MULTIMAGIE.COM - Plus petit carré magique additif-multiplicatif

Quel est le plus petit carré magique additif-multiplicatif (ou addition-multiplication) possible ? 5x5, 6x6, 7x7, ou 8x8 : aujourd'hui personne ne sait !

Rappel : un carré magique additif-multiplicatif doit être magique quand on additionne les cellules de n'importe quel alignement (même somme S), et doit aussi être magique quand on multiplie les cellules de n'importe quel alignement (même produit P). Tous les entiers utilisés doivent être distincts. Les plus petits carrés magiques additifs-multiplicatifs sont des carrés 8x8 et 9x9, construits pour la première fois par Walter Horner dans les années 50. En 2005, je construisais d'autres carrés 8x8 et 9x9 mais avec de plus petits produits magiques et de plus petites sommes magiques que les carrés de Horner : ils sont toujours les meilleurs carrés magiques add-mult connus.

Voici l'état du sujet, la plupart des résultats ≤ 7 venant de Lee Morgenstern, USA.

Les carrés semi-magiques et magiques sont impossibles. Voici la démonstration donnée par Lee Morgenstern.

*Premiers carrés additifs-multiplicatifs connus*
Ordre	Semi-magique	Magique
3	Impossible. L. Morgenstern (2007)
4	L. Morgenstern (2007)	Impossible. L. Morgenstern (2007)
5	Inconnu !
6
7	Inconnu !
8	premier connu par W. Horner (1955), meilleur connu par C. Boyer (2005)
9	premier connu par W. Horner (1952), meilleur connu par C. Boyer (2005)
≥ 10	Voir cette page et sa table

Duplication Lemma
Given
     a + b = c + d
and
     ab = cd,
then
     c = a or c = b.

Proof
Use the 2nd equation and set d = ab/c. Substitute this into the 1st equation to get
     a + b = c + ab/c
or
     c(a + b) = c^2 + ab
or
     (c - a)(c - b) = 0.

Thus c = a or c = b.

Theorem
A 3x3 add-mult semi-magic square of distinct entries is impossible.

Proof
Suppose the following is a 3x3 add-mult semi-magic square.
     a b M
     N P c
     Q R d

Because the square is additive semi-magic, we have
a + b + M = M + c + d
or
(1) a + b = c + d.

Because the square is multiplicative semi-magic, we have
abM = Mcd
or
(2) ab = cd.

From (1) and (2) and the Duplication Lemma, all 3x3 add-mult semi-magic squares must have duplicate entries.

Corollary
A 3x3 add-mult magic square of distinct entries is impossible.

Les carrés semi-magiques add-mult 4x4 sont possibles. Lee Morgenstern a trouvé 54 exemples semi-magiques avec un Nb max < 256, les meilleurs possibles étant :

2007: carré semi-magique
add-mult 4x4,
**Plus petit Nb max = 110**,
S = 325, P = 39 916 800,
par L. Morgenstern
110	72	63	80
64	105	66	90
81	88	100	56
70	60	96	99

2007: carré semi-magique add-mult 4x4, Nb max = 156,
Plus petit S = 247,
Plus petit P = 3 369 600,
par L. Morgenstern
156	18	48	25
30	144	60	13
16	20	130	81
45	65	9	128

Mais les carrés magiques add-mult 4x4 sont impossibles, comme prouvé ci-dessous par Lee.

Theorem
A 4x4 add-mult magic square of distinct entries is impossible.

Proof
Suppose the following is a 4x4 add-mult magic square.
     a M N b
     P Q R S
     T U V W
     X c d Y

Because the square is additive magic, we have
     (1) a + M + N + b = X + c + d + Y,
     (2) a + Q + V + Y = M + Q + U + c,
     (3) b + R + U + X = N + R + V + d.

Add (1), (2), and (3), cancel common terms, and divide by 2,
(4) a + b = c + d.

Because the square is multiplicative magic, we have
     (5) aMNb = XcdY
     (6) aQVY = MQUc
     (7) bRUX = NRVd

Multiply (5), (6), and (7),
MNQRUVXY(ab)^2 = MNQRUVXY(cd)^2
or
(8) ab = cd.

From (4) and (8) and the Duplication Lemma, all 4x4 add-mult magic squares must have duplicate entries.

