Carrés magiques 13x13 à 31x31 de cubes
Carrés magiques 15x15 de puissances 4
Carrés magiques 16x16 de puissances 4
Carrés magiques 16x16 de puissances 5
Carrés magiques 25x25 de puissances 5
Voir aussi la page générale des Carrés magiques de cubes

Carrés magiques 13x13 à 31x31 de cubes consécutifs

Mai-juin 2018, très impressionnant : Nicolas Rouanet, France, a construit les premiers carrés magiques connus de cubes consécutifs (utilisant 1^3 à (n²)^3) pour ces 17 ordres n = 13-15, 17-23, 25-31. Il n'a pas travaillé sur les ordres 12, 16, 24, 32 puisque des carrés trimagiques étaient déjà connus. Et des carrés magiques de cubes consécutifs pour les ordres 8-9 et 10-11 étaient aussi déjà connus.

Carrés magiques 15x15 de cubes
Carrés magiques 15x15 de puissances 4

Les carrés magiques 15x15 de cubes étaient inconnus avant 2018 et les carrés magiques de Rouanet. Afin de construire un carré de cubes non consécutifs, on peut utiliser une méthode similaire à la méthode 6x6 de Morgenstern. Avec ce nombre taxicab(3, 3, 5) :

et avec ce nombre taxicab(3, 5, 8), sans utiliser [2][5][6][7][8]:

on peut construire ce carré semi-magique 15x15 de somme magique S3 = 4053232 * 14697, avec NbMax = (150 * 22)^3. En utilisant la méthode taxicab, c'est la plus petite solution possible (plus petit S3, plus petit NbMax) produisant 15*15 = 225 entiers distincts. Ce carré peut être téléchargé : voir à la fin de cette page. Voici le carré, avec les cellules réarrangées afin d'avoir une diagonale magique, deux diagonales étant hélas impossibles. Deux diagonales sont peut-être possibles avec un différent carré utilisant une autre combinaison de nombres taxicab ?

Et pour les puissances 4 ? En utilisant une méthode similaire, avec ce nombre (4, 3, 6) sans utiliser [5]:

et avec ce nombre taxicab(4, 5, 4) sans utiliser [2] :

on peut construire ce carré semi-magique 15x15 de somme magique S4 = 292965218 * 794179, avec NbMax = (127 * 29)^4. En utilisant la méthode taxicab, c'est la plus petite solution possible (plus petit S4, plus petit NbMax) produisant 15*15 = 225 entiers distincts. Ce carré peut être téléchargé : voir à la fin de cette page.

François Labelle en 2010

En septembre 2011, en réarrangeant les cellules de mon carré ci-dessus, François Labelle a réussi à obtenir deux diagonales magiques ! C'est le nouveau plus petit carré magique connu de puissances 4, succédant à son précédent record 16x16. François Labelle, PhD Berkeley, est un Canadien travaillant à Google USA. Sa page personnelle est http://wismuth.com

Ce carré peut être téléchargé : voir à la fin de cette page. Plus de détails sur ce travail : http://wismuth.com/magic/squares-of-nth-powers.html

Carrés magiques 16x16 de puissances 4
Carrés magiques 16x16 de puissances 5

Un carré magique 16x16 de cubes est connu grâce au carré trimagique 16x16 de Chen Mutian - Chen Qinwu, en élevant au cube ses entiers. Ce carré de cubes, construit en 2005, utilise des cubes consécutifs. Mais aucun carré magique 16x16 de puissances 4 n'était connu, que ce soit en utilisant des puissances 4 consécutives ou non. Jusqu'à fin 2010, le plus petit carré magique de puissances 4 était plus gros, obtenu à partir du carré pentamagique 36x36 de Li Wen en élevant ses entiers à la puissance 4.

En décembre 2010, après son carré semi-magique 12x12 de puissances 4, François Labelle a construit un carré magique 16x16 : cela a été le plus petit carré magique connu de puissances 4, avant l'arrivée du carré 15x15 ci-dessus.

