Carrés magiques de puissances 6
Voir aussi la page générale des Carrés magiques de cubes

Au moins un carré magique de puissances 6 était connu depuis 2003 : le carré hexamagique 4096x4096 de Pan Fengchu, en élevant directement à la puissance 6 ses entiers.

Mais est-il possible de construire des plus petits carrés de puissances 6 ? Oui ! En permettant des entiers non consécutifs (mais toujours distincts), et en utilisant des méthodes similaires à la méthode 6x6 de Morgenstern de carrés semi-magiques de puissances n.

En juin 2011, Jaroslaw Wroblewski a travaillé sur des carrés semi-magiques 36x36. Il n'a pas essayé directement d'obtenir deux nombres taxicab(6, 6, 6), mais a calculé des solutions de a^6 + b^6 + c^6 + d^6 + e^6 + f^6 = N * k^6. Avec N=76, il a obtenu ces 13 décompositions rationnelles en puissances 6 :

1. k =13 {25/13, 20/13, 18/13, 17/13, 9/13, 5/13}
2. k = 41 {2, 61/41, 1, 30/41, 11/41, 3/41} *
3. k = 109 {207/109, 187/109, 134/109, 75/109, 61/109, 44/109}
4. k = 143 {291/143, 185/143, 115/143, 75/143, 62/143, 32/143} *
5. k = 167 {291/167, 290/167, 274/167, 159/167, 139/167, 5/167} *
6. k = 173 {355/173, 174/173, 135/173, 113/173, 47/173, 20/173} *
7. k = 221 {414/221, 373/221, 300/221, 271/221, 103/221, 71/221} *
8. k = 325 {654/325, 421/325, 421/325, 237/325, 68/325, 47/325}
9. k = 331 {657/331, 493/331, 415/331, 185/331, 162/331, 82/331} *
10. k = 347 {695/347, 473/347, 409/347, 400/347, 120/347, 93/347}
11. k = 359 {731/359, 449/359, 313/359, 306/359, 233/359, 30/359}
12. k = 397 {776/397, 655/397, 246/397, 67/397, 43/397, 27/397}
13. k = 467 {892/467, 803/467, 460/467, 435/467, 255/467, 29/467}

Et avec N=1300, il a obtenu ces 7 décompositions rationnelles en puissances 6 :

1. k = 17 {49/17, 45/17, 41/17, 40/17, 27/17, 8/17} *
2. k = 29 {93/29, 61/29, 57/29, 56/29, 46/29, 23/29}
3. k = 59 {191/59, 119/59, 115/59, 102/59, 40/59, 27/59} *
4. k = 115 {361/115, 55/23, 252/115, 201/115, 34/23, 157/115} *
5. k = 211 {661/211, 523/211, 438/211, 357/211, 346/211, 29/211} *
6. k = 283 {825/283, 725/283, 652/283, 630/283, 589/283, 545/283} *
7. k = 295 {926/295, 744/295, 593/295, 97/59, 49/59, 33/295} *

Sélectionnant les six décompositions marquées * de N=76, et les six marquées * de N=1300, cela génère 1296 produits distincts, une condition nécessaire pour un carré 36x36.

La somme magique devrait être aussi grosse que 76 * (41*143*167*173*221*331)^6 * 1300 * (17*59*115*211*283*295)^6 = 2.52e+157, mais en fait un peu plus petite, en prenant les plus petits communs multiples des dénominateurs : 76 * 953145898991^6 * 1300 * 6887595985^6 = 7.91e+135.

Voici une vue partielle de son fascinant carré, avec ses nombres impressionnants totalisant cette si colossale somme magique ! Ce carré peut être téléchargé : voir à la fin de cette page.

Juin 2011: coin haut gauche du carré semi-magique 36x36 de puissances 6, par Jaroslaw Wroblewski
S6 ~7,91e+135, NbMax = 43610458567903181050525^6
S6 = 7908957311616866591404736287729521652955367340513765346608535651854720549216887690309083816367020250742635942617903195625061972393750000

378446246451143212241906	316194551196896097304156	206080267477432643613896	150481617249798758995506	...
353628771034516937655756	171300128401347566353256	126247766673262060598756	85343707845906149538756	...
275891614713955130469156	222205294798306166132506	236028170397959247868566	129747606852536950949106	...
316971611395908553370006	114150640611038368451406	89539142363059177052556	72551291696308623648456	...
...	...	...	...	...