On ne sait pas si les carrés magiques add-mult 5x5 sont possibles. Mais les carrés semi-magiques add-mult 5x5 sont possibles. Lee Morgenstern a trouvé 20 exemples semi-magiques avec un Nb max < 276. Voici le carré ayant le plus petit Nb max possible :

Cet autre carré a une très intéressante propriété supplémentaire : c'est aussi un carré additif panmagique, les sommes de toutes les diagonales brisées donnant encore le même S.

2007: carré semi-magique add-mult 5x5,
**Plus petit Nb max = 182**, S = 476,
P = 3 424 861 440,
par L. Morgenstern
60	66	132	182	36
33	112	52	99	180
72	110	176	27	91
168	26	81	80	121
143	162	35	88	48

2007: carré semi-magique add-mult 5x5,
et carré additif panmagique,
Nb max = 190, S = 520,
P = 8 216 208 000,
par L. Morgenstern
95	176	108	91	50
144	57	65	100	154
70	78	190	110	72
156	125	77	48	114
55	84	80	171	130

2007: carré semi-magique add-mult 5x5,
Nb max = 208, Plus petit S = 444,
Plus petit P = 926 640 000,
par L. Morgenstern
208	20	110	25	81
11	195	80	108	50
75	30	180	16	143
60	144	65	165	10
90	55	9	130	160

Mais son tout meilleur carré est cet autre. Meilleur qu'un carré semi-magique add-mult, puisqu'il a en plus une diagonale magique additive-multiplicative (et toujours 5 lignes magiques add-mult, et 5 colonnes magiques add-mult). Très proche d'un carré magique add-mult 5x5 !

2007: carré **presque** magique add-mult 5x5, Nb max = 220, S = 570,
P = 6 810 804 000,
seulement une diagonale non magique add-mult
par L. Morgenstern
105	182	40	198	45
78	216	66	175	35
220	42	65	63	180
140	55	189	30	156
27	75	210	104	154

Résultats de la recherche faite par Lee Morgenstern en 2007 : il n'y a pas d'exemple magique avec un Nb max < 276.
Et résultats de ma propre recherche de février 2009 : il n'y a pas d'exemple magique avec un Nb max < 1000 et P < 10^9 * cellule centrale.

Qui sera le premier à construire un carré magique add-mult 5x5 ? Ou à prouver que c'est impossible ?

En 2005, j'ai construit un carré magique multiplicatif 6x6 avec des propriétés add-mult partielles : ses 6 lignes sont additives-multiplicatives. En 2007, Lee Morgenstern a construit les premier carrés semi-magiques add-mult 6x6 connus. Voici ses meilleurs exemples semi-magiques. Le premier carré a en plus une diagonale magique additive. Et le second carré a une diagonale magique additive et une diagonale magic multiplicative.

Intéressante observation sur le précédent carré : il utilise les premiers entiers consécutifs 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Pas complètement sûr que ce carré a le plus petit P possible, mais il a le plus petit P connu.

2007: carré semi-magique add-mult 6x6,
**Plus petit Nb max = 105,**
S = 316, P = 7 264 857 600,
par L. Morgenstern
105	32	42	78	44	15
36	49	60	12	104	55
16	99	84	35	30	52
65	48	11	40	54	98
28	75	39	88	14	72
66	13	80	63	70	24

2007: carré semi-magique add-mult 6x6,
Nb max = 135, **Plus petit S = 289**,
P = 1 596 672 000,
par L. Morgenstern
24	88	18	120	25	14
135	28	64	22	30	10
8	75	45	16	112	33
35	4	80	90	44	36
32	54	77	20	6	100
55	40	5	21	72	96

2007: carré semi-magique add-mult 6x6,
Nb max = 200, S = 327,
**Plus petit P (connu) = 508 032 000**,
par L. Morgenstern
200	42	24	30	28	3
16	160	6	63	75	7
70	10	144	2	56	45
9	21	5	140	32	120
14	4	50	12	135	112
18	90	98	80	1	40

On ne sait pas si des carrés magiques add-mult 6x6 sont possibles. Le second carré ci-dessus (Plus petit S = 289) a 13 sommes correctes sur 14, et 13 produits corrects sur 14 : total 26 sur 28, pas carré magique additif, et pas carré magique multiplicatif. Voici un carré avec 14 sommes correctes sur 14, et 12 produits corrects sur 14 : toujours 26 sur 28, toujours pas carré magique multiplicatif, mais ce coup-ci carré magique additif !

