Carrés magiques additifs-multiplicatifs d'ordre 10 et plus

Après les carrés magiques additifs-multiplicatifs des ordres 8-9 (aussi appelés carrés magiques addition-multiplication, ou encore plus court "add-mult"), quid des carrés plus gros ?

• 1955, dans Scripta Mathematica, Walter W. Horner, USA, concluait son article sur l'ordre 8 en mentionnant que sa "méthode peut être utilisée pour construire un carré magique addition-multiplication d'ordre 16". Mais hélas il n'a pas publié un tel carré et il semble peu clair de voir comment sa méthode peut le construire.
• 1992, dans le Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing, l'équipe chinoise Liang Peiji, Sun Rongguo, Ku Tunghsin et Zhu Lie a publié une méthode construisant tout carré magique add-mult d'ordre mn, où m et n sont des entiers positifs différents de 1, 2, 3, et 6. Cela signifie que leur méthode devrait être capable de construire des carrés magiques add-mult des ordres 16, 20, 25, 28, 32, 35,... Le seul exemple publié est un carré ayant ces caractéristiques :
• Ordre = 20, S = 42210, P = 3,69e+60, NbMax = 8020
• 1996, dans le Journal of Statistical Planning and Inference, une autre équipe chinoise Zhu Jiacheng, Sun Rongguo et Cheng Murong a publié un carré magique add-mult avec la méthode :
• Ordre = 18, S = 114400, P = 1,59e+63, NbMax = 24208
• 1997, dans le Journal of Central China Normal University, encore une autre équipe chinoise Yu Fuxi, Sun Rongguo and Zhang Guiming a publié un carré magique add-mult d'ordre 24 avec sa méthode. Merci à Zhu Lie, School of Mathematical Sciences, Suzhou University, qui m'a informé de cet article ! Zhu Lie est un des auteurs de l'article ci-dessus de 1992.
• Mai 2006, Su Maoting, Chine, a construit un meilleur carré que celui de Peiji-Rongguo-Tunghsin-Lie, "meilleur" car ayant de plus petits S, P et NbMax :
• Ordre = 20, S = 9460, P = 1,77e+49, NbMax = 1944
• Décembre 2008 et janvier 2009, j'ai reçu plusieurs carrés magiques add-mult de Mohamad Moosavi, Islamic Azad University of Rasht, Iran :
• Ordre = 16, S = 6120, P = 6,31e+37, NbMax = 1424
• Ordre = 20, S = 21000, P = 2,50e+55, NbMax = 4060
• Ordre = 25, S = 42055, P = 1,32e+75, NbMax = 6725
• Télécharger les carrés add-mult des ordres 16, 20, 25 de Mohamad Moosavi (fichier Excel, 35Ko)
• Janvier 2009, j'ai construit des carrés add-mult d'ordres variés, améliorant les ordres ci-dessus 16, 18, 25 (plus petits S, P, MaxNb), et 20 (partiellement, seulement un plus petit NbMax), mais aussi construisant des carrés des nouveaux ordres 10, 12, 14, 15, 21. Remerciements à Eric W. Weisstein, MathWorld, Joshua Zucker, Julia Robinson Mathematics Festival, et W. Edwin Clark, Math Dept, University of South Florida, pour leurs tests de mes carrés.
• Et en février 2009, j'ai continué avec les ordres 27, 28, 30, 32 et... 1024 ! Le but de ce dernier carré, qui a un produit magique de 8356 chiffres (P = 9.94E+8355), est seulement de prouver que les très gros carrés add-mult sont possibles. Tous ces carrés peuvent être téléchargés plus bas. Merci encore à Joshua Zucker et W. Edwin Clark pour leurs tests. De bons packages mathématiques en multiprécision étaient nécessaires pour pouvoir tester des produits de plus de 8000 chiffres !

Par exemple voici mon carré semi-magique add-mult d'ordre 10, les deux diagonales étant magiques multiplicatives mais hélas pas magiques additives :

Janvier 2009 : premier carré semi-magique add-mult d'ordre 10,
S = 25200,  P = 3,11e+29, NbMax = 9520

160	8568	966	2160	15	345	5616	546	1224	5600
420	7452	350	5040	6256	3536	720	10	324	1092
8505	1560	208	8211	2240	64	357	80	2760	1215
276	238	288	3510	3120	1200	6210	2016	8330	12
2808	100	240	272	189	1323	9520	5520	260	4968
832	2700	180	8	1071	7497	280	4140	7020	1472
9384	42	972	130	4160	1600	230	6804	1470	408
315	2080	7072	1449	7560	216	63	2720	3680	45
2380	2208	9450	3780	184	104	540	270	96	6188
120	252	5474	640	405	9315	1664	3094	36	4200

Je ne suis pas pleinement satisfait de ce carré parce que les deux diagonales ne sont pas magiques additives, et parce que les nombres sont gros. Qui construira un carré add-mult pleinement magique d'ordre 10 ? (et si possible avec de plus petits entiers !).

