Multimagische Reihen für Würfel
Siehe auch Multimagische Reihen für Quadrate

Wie man beim kleinsten bimagischen Würfel sehen kann, ist es für die Konstruktion eines p-multimagischen Würfels der Ordnung n interessant, alle p-multimagischen Reihen der Ordnung n zu finden. Das sind alle Reihen aus n verschiedenen natürlichen Zahlen von 1 bis n³, welche die korrekten magischen, bimagischen, ... p-multimagischen Summen haben (= S1, S2,... Sp):

• S1 = n(n³ + 1)/2
• S2 = n(2n⁶ + 3n³ + 1)/6
• S3 = n(n⁹ + 2n⁶ + n³)/4 = n² S1²
• S4 = n(6n¹² + 15n⁹ + 10n⁶ - 1)/30

Die Ordnung 3 ist die kleinste, bei der bimagische Reihen auftreten. Hier sind die 4 bimagischen Reihen:

• 3       19      20
• 4       15      23
• 5       13      24
• 8        9       25

Das bedeutet:

1. 3 + 19 + 20 = 4 + 15 + 23 = 5 + 13 + 24 = 8 + 9 + 25 = 42 = S1
2. 3² + 19² + 20² = 4² + 15² + 23² = 5² + 13² + 24² = 8² + 9² + 25² = 770 = S2

Bei der Ordnung 4 gibt es 8 bimagische Reihen, die auf der Seite Kleinster bimagischer Würfel aufgelistet sind.

Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der multimagischen Reihen. Für manche Ordnungen können alle Reihen als Excel-Datei heruntergeladen werden (44KB bis 540KB). Die Anzahl der bimagischen Serien für Würfel der Ordnungen 9 und 10 wurden im Oktober 2005 von Walter Trump, Nürnberg, berechnet. Die Anzahl der trimagischen Reihen der Ordnung 9 wurde von Gildas Guillemot, Frankreich, im Dezember 2006 ermittelt und im Mai 2008 von Michael Quist, USA bestätigt.

Anzahl der multimagischen Reihen für Würfel

Ordnung	Bimagisch	Trimagisch	Tetramagisch
3	4	0	0
4	8	0	0
5	272	0	0
6	25 270	(*)  0	0
7	5 152 529	161	0
8	1 594 825 624	17 218	0
9	651 151 145 259	363 949	(**)  0
10	347 171 191 981 324	(*)  0	0
11	Unbekannt! Siehe ungelöste Probleme

(*) Trimagische Reihen der Ordnungen 4k+2 existieren nicht, da S3 nicht gerade sein kann, wenn S1 und S2 ungerade sind.
(**) Im Januar 2006 fand Robert Gerbicz, Ungarn, einen hübschen kurzen Beweis. "Für die Ordnung 9 gilt: Die tetramagische Summe ist S4=510,118,152,189==13 mod 16. Aber da (2*x+1)^4==1 mod 16 und (2*x)^4==0 mod 16 ist, benötigt man mindestens 13 ungerade Zahlen, 9 Zahlen reichen also nicht aus!"

Auf unsere bimagischen und trimagischen Reihen wird verwiesen unter den Nummern A090653 und A092312 in Neil Sloane's Encyclopedia of Integer Sequences, AT&T Research.

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