Afin de construire un carré semi-magique, en s'inspirant de la méthode 4x4 de Morgenstern, il a utilisé ce nombre taxicab(4, 4, 4) :

et ce nombre taxicab(4, 4, 6), mais sans utiliser [3] et [6]:

En utilisant la méthode taxicab, c'est la plus petite solution possible (plus petit S4, plus petit NbMax) produisant 16*16 = 256 entiers distincts. Puis, il a réarrangé les cellules afin d'obtenir deux diagonales magiques (une tâche difficile !), produisant le carré magique ci-dessous avec S4 = 1950354 * 321793923, et NbMax = (37 * 123)^4. Ce carré peut être téléchargé : voir à la fin de cette page.

En mars 2013, Toshihiro Shirakawa a trouvé une nouvelle méthode de construction de carrés magiques de puissances n d'ordre (2m)4. Avec m=1, ce qui donne l'ordre 16, si

alors ce carré, quand on élève ses cellules à la puissance n, est magique :

En utilisant les quatre plus petits taxicab(4,2,2):

Toshiriro a obtenu un carré magique 16x16 de puissance 4 ayant :

Ce carré, avec des nombres plus gros que le carré précédent de Labelle, peut être téléchargé : voir à la fin de cette page.

Et les carrés magiques 16x16 de puissances 5 ? En juin 2011, Jaroslaw Wroblewski  a cherché des nombres taxicab(5, 4, 4), et a trouvé ce seul exemple utilisant des entiers < 4000^5 :

Puisque l'on a besoin de deux taxicab(5, 4, 4), l'idée est d'essayer "d'améliorer" un des nombreux taxicab(5, 4, 3) en les multipliant par k^6, avec de petits k.
Jaroslaw a trouvé 4124 taxicab(5, 4, 3) avec entiers < 4000^5. En utilisant le 388ème :

et en le multipliant par 6^5, une nouvelle décomposition apparaît, donnant cet autre taxicab(5, 4, 4) :

Comme ces deux taxicab(5, 4, 4) génèrent 256 entiers distincts, on a maintenant un carré semi-magique de puissances 5 ! Ce carré peut être téléchargé : voir à la fin de cette page. François Labelle a aussi obtenu en juin 2011 le second nombre taxicab, en utilisant la même méthode, mais n'a pas obtenu le premier (~1.07e+17) parce que sa recherche à ce moment-là était inférieure à 6e+16.

Carrés magiques 25x25 de puissances 5

Le plus petit carré magique connu de puissances 5 est un 36x36, obtenu à partir du carré pentamagique 36x36 de Li Wen en élevant ses entiers à la puissance 5.

Afin de battre ce record et de construire un carré magique plus petit de puissances 5, une méthode est de produire deux nombres taxicab(5, 5, 5). Avec cette méthode, il est extrêmement difficile d'obtenir 25*25 = 625 entiers distincts, mais voici une solution ! Sauf erreur, c'est la seule solution utilisant deux nombres taxicab < 1,03e+13.

Le carré semi-magique produit par ces nombres a S5 = 8086892107975 * 10235797246718, et NbMax = (367 * 392)^5.

Ce carré peut être téléchargé : voir à la fin de cette page.
Est-il possible de réarranger ses cellules, et d'obtenir deux diagonales magiques ? Cela pourrait devenir le nouveau plus petit carré magique de puissances 5 !

En mai 2011, François Labelle a calculé les nombres taxicab jusqu'à 5.56e+13, et a trouvé ces deux nombres :

Il génèrent un carré semi-magique avec 625 entiers distincts, avec le plus petit possible S5 = 4.75e+25 et le plus petit possible NbMax = 125715^5. Donc meilleur que ma solution dessus S5 = 8.28e+25 et NbMax = 143864^5.

Télécharger les carrés de cette page sauf les carrés Rouanet, téléchargeables en haut de page

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