Le carré ci-dessus est semi-magique. Comme les entiers utilisés sont très gros, il est très probable qu'aucune diagonale magique ne soit possible en réarrangeant ses cellules.

Carrés magiques de puissances 6

Ordre	Date	Auteur	S6	NbMax
90	Nov. 2011	François Labelle	1,00e+40	4271863^6
64	Mars 2012	Jaroslaw Wroblewski	1,63e+96	10245064958712675^6
	Avril 2013	Toshihiro Shirakawa	2,02e+40	4933788^6

En novembre 2011, François Labelle a créé un carré magique de puissances 6, donc ce coup-ci avec deux diagonales magiques. Il a utilisé une nouvelle méthode astucieuse pour obtenir les deux diagonales magiques, grâce à des propriétés supplémentaires de deux nombres taxicab.

Ce taxicab(6, 10, 9) ~ 10^20 :

• T1 = 100000000000258843390
  = 32^6 + 1847^6 + 359^6 + 654^6 + 723^6 + 967^6 + 1149^6 + 1181^6 + 1324^6 + 1912^6
  = 431^6 + 508^6 + 339^6 + 422^6 + 499^6 + 514^6 + 1094^6 + 1597^6 + 1773^6 + 1923^6
  = 446^6 + 626^6 + 661^6 + 821^6 + 827^6 + 892^6 + 1107^6 + 1249^6 + 1707^6 + 2022^6
  = 634^6 + 158^6 + 8^6 + 51^6 + 141^6 + 307^6 + 769^6 + 831^6 + 1268^6 + 2137^6
  = 914^6 + 1801^6 + 298^6 + 717^6 + 787^6 + 879^6 + 1229^6 + 1412^6 + 1692^6 + 1759^6
  = 977^6 + 194^6 + 128^6 + 227^6 + 591^6 + 633^6 + 941^6 + 958^6 + 1789^6 + 2004^6
  = 1282^6 + 619^6 + 383^6 + 934^6 + 1074^6 + 1171^6 + 1467^6 + 1552^6 + 1629^6 + 1907^6
  = 1861^6 + 386^6 + 981^6 + 996^6 + 1213^6 + 1277^6 + 1328^6 + 1354^6 + 1497^6 + 1723^6
  = 1868^6 + 1588^6 + 83^6 + 291^6 + 447^6 + 554^6 + 1047^6 + 1193^6 + 1595^6 + 1658^6

est construit avec une propriété supplémentaire : chacune de ses deux premières colonnes a une somme = T1*(9/10).

Et ce taxicab(6, 9, 10) ~ 10^20 :

• T2 = 100000000000003308921
  = 1^6 + 67^6 + 451^6 + 649^6 + 1073^6 + 1283^6 + 1553^6 + 1711^6 + 1949^6
  = 5^6 + 551^6 + 935^6 + 937^6 + 1087^6 + 1271^6 + 1487^6 + 1621^6 + 1999^6
  = 841^6 + 19^6 + 347^6 + 463^6 + 529^6 + 739^6 + 1031^6 + 1823^6 + 1987^6
  = 1013^6 + 281^6 + 425^6 + 629^6 + 737^6 + 863^6 + 1247^6 + 1867^6 + 1933^6
  = 1117^6 + 433^6 + 449^6 + 505^6 + 1021^6 + 1415^6 + 1439^6 + 1661^6 + 1973^6
  = 1151^6 + 131^6 + 295^6 + 419^6 + 671^6 + 1481^6 + 1523^6 + 1751^6 + 1891^6
  = 1303^6 + 29^6 + 61^6 + 311^6 + 659^6 + 839^6 + 1423^6 + 1787^6 + 1943^6
  = 1615^6 + 101^6 + 509^6 + 1255^6 + 1265^6 + 1375^6 + 1493^6 + 1709^6 + 1777^6
  = 1811^6 + 65^6 + 73^6 + 691^6 + 989^6 + 1301^6 + 1339^6 + 1601^6 + 1819^6
  = 1903^6 + 355^6 + 523^6 + 535^6 + 877^6 + 1291^6 + 1429^6 + 1531^6 + 1721^6

est construit avec avec une propriété supplémentaire : sa première colonne a une somme = T2*(10/9).

