Séries multimagiques pour carrés
Voir aussi les séries multimagiques pour cubes

Comme nous l'avons vu pour le plus petit carré bimagique et le plus petit carré trimagique, il peut être intéressant, pour essayer de construire un carré p-multimagique de taille nxn, de trouver l'ensemble des séries p-multimagiques d'ordre n, c'est-à-dire des séries de n entiers différents compris entre 1 et n², ayant la bonne somme magique, bimagique,... jusqu'à p-multimagique.

L'ordre 4 est le plus petit ordre permettant d'obtenir des séries bimagiques. Voici ces 2 séries bimagiques, qui sont aussi étonnamment trimagiques :

Cela signifie donc que :

  1. 15 + 9 + 8 + 2 = 14 + 12 + 5 + 3 = 34 = S1
  2. 152 + 92 + 82 + 22 = 142 + 122 + 52 + 32 = 374 = S2
  3. 153 + 93 + 83 + 23 = 143 + 123 + 53 + 33 = 4624 = S3

Pour l'ordre 5, il y a 8 séries bimagiques dont la liste est donnée dans la page du Plus petit carré bimagique.

Voici un tableau récapitulatif du nombre de séries magiques, certaines listes étant téléchargeables sous la forme de fichiers Excel, entre 28Ko et 800Ko chacun. Pour l'ordre 12, les nombres des séries trimagiques, tétramagiques et pentamagiques ont été sympathiquement communiqués par Walter Trump, Allemagne. En 2004, les nombres de Walter Trump ont été confirmés par Fredrik Jansson, Finlande. Et Fredrik est allé plus loin : il est le premier à avoir calculé le gros nombre de séries bimagiques d'ordre 12, et le nombre de séries multimagiques d'ordre 13 (sauf les séries bimagiques d'ordre 13).

Nouveaux résultats sur les séries bimagiques, entre juillet et octobre 2005, en provenance d'Allemagne :

En avril 2008, Michael Quist, USA, a calculé les nombres de séries tétramagiques et pentamagiques d'ordre 16. Et en mai 2008, il a calculé le nombre de séries trimagiques d'ordre 15 (et a aussi confirmé le nombre de séries trimagiques d'ordre 13 précédemment calculé par Fredrik Jansson). Puis en août 2008, il a calculé le nombre de séries bimagiques des ordres 18, 19 et 20 (et a aussi confirmé le nombre de séries bimagiques des ordres inférieurs déjà calculés).

L'ordre 12 est donc le plus petit ordre permettant d'obtenir des séries tétra et pentamagiques. Sur les 106 séries tétramagiques, 4 sont de plus pentamagiques. Elles sont toutes symétriques gauche/droite, c'est-à-dire i-ème nombre + (13-i)ème nombre = 12² + 1 = 145.

Quel est le plus petit ordre permettant d'obtenir des séries hexamagiques ?

Les séries bimagiques, trimagiques, tétramagiques et pentamagiques sont référencées respectivement sous les numéros A052457, A052458, A090037 et A106646 dans l'Encyclopedia of Integer Sequences de Neil Sloane, AT&T Research.

Voir aussi le sujet "Multimagic Series" dans le World of Mathematics d'Eric Weisstein, Wolfram Research.

En avril-mai 2005, Walter Trump avait calculé une estimation du nombre de séries magiques variées, dont les séries bimagiques d'ordre 13 à 20, en utilisant des méthodes Monte Carlo. Plus de détails à http://www.trump.de/magic-squares/magic-series/index.html. Les nombres exacts de séries bimagiques, calculés après son estimation (voir plus haut), sont très proches : sa méthode d'estimation est prouvée excellente !

En janvier 2006, Robert Gerbicz, Hongrie, a prouvé qu'il n'y a pas de série tétramagique d'ordre 15. Voici sa preuve.

Les sommes magiques sont :

S4==15 mod 16. Puisque (2x+1)^4==1 mod 16 et (2x)^4==0 mod 16, les 15 nombres doivent être impairs.

Soit a(k)=2b(k)+1 (où chaque b(k) est un entier) et T1=somme(b(k), k=1..15), T2=somme(b(k)^2, k=1..15), et ainsi de suite...

Par le théorème du binôme, on a :

Il est facile de résoudre ce système linéaire d'équations :

Il y a une contradiction. Puisque x==x^4 mod 2, il devrait y avoir T1==T4 mod 2 : mais T1 est pair et T4 est impair !

Il n'y a donc pas de série tétramagique (et pentamagique, hexamagique...) pour carrés d'ordre 15.

En juillet 2008, Jaroslaw Wroblewski, Pologne, a prouvé qu'il n'y a pas de série hexamagique d'ordre 17. Voici sa preuve.

A partir de S4=1(mod 17) on conclut que les séries doivent contenir 17 termes impairs, ou un terme impair et 16 termes pairs.

***** Dans le cas de 17 termes impairs, chacun de la forme 4k+1 (où k peut être négatif), en notant Ki la somme des puissances i des k, on obtient

soit encore

ce qui donne une contradiction sur la parité de K1. Il n'y a donc pas de série tétramagique dans ce cas.

***** Dans le cas de 1 terme impair de la forme 4k+1 (où k peut être négatif) et 16 termes pairs de la forme 2p, en notant Pi la somme des puissances i des p, on obtient à partir des équations de S2 et S4, respectivement:

Comme P2 et P4 ont la même parité, k doit être impair, notons k = 2m. On obtient à partir de l'équation sur S6 :

ce qui nous permet d'écrire m=4r. On obtient à partir des équations de S2 et S6 :

Puisque P2=P6(mod 4), on peut noter r=4q. Maintenant le terme impair de la série magique est égal à 128q+1, q = -2,-1,0,1,2.

A partir de l'équation sur S4, qui prend cette forme

on conclut que P4 est divisible par 32 et puisque P4 = P6 (mod 8), P6 est divisible par 8.

L'équation sur S6 donne :

Cela force q à être impair, c'est-à-dire q doit valoir plus ou moins 1.

Dans le cas q=1 on obtient :

Dans le cas q=-1 on obtient :

Dans chaque cas P4 est divisible par 16, ce qui signifie que tous les p sont impairs ou que tous sont pairs. Toutefois P6 n'est pas divisible par 64, ce qui exclut la possibilité de tous les p impairs. Notons p=4x+1 (x étant un entier de tout signe).

A partir des équations sur S2 et S4 on obtient pour q=1:

et pour q=-1:

Dans chacun des cas il y a une contradiction mod 4.

Et toujours en juillet 2008, Jaroslaw Wroblewski a prouvé qu'il n'y a pas de série hexamagique d'ordre 19. Voici sa preuve.

S4(mod 16)=7, implique que toute série doit avoir 7 termes impairs et 17 pairs, de la forme 4k+1 et 2p respectivement. Alors les équations sur S2, S4, S6 donnent :

La dernière équation indique un K1 pair, et donc P2 et P4 ont une contradiction de parité, ce qui prouve qu'il n'y a pas de série hexamagique d'ordre 19.

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