Séries multimagiques pour cubes
Voir aussi les séries multimagiques pour carrés

Comme nous l'avons vu pour le plus petit cube bimagique, il peut être intéressant, pour essayer de construire un cube p-multimagique d'ordre n, de trouver l'ensemble des séries p-multimagiques d'ordre n, c'est-à-dire des séries de n entiers différents compris entre 1 et n³, ayant la bonne somme magique, bimagique,... jusqu'à p-multimagique (= S1, S2,... Sp):

• S1 = n(n³ + 1)/2
• S2 = n(2n⁶ + 3n³ + 1)/6
• S3 = n(n⁹ + 2n⁶ + n³)/4 = n² S1²
• S4 = n(6n¹² + 15n⁹ + 10n⁶ - 1)/30

L'ordre 3 permet d'obtenir des séries bimagiques. Voici les 4 séries bimagiques possibles :

• 3       19      20
• 4       15      23
• 5       13      24
• 8        9       25

Cela signifie donc que :

1. 3 + 19 + 20 = 4 + 15 + 23 = 5 + 13 + 24 = 8 + 9 + 25 = 42 = S1
2. 3² + 19² + 20² = 4² + 15² + 23² = 5² + 13² + 24² = 8² + 9² + 25² = 770 = S2

Pour l'ordre 4, il y a 8 séries bimagiques dont la liste est donnée dans la page du Plus petit cube bimagique.

Voici un tableau récapitulatif du nombre de séries magiques, certaines listes étant téléchargeables sous la forme de fichiers Excel, entre 44Ko et 540Ko chacun. Les nombres des séries bimagiques d'ordre 9 et 10 ont été calculées par Walter Trump, Allemagne, en octobre 2005. Le nombre des séries trimagiques d'ordre 9 a été calculé par Gildas Guillemot, France, en décembre 2006 ensuite confirmé par Michael Quist, USA, en mai 2008.

Nombre de séries multimagiques pour cubes

Ordre	Bimagique	Trimagique	Tétramagique
3	4	0	0
4	8	0	0
5	272	0	0
6	25 270	(*)  0	0
7	5 152 529	161	0
8	1 594 825 624	17 218	0
9	651 151 145 259	363 949	(**)  0
10	347 171 191 981 324	(*)  0	0
11	Inconnu ! Voir les problèmes non résolus

(*) Les séries trimagiques d'ordre 4k+2 sont impossibles : il est impossible d'avoir S3 pair avec S1 impair et S2 impair.
(**) Courte et belle preuve de Robert Gerbicz, Hongrie, en janvier 2006. "Pour l'ordre 9, la somme tétramagique est S4=510.118.152.189==13 mod 16. Mais (2*x+1)^4==1 mod 16 et (2*x)^4==0 mod 16 : cela signifie qu'au moins 13 nombres impairs sont nécessaires. Impossible avec seulement 9 nombres !"

Les séries bimagiques et trimagiques sont référencées respectivement sous les numéros A090653 et A092312 dans l'Encyclopedia of Integer Sequences de Neil Sloane, AT&T Research.

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