En utilisant ces deux nombres taxicab générant 90x90 = 8100 entiers distincts, la somme magique du carré généré est S6 = T1*T2 = 10000000000026215231100000856492328882190 ~ 10^40. Les deux diagonales utilisent les produits des deux premières colonnes du premier taxicab avec la première colonne du second taxicab, la somme de ces deux diagonales étant T1*(9/10) * T2*(10/9) = T1*T2 = la bonne somme magique ! NbMax = (2137*1999)^6 = 4271863^6.

90... pourquoi cet ordre étrange ? Il a choisi de travaillé sur un ordre k*(k+1) parce la difficulté d'obtenir des nombres taxicab(6, k, k+1) et taxicab(6, k+1, k) est similaire. Il a estimé que la probabilité de réussir avec 7*8 et 8*9 était trop basse, et a choisi 9*10 qui semblait possible. On peut ajouter que 8*9 a un autre problème : le nombre taxicab avec deux bonnes colonnes doit être un nombre taxicab(6, pair, k). Et il a estimé que la probabilité avec des nombres taxicab <= 10^19 était trop basse, c'est pourquoi il a cherché des nombres > 10^20.

En comparant avec le carré hexamagique 4096x4096 de Pan Fengchu, toutes les caractéristiques du carré de Labelle sont plus petites : son ordre, sa somme magique et son NbMax.

Novembre 2011: coin haut gauche du carré magique 90x90 de puissances 6, par François Labelle
S6 = 10000000000026215231100000856492328882190 ~10^40, NbMax = 4271863^6

326	3596	7236	11496	...
23977646	579526	6501496	13093536	...
14971476	17251726	416966	4677776	...
8075916	12834336	14789086	357446	...
...	...	...	...	...

En mars 2012, Jaroslaw Wroblewski a créé un plus petit carré de puissances 6 que François Labelle : 64x64 au lieu de 90x90.

Il a utilisé la même astuce que François Labelle, mais avec des nombres rationnels :

T1 = 179924108
  {{14, 11, 654/29, 521/29, 382/29, 225/29, 138/29, 19/29},
  {15, 10, 441/19, 284/19, 101/19, 74/19, 45/19, 2/19},
  {22, 8, 930/47, 594/47, 487/47, 465/47, 205/47, 175/47},
  {1, 12, 834/37, 698/37, 339/37, 7, 25/37, 20/37},
  {2, 21, 381/19, 307/19, 262/19, 243/19, 128/19, 46/19},
  {6, 20, 93/5, 92/5, 89/5, 59/5, 51/5, 28/5},
  {9, 3, 541/25, 96/5, 388/25, 76/5, 197/25, 154/25},
  {19, 17, 939/43, 332/43, 259/43, 254/43, 108/43, 24/43}}

avec les deux premières colonnes 14^6 + 15^6 + 22^6 + 1^6 + 2^6 + 6^6 + 9^6 + 19^6 = 11^6 + 10^6 + 8^6 + 12^6 + 21^6 + 20^6 + 3^6 + 17^6 = T1

T2 = 1384448692172
  {{11, 1668/17, 1371/17, 1301/17, 794/17, 665/17, 614/17, 54/17},
  {41, 1939/19, 1396/19, 1163/19, 1041/19, 918/19, 498/19, 334/19},
  {42, 1752/19, 1699/19, 1317/19, 1307/19, 1087/19, 550/19, 526/19},
  {53, 1253/13, 1146/13, 830/13, 636/13, 601/13, 192/13, 13},
  {62, 101, 922/13, 834/13, 823/13, 531/13, 287/13, 162/13},
  {69, 1677/19, 1637/19, 1621/19, 858/19, 542/19, 340/19, 98/19},
  {86, 1556/17, 1385/17, 1091/17, 906/17, 696/17, 553/17, 519/17},
  {96, 1426/17, 1225/17, 1132/17, 915/17, 591/17, 353/17, 218/17}}

avec la première colonne 11^6 + 41^6 + 42^6 + 53^6 + 62^6 + 69^6 + 86^6 + 96^6 = T2

Ces deux ensembles deviennent, après avoir été multipliés par les dénominateurs communs :