Résultats de la recherche faite par Lee Morgenstern en 2007 : il n'y a pas d'exemple magique avec un Nb max < 136.

2008: carré semi-magique add-mult 6x6,
et carré magique additif,
Nb max = 156, S = 360, P = 8 491 392 000,
par L. Morgenstern
27	25	156	48	84	20
75	144	18	56	52	15
24	12	45	117	50	112
16	65	21	30	108	120
140	72	40	9	60	39
78	42	80	100	6	54

Qui sera le premier à construire un carré magique add-mult 6x6 ? Ou à prouver que c'est impossible ?

En 2005, j'ai construit un carré magique multiplicatif 7x7 avec des propriétés add-mult partielles : ses 7 lignes sont additives-multiplicatives. On ne connaît pas de carré semi-magique add-mult 7x7. Résultats de la recherche faite par Lee Morgenstern en 2007 : il n'y a pas d'exemple semi-magique avec un Nb max < 91.

Qui sera le premier à construire un carré magique add-mult 7x7 ? Ou à prouver que c'est impossible ?

60	66	132	182	36
33	112	52	99	180
72	110	176	27	91
168	26	81	80	121
143	162	35	88	48

95	176	108	91	50
144	57	65	100	154
70	78	190	110	72
156	125	77	48	114
55	84	80	171	130

105	182	40	198	45
78	216	66	175	35
220	42	65	63	180
140	55	189	30	156
27	75	210	104	154

105	32	42	78	44	15
36	49	60	12	104	55
16	99	84	35	30	52
65	48	11	40	54	98
28	75	39	88	14	72
66	13	80	63	70	24

24	88	18	120	25	14
135	28	64	22	30	10
8	75	45	16	112	33
35	4	80	90	44	36
32	54	77	20	6	100
55	40	5	21	72	96

200	42	24	30	28	3
16	160	6	63	75	7
70	10	144	2	56	45
9	21	5	140	32	120
14	4	50	12	135	112
18	90	98	80	1	40

27	25	156	48	84	20
75	144	18	56	52	15
24	12	45	117	50	112
16	65	21	30	108	120
140	72	40	9	60	39
78	42	80	100	6	54

60	66	132	182	36
33	112	52	99	180
72	110	176	27	91
168	26	81	80	121
143	162	35	88	48

95	176	108	91	50
144	57	65	100	154
70	78	190	110	72
156	125	77	48	114
55	84	80	171	130

105	182	40	198	45
78	216	66	175	35
220	42	65	63	180
140	55	189	30	156
27	75	210	104	154

105	32	42	78	44	15
36	49	60	12	104	55
16	99	84	35	30	52
65	48	11	40	54	98
28	75	39	88	14	72
66	13	80	63	70	24

24	88	18	120	25	14
135	28	64	22	30	10
8	75	45	16	112	33
35	4	80	90	44	36
32	54	77	20	6	100
55	40	5	21	72	96

200	42	24	30	28	3
16	160	6	63	75	7
70	10	144	2	56	45
9	21	5	140	32	120
14	4	50	12	135	112
18	90	98	80	1	40

27	25	156	48	84	20
75	144	18	56	52	15
24	12	45	117	50	112
16	65	21	30	108	120
140	72	40	9	60	39
78	42	80	100	6	54

60	66	132	182	36
33	112	52	99	180
72	110	176	27	91
168	26	81	80	121
143	162	35	88	48

95	176	108	91	50
144	57	65	100	154
70	78	190	110	72
156	125	77	48	114
55	84	80	171	130

105	182	40	198	45
78	216	66	175	35
220	42	65	63	180
140	55	189	30	156
27	75	210	104	154

105	32	42	78	44	15
36	49	60	12	104	55
16	99	84	35	30	52
65	48	11	40	54	98
28	75	39	88	14	72
66	13	80	63	70	24

24	88	18	120	25	14
135	28	64	22	30	10
8	75	45	16	112	33
35	4	80	90	44	36
32	54	77	20	6	100
55	40	5	21	72	96

200	42	24	30	28	3
16	160	6	63	75	7
70	10	144	2	56	45
9	21	5	140	32	120
14	4	50	12	135	112
18	90	98	80	1	40

27	25	156	48	84	20
75	144	18	56	52	15
24	12	45	117	50	112
16	65	21	30	108	120
140	72	40	9	60	39
78	42	80	100	6	54