Carrés magiques 12x12 de cubes
Carrés magiques 12x12 de puissances 4
Carrés magiques 12x12 de puissances 5
Voir aussi la page générale des Carrés magiques de cubes

Au moins un carré magique 12x12 de cubes est connu : en utilisant le carré trimagique 12x12 de Walter Trump construit en 2002, il est facile d'obtenir un carré magique de cubes, en élevant directement au cube ses entiers.

François Labelle, inspiré par la méthode 6x6 de Lee Morgenstern, a trouvé en avril 2010 une méthode pour construire des carrés semi-magiques 12x12 de puissances 4 (ou de puissances N).

Si les deux équations (12.1) (12.2) sont vraies :

• (12.1)    a^N + b^N + c^N = d^N + e^N + f^N = g^N + h^N + i^N = j^N + k^N + l^N = y
• (12.2)    m^N + n^N + o^N + p^N = q^N + r^N + s^N + t^N = u^N + v^N + w^N + x^N = z

alors ce carré est un carré semi-magique de puissances N, avec la somme magique S_N = yz:

Méthode de François Labelle pour construire des
carrés semi-magiques 12x12 de puissances N

(am)N	(an)N	(ao)N	(ap)N	(bq)N	(br)N	(bs)N	(bt)N	(cu)N	(cv)N	(cw)N	(cx)N
(bm)N	(bn)N	(bo)N	(bp)N	(cq)N	(cr)N	(cs)N	(ct)N	(au)N	(av)N	(aw)N	(ax)N
(cm)N	(cn)N	(co)N	(cp)N	(aq)N	(ar)N	(as)N	(at)N	(bu)N	(bv)N	(bw)N	(bx)N
(dn)N	(do)N	(dp)N	(dm)N	(er)N	(es)N	(et)N	(eq)N	(fv)N	(fw)N	(fx)N	(fu)N
(en)N	(eo)N	(ep)N	(em)N	(fr)N	(fs)N	(ft)N	(fq)N	(dv)N	(dw)N	(dx)N	(du)N
(fn)N	(fo)N	(fp)N	(fm)N	(dr)N	(ds)N	(dt)N	(dq)N	(ev)N	(ew)N	(ex)N	(eu)N
(go)N	(gp)N	(gm)N	(gn)N	(hs)N	(ht)N	(hq)N	(hr)N	(iw)N	(ix)N	(iu)N	(iv)N
(ho)N	(hp)N	(hm)N	(hn)N	(is)N	(it)N	(iq)N	(ir)N	(gw)N	(gx)N	(gu)N	(gv)N
(io)N	(ip)N	(im)N	(in)N	(gs)N	(gt)N	(gq)N	(gr)N	(hw)N	(hx)N	(hu)N	(hv)N
(jp)N	(jm)N	(jn)N	(jo)N	(kt)N	(kq)N	(kr)N	(ks)N	(lx)N	(lu)N	(lv)N	(lw)N
(kp)N	(km)N	(kn)N	(ko)N	(lt)N	(lq)N	(lr)N	(ls)N	(jx)N	(ju)N	(jv)N	(jw)N
(lp)N	(lm)N	(ln)N	(lo)N	(jt)N	(jq)N	(jr)N	(js)N	(kx)N	(ku)N	(kv)N	(kw)N

Voilà sa solution de puissances 4, donnant la plus petite somme magique et 144 entiers distincts :

• 2⁴ + 71⁴ + 73⁴ = 17⁴ + 62⁴ + 79⁴ = 29⁴ + 53⁴ + 82⁴ = 37⁴ + 46⁴ + 83⁴ = 53809938
• 2⁴ + 16⁴ + 21⁴ + 25⁴ = 5⁴ + 11⁴ + 12⁴ + 28⁴ = 13⁴ + 19⁴ + 20⁴ + 24⁴ = 650658

générant le carré :

Avril 2010 : premier carré semi-magique 12x12 connu de puissances 4
par François Labelle, S4 = 53809938 * 650658 = 35011866639204

44	324	424	504	3554	7814	8524	19884	9494	13874	14604	17524
1424	11364	14914	17754	3654	8034	8764	20444	264	384	404	484
1464	11684	15334	18254	104	224	244	564	9234	13494	14204	17044
2724	3574	4254	344	6824	7444	17364	3104	15014	15804	18964	10274
9924	13024	15504	1244	8694	9484	22124	3954	3234	3404	4084	2214
12644	16594	19754	1584	1874	2044	4764	854	11784	12404	14884	8064
6094	7254	584	4644	6364	14844	2654	5834	16404	19684	10664	15584
11134	13254	1064	8484	9844	22964	4104	9024	5804	6964	3774	5514
17224	20504	1644	13124	3484	8124	1454	3194	10604	12724	6894	10074
9254	744	5924	7774	12884	2304	5064	5524	19924	10794	15774	16604
11504	924	7364	9664	23244	4154	9134	9964	8884	4814	7034	7404
20754	1664	13284	17434	10364	1854	4074	4444	11044	5984	8744	9204

Cette méthode ne peut pas être appliquée aujourd'hui aux puissances 5 : puisque personne ne connaît un nombre Taxicab(5, 3, 3) (signifie a⁵ + b⁵ + c⁵ = d⁵ + e⁵ + f⁵ = g⁵ + h⁵ + i⁵), il sera très difficile de trouver une solution à l'équation encore plus difficile (12.1) qui est un nombre Taxicab(5, 3, 4) !

Problèmes ouverts :

• aucun carré magique 12x12 de puissances 4 actuellement connu
• aucun carré magique 12x12 de puissances 5 actuellement connu

Mars 2018, Nicolas Rouanet, France, a construit ce carré 12x12 (et aussi un 10x10) presque magique de puissances 4 consécutives de 0^4 à 143^4 :

Mars 2018: carré semi-magique 12x12 de puissances 4 consécutives,
avec une diagonale magique, par Nicolas Rouanet, S4 = 1014123110

444	624	1304	514	1154	384	684	94	1274	1234	164	634
1424	574	394	344	24	124	1394	54	1134	504	844	314
154	1004	554	1434	214	1204	674	584	904	104	1094	804
1164	694	204	834	1024	34	1224	994	524	614	924	1254
284	1354	794	484	1044	734	534	1344	604	714	1014	664
1294	894	304	474	1084	774	754	814	64	1384	884	224
04	874	184	1414	174	724	1054	744	364	984	974	1194
294	644	704	654	1064	1364	244	1244	1074	1034	494	234
324	194	1404	424	354	1214	864	264	594	414	1314	824
934	544	954	764	784	134	564	374	1374	1144	854	1184
14	964	1174	404	1334	254	1114	1284	464	84	144	334
914	1324	114	944	74	1124	44	454	434	274	1104	1264

Nicolas Rouanet a remarqué, un utilisant un raisonnement modulo 5, qu'un carré magique (ou même semi-magique) 12x12 est impossible en utilisant les puissances 4 consécutives de 1^4 à 144^4.

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