{{14420744450, 11330584925, 23229475050, 18505438075, 13568286650, 7991791875, 4901632350, 674862425},
  {15450797625, 10300531750, 23908076325, 15396584300, 5475545825, 4011786050, 2439599625, 108426650},
  {22661169850, 8240425400, 20381903250, 13018118850, 10673104175, 10190951625, 4492785125, 3835304375},
  {1030053175, 12360638100, 23217955350, 19431813950, 9437514225, 7210372225, 695981875, 556785500},
  {2060106350, 21631116675, 20655276825, 16643490775, 14203891150, 13173837975, 6939305600, 2493812950},
  {6180319050, 20601063500, 19158989055, 18952978420, 18334946515, 12154627465, 10506542385, 5768297780},
  {9270478575, 3090159525, 22290350707, 19777020960, 15986425276, 15656808260, 8116819019, 6345127558},
  {19571010325, 17510903975, 22493486775, 7952968700, 6204273775, 6084500150, 2587110300, 574913400}}

{{46189, 411996, 338637, 321347, 196118, 164255, 151658, 13338},
  {172159, 428519, 308516, 257023, 230061, 202878, 110058, 73814},
  {176358, 387192, 375479, 291057, 288847, 240227, 121550, 116246},
  {222547, 404719, 370158, 268090, 205428, 194123, 62016, 54587},
  {260338, 424099, 297806, 269382, 265829, 171513, 92701, 52326},
  {289731, 370617, 361777, 358241, 189618, 119782, 75140, 21658},
  {361114, 384332, 342095, 269477, 223782, 171912, 136591, 128193},
  {403104, 352222, 302575, 279604, 226005, 145977, 87191, 53846}}

et produisent directement ce carré magique de puissances 6 :

Mars 2012: coin haut gauche du carré magique 64x64 de puissances 6, par Jaroslaw Wroblewski
S6 = 1630794890680863753807181713742296474903681088364281912477533838938712716991677267473160156250000
~1,63 * 10^96,
NbMax = (23908076325 * 428519)^6 = 10245064958712675^6

6660797654010506	10729462230844506	6267055920768506	2264014966141506	...
8644420779813006	25432136497131006	40967037608679006	23928758970207006	...
35323406098877006	12760811627343006	37542677686241006	60475150755669006	...
83884886532057006	48996982653281006	17700480644379006	52075327113173006	...
...	...	...	...	...

En avril 2013, Toshihiro Shirakawa a produit un autre carré magique 64x64 de puissances 6, mais avec de plus petits entiers que Jaroslaw.

T1 = 1000000000043382156
  {{717, 488, 901, 803, 553, 512, 298, 246}
  {58, 155, 818, 804, 787, 699, 641, 434}
  {293, 692, 951, 716, 477, 371, 290, 214}
  {856, 369, 894, 662, 446, 307, 287, 215}
  {326, 917, 797, 685, 538, 498, 388, 345}
  {698, 472, 813, 736, 723, 707, 673, 634}
  {732, 786, 881, 613, 602, 565, 461, 94}
  {889, 830, 746, 417, 316, 282, 233, 229}}

Les deux premières colonnes ont une somme = T2/(5^6) = 1294233624408559443.

T2 = (5^6)*1294233624408559443 = 20222400381383741296875
  {{3760, 4635, 4060, 3590, 2750, 2675, 1980, 1195}
  {3245, 4970, 3560, 3180, 2960, 2495, 855, 400}
  {3035, 4980, 4010, 1700, 1210, 1125, 170, 35}
  {1260, 4875, 4030, 3565, 2650, 2080, 1765, 1040}
  {3700, 1255, 5030, 3210, 2590, 1910, 1415, 1275}
  {1780, 5188, 2868, 2203, 1663, 748, 399, 352}
  {4495, 4616, 3396, 2963, 2114, 696, 646, 551}
  {645, 4364, 4358, 4072, 3521, 815, 472, 366}}

La première colonne a une somme = T1*(5^6) = 15625000000677846187500. Ces deux ensembles produisent ce carré magique de puissances 6 :

Avril 2013: coin haut gauche du carré magique 64x64 de puissances 6, par Toshihiro Shirakawa
S6 = T1*T2 = 20222400382261032624914648960804673562500  ~ 2,02 * 10^40,
NbMax = (951 * 5188)^6 = 4933788^6

26959206	9249606	33877606	30192806	...
7982706	23266656	26057356	29237456	...
27345356	24371056	21760956	7466106	...
10117806	11352606	3099606	9034206	...
...	...	...	...	...

On peut toutefois remarquer qu'à la fois S6 et NbMax de ce carré 64x64 restent plus gros que ceux du carré 90x90 de Labelle.

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• carrés 36x36, 64x64 90x90 de puissances 6 (fichier Excel zippé de 361Ko)

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