Sudokus et carrés bimagiques
Voir aussi Les ancêtres français du sudoku

Le jeu du Sudoku a un récent et grand succès partout sur la planète, essentiellement depuis 2005. Le lien entre carrés latins et Sudokus a souvent été remarqué, mais il semble que le lien entre carrés bimagiques et Sudokus n'a jamais été remarqué.

Gaston Tarry (Villefranche de Rouergue 1843 - Le Havre 1913)

En 1900, Gaston Tarry fut le premier à prouver le fameux problème des 36 officiers posé par Euler en 1782 : il est impossible d'arranger une délégation de six régiments (chacun d'entre eux envoyant six officiers de grades différents) dans un carré 6x6 de façon à ce que chaque ligne et chaque colonne contienne un officier de chaque régiment et de chaque grade. Tarry a aussi inventé une merveilleuse méthode de construction de carrés multimagiques : le premier article écrit par Tarry sur sa méthode fut présenté par Henri Poincaré dans les Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences, en 1906. On peut trouver des détails de sa méthode, avec de nombreuses constructions de carrés bimagiques 8x8 et 9x9 l'utilisant, dans le livre du Général Cazalas publié en 1934, méthode légèrement améliorée par Cazalas. Et la méthode Viricel-Boyer utilisée pour nos carrés tétra et pentamagiques, entièrement décrite dans mon article publié dans Pour La Science en 2001, est fortement inspirée par la méthode Tarry-Cazalas.

Maintenant la principale information: TOUS les carrés bimagiques 9x9 construits avec la méthode Tarry-Cazalas sont une combinaison de 2 Sudokus !

Voici deux Sudokus (chaque sous-carré 3x3 contient les neuf entiers de 1 à 9, et chaque ligne et chaque colonne contient les neuf entiers de 1 à 9):

Ces Sudokus ont de belles propriétés supplémentaires, par exemple si l'on déplace une colonne ou plus d'un côté au côté opposé, ils restent des Sudokus : les nouveaux sous-carrés 3x3 contiennent toujours tous les entiers de 1 à 9. Idem si l'on déplace des lignes d'un côté au côté opposé.

Construisons maintenant un carré 9x9 dans lequel chaque cellule utilise les deux cellules correspondantes des Sudokus A and B, en leur appliquant la formule :

Alors vous obtenez un carré bimagique construit avec la méthode Tarry-Cazalas !

Ce carré est bimagique :

• entiers consécutifs de 1 à 81.
• même somme S1 = 369 pour chacune des 9 lignes, 9 colonnes et 2 diagonales
• après avoir élevé au carré chaque nombre, le carré reste magique, même somme S2 = 20049 pour les 9 lignes, 9 colonnes et 2 diagonales

Et il a des propriétés bimagiques supplémentaires :

• à nouveau la même somme S1 = 369 pour chacun des neuf sous-carrés 3x3 (somme des neuf nombres de chaque sous-carré)
• après avoir élevé au carré chaque nombre, à nouveau la même somme S2 = 20049 pour chacun des neuf sous-carrés 3x3 (somme des carrés des neuf nombres de chaque sous-carré)

Vous pouvez obtenir un autre carré bimagique en utilisant l'autre formule  :

Bien sûr, tous les couples de Sudokus ne donnent pas un carré bimagique, et tous les carrés bimagiques (ceux non construits avec la méthode Tarry-Cazalas) ne proviennent pas d'un couple de Sudokus. Par exemple le premier carré bimagique 9x9 publié par G. Pfeffermann ne peut pas être construit pas la méthode Tarry-Cazalas, ce qui signifie qu'il n'est pas une combinaison de 2 Sudokus.

Au sujet de Gaston Tarry

Comme nous l'avons vu ci-dessus, Gaston Tarry est bien connu pour sa preuve du problème des 36 officiers d'Euler, et pour sa méthode de construction de carrés multimagiques. Mais aussi :

• en géométrie, le point de Tarry http://mathworld.wolfram.com/TarryPoint.html
• le problème Prouhet-Tarry-Escott http://mathworld.wolfram.com/Prouhet-Tarry-EscottProblem.html et de nombreuses équations multigrades, par exemple
• l'équation paramétrique, vraie de k = 0 à 5:
  (6a - 3b - 8c)^k + (5a - 9c) ^k + (4a - 4b -3c)^k + (2a + 2b - 5c)^k + (a - 2b + c)^k + b^k =
  (6a - 2b - 9c)^k + (5a - 4b - 5c)^k + (4a + b - 8c)^k + (2a - 3b)^k + (a + 2b - 3c)^k + c^k
• l'équation, vraie de k = 0 à 10:
  1^k + 5^k + 11^k + 21^k + 36^k + 42^k + 48^k + 52^k + 54^k + 58^k + 79^k + 83^k + 94^k + 95^k =
  2^k + 3^k + 14^k + 18^k + 39^k + 43^k + 45^k + 49^k + 55^k + 61^k + 76^k + 86^k + 92^k + 96^k
• le premier carré trimagique connu (voir les records multimagiques)
• l'inventeur du terme tétramagique, utilisant la racine grecque "tétra" au lieu de la racine latine "quadra" ou "quadri". C'est en sa mémoire que j'ai utilisé ce terme pour le premier carré tétramagique connu, construit en 2001.
• collaboration aux deux derniers livres écrits par Gabriel Arnoux, précédemment auteur -sans Tarry- du premier cube magique pandiagonal parfait connu
• ses travaux décrits dans les livres d'Edouard Lucas :
• "Théorème des Carrefours" de Gaston Tarry, expliqué par Lucas dans sa Théorie des Nombres (pages 107-109)
• "La Géométrie des Réseaux et le Problème des Dominos", un chapitre entièrement dédié à Gaston Tarry par Lucas dans ses Récréations Arithmétiques (volume IV, 6ème récréation, pages 123-151)
• "La Traversée des Ménages Modèles" et "La Traversée du Polygame", problèmes inventés et résolus par Gaston Tarry, présentés par Lucas dans L'Arithmétique Amusante (note II, pages 198-202)
• quelques travaux de Tarry sont plus brièvement présentés dans Mathematical Recreations and Essays de W.W. Rouse Ball et H.S.M. Coxeter, et dans Mathematical Recreations de Maurice Kraïtchik
• et encore de nombreuses autres choses...

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