Carrés magiques multiplicatifs pandiagonaux

Les carrés magiques multiplicatifs pandiagonaux sont des carrés magiques multiplicatifs avec la caractéristique supplémentaire de "pandiagonalité" : toutes leurs diagonales brisées sont aussi magiques, même produit magique que les autres lignes, colonnes, et 2 grandes diagonales.

Un carré magique multiplicatif 3x3 est impossible. La plus petite taille est 4x4 :

1913: Plus petit magique pandiagonal 4x4, P=14 400,
NbMax = 120,
par Harry Sayles

1	24	10	60
30	20	3	8
12	2	120	5
40	15	4	6

Vous pouvez vérifier par exemple que 10*8*12*15 = 8*120*15*1 = 14 400.

Comme pour tous les carrés multiplicatifs, pandiagonaux ou non, le principal intérêt (et jeu !) est de construire les carrés utilisant les nombres les PLUS PETITS possibles et/ou produisant les plus petits produits possibles. La recherche sur ces carrés pandiagonaux est détaillée dans les autres pages multiplicatives de ce site : 4x4, 5x5, 6x6, 7x7, 8x8, 9x9, 10x10, 11x11,... Par exemple, le meilleur exemple 6x6 connu ayant le plus petit produit connu est :

2006: carré multiplicatif pandiagonal 6x6,
P = 2 985 984 000 000,
Nb max = 4 800

5	720	160	45	80	1440
4800	12	150	192	300	6
9	400	288	25	144	800
320	180	10	2880	20	90
75	48	2400	3	1200	96
576	100	18	1600	36	50

Plus petit produit connu... mais pas certain que ce soit LE plus petit possible pour 6x6. Il a aussi des propriétés additionnelles dans ses sous-carrés, carré "plus-que-parfait, et 3x3", comme résumé dans la table ci-dessous.
 

Meilleurs carrés magiques multiplicatifs PANDIAGONAUX connus
(voir aussi la table des plus petits produits magiques possibles des carrés magiques multiplicatifs)

Ordre	Plus petit produit connu	Plus petit NbMax connu	Propriétés additionnelles (**)	Auteur (***)	Année
3	Impossible
4	(*) 14 400	120	plus-que-parfait	(a)	1913
5	(*) 362 880	54
6	2 985 984 000 000	4 800	plus-que-parfait, et 3x3	(b)	2006
	85 766 121 000 000	4 410	plus-que-parfait, et 3x3
7	8 821 612 800	136			2005
	17 643 225 600	119
8	42 074 422 790 400	546	4x4	(c)	2007
	398 337 730 560 000	528	4x4
9	294 451 250 429 952 000	1 760
10	26 480 706 717 104 640 000	1 617	5x5
	393 968 065 240 189 440 000	850	5x5
11	160 986 670 580 736 000 000	580	aussi meilleur multiplicatif	(b)	2005
	1 441 031 935 035 813 120 000	341	aussi meilleur multiplicatif
12	29 036 169 945 908 051 705 856 000 000	55 440	plus-que-parfait	(c)	2007
13	89 740 731 621 866 637 312 000 000	740	aussi meilleur multiplicatif	(b)	2005
	1 259 162 176 578 813 217 751 040 000	546	aussi meilleur multiplicatif
14	61 242 221 119 253 958 615 896 064 000 000	3 480	7x7	(c)	2007
15	32 030 091 312 206 494 919 248 937 189 376 000 000 000 000 000	1 587 600	3x3 et 5x5	(b)	2006
16	1 865 789 581 791 785 139 922 532 277 874 750 134 681 600 000 000	1 081 080	plus-que-parfait
17	136 260 600 278 658 342 262 589 318 529 024 000 000	1 272	aussi meilleur multiplicatif		2005
	5 170 296 729 462 351 156 714 529 991 349 043 200 000	1 003	aussi meilleur multiplicatif

• (*) Ces carrés 4x4 et 5x5 sont prouvés être les plus petits pandiagonaux 4x4 et 5x5 possibles. Mais pour tous les autres carrés (6x6 ou plus), la question est ouverte. Si vous réussissez à obtenir un plus petit produit (ou plus petit nb max), envoyez-moi un message ! Vos résultats seront ajoutés dans ce site.
• (**) Propriétés additionnelles :
• plus-que-parfait = most-perfect = tous les sous-carrés 2x2 ont le même produit
• 3x3, 4x4, 5x5, ou 7x7 = tous les sous-carrés 3x3, 4x4, 5x5 ou 7x7 ont le même produit
• aussi meilleur multiplicatif = ces 6 carrés pandiagonaux sont aussi les meilleurs carrés connus de tous les carrés multiplicatifs : personne ne connaît de carré magique non-pandiagonal des ordres 11, 13, 17 avec de plus petits produits ou de plus petits nbs max
• (***) Auteur :
• (a) Harry A. Sayles, en 1913
• (b) Christian Boyer, en 2005-2006
• (c) Jaroslaw Wroblewski et Christian Boyer, en 2007

• Télécharger les meilleurs exemples connus des carrés magiques multiplicatifs pandiagonaux des ordres 3 à 17 (fichier Excel zippé de 102Ko)

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