le carré pour obtenir un carré additif 6x6.

Quelle a été la méthode utilisée pour le construire, il y a 50 ans, sans le moindre ordinateur ? En février 2015, Claude Bégin, Boucherville (Québec, Canada), remarque que le carré multiplicatif d'Edwards peut s'obtenir avec la méthode de construction déjà vue plus haut en utilisant ces deux carrés latins : (A, B, C, D) = (x1, x2, x3, x4) = (23, 11, 13, 21) et (a, b, c, d) = (x5, x6, x7, x8) = (2, 3, 11, 1). De plus, si on écrit chacun de ces huit nombres xi = 10ui + vi, avec 0 ≤ ui ≤ 9 et 1 ≤ vi ≤ 9, puisque xi*xj = (10ui + vi)*(10uj + vj) = 100uiuj + 10(uivj + ujvi) + vivj, chaque nombre du carré multiplicatif final peut être écrit à l'envers parce que, pour chaque 1 ≤ i ≤ 4 et pour chaque 5 ≤ j ≤ 8, on a :

On peut maintenant calculer d'autres exemples. Le plus petit produit générant 16 entiers distincts s'obtient avec (A, B, C, D) = (1, 2, 11, 12) et (a, b, c, d) = (1, 3, 4, 13), donnant P = ABCDabcd = 41184. Le plus grand produit s'obtient avec (2, 11, 12, 21) et (31, 32, 33, 41), donnant P = 7441023744. Le plus petit produit palindrome s'obtient avec (1, 2, 11, 22) et (1, 3, 4, 12), donnant P = 69696. Plusieurs autres produits palindromes sont possibles, le plus grand palindrome étant obtenu avec (1, 11, 12, 21) et (11, 22, 32, 41), donnant ce carré :

Les principaux résultats de ma recherche de 2005 sont :

Pour plus de termes : voir la liste 4x4 référencée en oct. 2005 sous le numéro A111030 dans la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.

En décembre 2007, Lee Morgenstern donne cette formule complète en nombres rationnels normalisés des carrés magiques multiplicatifs 4x4. Elle nécessite 7 termes. Par exemple (a, b, c, d, e, f, g) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) donne la plus petite solution P=5040 de Sayles (voir son carré plus haut).

A partir de cette première formule, voici son raisonnement produisant l'autre formule plus loin en nombres rationnels normalisés des carrés 4x4 multiplicatifs magiques pandiagonaux :

To be pan-magic, the 6 pan-diagonals must be magic:
(1) (ce)(c)(d)(ade) = aabcdefg
(2) (adf)(ae)(acg)(ab) = aabcdefg
(3) (abg)(bf)(f)(g) = aabcdefg
(4) (ae)(abe)(ab) = aabcdefg
(5) (d)(g)(ce)(bf) = aabcdefg
(6) (cf)(adf)(adg)(acg) = aabcdefg

Cancelling terms simplifies to
(1a) cde = abfg
(2a) aa = 1
(3a) bfg = acde
(4a) abe = cdfg
(5a) 1 = aa
(6a) acdfg = be

(5a) matches (2a).  After substituting a = 1,
(6a) matches (4a) and (3a) matches (1a).

(1b) cde = bfg
(2b) a = 1
(4b) be = cdfg

Substituting e = cdfg/b from (4b) into (1b) simplifies to
(1c) b = cd

Substituting (1c) into (4b) simplifies to
(4c) e = fg

Therefore, 3 terms are eliminated from the general 4x4 to produce a pan 4x4.
Substituting a = 1, b = cd, e = fg into the formulation


Les plus petits carrés multiplicatifs d'ordre 5

In 1893, G. Pfeffermann a publié deux exemples de carrés pandiagonaux d'ordre 5 : P=665280 et 1182720. Une info supplémentaire donnée par Pfeffermann sur le carré P=1182720 : les nombres manquant sont 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11. Y arriverez-vous ?

En 1913, Sayles a publié deux exemples de carrés d'ordre 5 : P = 362880 et 720720. Et Dudeney un exemple plus gros P=60466176. Voici le plus petit exemple de Sayles qui peut être construit avec deux carrés latins (qui forment un carré eulérien), et qui est pandiagonal :

Les principaux résultats de ma recherche de 2005 sont :

Pour plus de termes : voir la liste 5x5 référencée en oct. 2005 sous le numéro A111031 dans la On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.

En décembre 2007, Lee Morgenstern donne cette formule complète en nombres rationnels normalisés des carrés magiques multiplicatifs 5x5. Elle nécessite 14 termes. Par exemple, avec s = t = u = v = w = x = y = z = 1, et avec e = f = a, on obtient ma formule précédente où P = a6b3c2d.

En février-mars 2015, en élargissant la méthode 4x4 Edwards-Bégin aux carrés 5x5, et en utilisant la construction eulérienne 5x5 ci-dessus, on peut construire plusieurs carrés, par exemple celui-ci avec (A, B, C, D, E) = (1, 2, 3, 11, 12) et (a, b, c, d, e) = (12, 13, 21, 22, 23) :

Le plus petit produit possible s'obtient avec (1, 2, 11, 12, 21) et (1, 3, 4, 13, 14) donnant P = 12108096, le plus grand avec (2, 3, 11, 12, 21) et (21, 23, 31, 32, 33) donnant P = 262976668416. Contrairement aux carrés 4x4, il semble impossible d'obtenir un produit palindrome.


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