Carrés hautement multimagiques : heptamagiques, octomagiques, et plus...

En 2001, les carrés les plus multimagiques connus étaient les carrés tétra et pentamagiques (=4 et 5-multimagiques) que j'avais construits avec André Viricel. En 2003, Pan Fengchu construisait un carré hexamagique (=6-multimagique) d'ordre 4096 = 212. De 2004 à 2006, plusieurs nouvelles recherches ont amélioré les records multimagiques :

Si je résume tous ces nouveaux résultats annoncés, et indépendemment trouvés :

Comme j'écrivais en 2001 dans mon article de Pour La Science, page 101 (fichier PDF téléchargeable depuis la page de Bibliographie), la méthode "Viricel-Boyer" décrite et utilisée pour les premiers carrés tétra et pentamagiques doit être capable de construire des carrés hexamagiques, heptamagiques, octomagiques, etc... jusqu'à n'importe quel niveau de multimagie, mais avec le besoin d'accroître suffisamment la taille (= l'ordre) des carrés... et avec la nécessité d'utiliser un bon programme informatique pour tester les carrés... Je suis également convaincu, sans en avoir la preuve, que la bonne vieille méthode "Tarry-Cazalas" est aussi capable de créer des carrés n-multimagiques pour tout n.

Pierre Tougne a utilisé les deux méthodes françaises. Par exemple il a construit ses carrés heptamagique et octomagique avec la méthode Viricel-Boyer, et les clés suivantes :

Pan Fengchu, Chine, a aussi construit de nombreux carrés hautement multimagiques. Je n'ai personnellement testé aucun de ces énormes carrés annoncés par PF ou PT.

En 2005, Harm Derksen (Université du Michigan, Etats-Unis), Christian Eggermont et Arno van den Essen (Université de Nijmegen, Pays-Bas) ont écrit une première version d'un très intéressant article accessible ici : http://arxiv.org/abs/math.CO/0504083. Ils ont mathématiquement prouvé qu'il est toujours possible de construire un carré n-multimagique pour tout n. Un théorème très important, supposé depuis longtemps, annoncé par Gaston Tarry en 1906, mais maintenant enfin prouvé !

Toutefois, la méthode DEvdE nécessite de très grands ordres : par exemple si l'on compare les carrés heptamagiques, leur ordre 13^7 = 62.748.517 est approximativement mille fois plus gros que l'ordre 2^16 = 65.536 utilisé par Pierre Tougne et Pan Fengchu. Je n'ai pas testé leurs carrés heptamagiques ou plus : les carrés doivent être corrects puisqu'ils sont théoriquement prouvés corrects. Mais j'ai demandé à Christian Eggermont de m'envoyer un carré trimagique du plus petit ordre = 5^3 = 125 constructible avec leur méthode. Je confirme que le carré reçu a toutes les propriétés trimagiques annoncées. Un fait intéressant, j'ai remarqué que la méthode Tarry-Cazalas peut être utilisée pour générer exactement le même carré, avec exactement les mêmes cellules.

DEvdE ont prouvé qu'un carré n-multimagique d'ordre pn existe pour tout nombre premier p ≥ 2n − 1 avec n ≥ 3. Ce résultat est amélioré avec n=2 (carrés bimagiques) par Yong Zhang, Kejun Chen (Yancheng Teachers University, Jiangsu, Chine), et Jianguo Lei (Hebei Normal University, Hebei, Chine). Dans leur article "Large sets of orthogonal arrays and multimagic squares" publié dans le Journal of Combinatorial Designs, Vol.21, Numéro 9, Septembre 2013, pages 390-403 (mais initialement publié en ligne en décembre 2012), ils ont prouvé avec leur théorème 1.2 :

Jaroslaw Wroblewski (Université de Wroclaw, Pologne) a aussi travaillé sur le sujet des carrés hautement multimagiques. En utilisant Mathematica, il a construit un carré 10-multimagique (= carré décamagique) d'ordre 2^29, plus gros que l'ordre 2^28 utilisé par Pierre Tougne ou Pan Fengchu,  mais avec une propriété supplémentaire : ses 2^29 colonnes sont 11-multimagiques.

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