Voici un autre exemple de mes carrés magiques add-mult. Ce coup-ci les deux diagonales sont magiques add-mult, et les nombres sont relativement petits :

Janvier 2009 : meilleur carré magique add-mult connu d'ordre 16,
S = 5338, P = 1,61e+37, NbMax = 992

1	496	148	130	246	159	357	86	285	540	406	484	276	793	531	400
220	116	432	19	50	413	183	138	286	518	620	15	688	459	689	492
510	645	451	742	481	312	16	558	472	25	115	244	87	264	38	378
854	253	375	590	486	304	528	377	212	205	43	408	434	2	156	111
108	133	132	174	305	92	200	59	992	9	338	444	583	574	430	765
222	78	7	124	51	344	164	265	348	572	171	864	885	250	322	671
225	944	732	299	616	319	810	190	301	102	318	123	104	185	62	8
533	636	816	387	10	930	407	364	69	366	118	175	152	54	145	176
416	333	806	12	473	714	530	615	88	203	162	114	125	236	488	23
228	702	261	704	345	610	826	275	6	186	259	52	41	424	204	215
371	82	258	153	248	5	26	296	549	368	300	767	756	209	660	290
177	150	46	427	232	44	95	216	663	516	656	477	370	390	11	868
435	440	266	594	708	325	207	976	37	208	4	310	306	129	287	106
682	14	260	555	848	369	559	612	270	76	352	29	122	161	75	354
184	61	295	100	57	324	58	308	410	795	561	602	13	744	592	234
172	255	53	328	182	74	372	3	350	649	915	230	396	464	648	247

Table des carrés magiques add-mult connus

"Problem 6.3. For what orders n do addition-multiplication magic squares exist?"
Jószef Dénes (1932-2002) et A. Donald Keedwell, Latin Squares and their Applications (1974), page 489.

"Many unsolved problems are stated, some classical, some due to the authors, and even some proposed by the writer of this foreword."
Paul Erdös, préface (foreword) du livre ci-dessus de Dénes - Keedwell book (1974) , page 5.
     
A gauche : A. Donald Keedwell (Londres 1928 - ) en 1979,
A droite: Paul Erdös (Budapest 1913 - Varsovie 1996) en 1992. 

Dans ce livre de Dénes - Keedwell, les carrés add-mult 8x8 et 9x9 de Horner sont publiés pages 215-216 et le problème 6.3 cité ci-dessus est posé. Je n'ai pas la réponse complète à ce problème de Dénes - Keedwell - Erdös, mais en voici une réponse partielle avec un résumé des meilleurs carrés magiques add-mult connus, que vous pouvez télécharger avec le fichier Excel ci-dessous. Quand leur livre a été publié, seulement les ordres 8 et 9 étaient connus. On peut remarquer que les ordres p et 2p (où p est un nombre premier) sont difficiles à obtenir.

Table des meilleurs carrés magiques additifs-multiplicatifs connus

Ordre	Carré	S	P	NbMax	(**)
3..7	Voir ici
8	Magique (voir ici)	600	5.14E+13	225	2
9	Magique (voir ici)	784	2.99E+15	261	2
10	Semi-magique	25200	3.11E+29	9520	1
11	Inconnu
12	Semi-magique	8280	2.02E+30	2562	1
13	Inconnu
14	Semi-magique	58800	5.93E+46	14976	2
15	Semi-magique	4176	6.34E+33	885	2
16	Magique	5338	1.61E+37	992	1
17	Inconnu
18	Magique	30030	9.97E+52	5848	2
19	Inconnu
20 (*)	Magique	9460	1.77E+49	1743	2
21	Semi-magique	12892	2.73E+54	1953	2
22	Inconnu
23	Inconnu
24 (*)	Magique	55890	1.50E+77	6402	1
25	Magique	25025	1.76E+70	3025	3
26	Inconnu
27	Magique	27888	7.53E+75	3753	2
28	Magique	37200	4.98E+81	4321	2
29	Inconnu
30	Magique	53968	3.69E+90	7037	1
31	Inconnu
32	Magique	60852	4.97E+98	6400	1
1024 (***)	Magique	274878169600	9.94E+8355	1072694272	1

Tous ces meilleurs carrés connus des ordres ≥ 8 par Christian Boyer, nov. 2005 (8-9) et jan.-fév. 2009 (≥ 10),
(*) excepté celui d'ordre 24 par Yu Fuxi - Sun Rongguo - Zhang Guiming, 1997, et un des deux d'ordre 20 par Su Maoting, mai 2006.
(**) Les plus petits S, P, et NbMax peuvent apparaître séparément dans 1, 2 ou 3 carrés différents du même ordre.
(***) Ce carré d'ordre 1024 est seulement un exemple prouvant que de très gros ordres sont possibles. D'autres gros ordres sont possibles.
(****) Si vous réussissez à obtenir un plus petit P, ou un plus petit S, ou un plus petit NbMax, ou un nouvel ordre, envoyez-moi un message ! Je serai heureux d'ajouter vos résultats dans ce site.

Télécharger les meilleurs carrés magiques add-mult connus des ordres ≥ 8 (fichier Excel, 215Ko)
 
Télécharger le carré add-mult d'ordre 1024 (fichier texte zippé, 5Mo)
   Télécharger les 8356 chiffres de son produit P = 9.94E+8355 (fichier texte, 100 chiffres par ligne, 9Ko)
   Télécharger la factorisation de son produit P = 2^1023 * 3^1021 * 5^508 * 7^338 * 11^204 * 13^169 * ... * 1038337 (Fichier texte, 10Ko)

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