Neueste Ergebnisse auf dem Gebiet der "magischen 3x3-Quadrate aus Quadratzahlen"

Diese Seite zeigt die interessantesten Studien der Offenen Probleme 1 und 2 die nach der Veröffentlichung meines Artikels "Some notes on the magic squares of squares problem" im 2005 durchgeführt wurden. Die zwei korrespondierenden Preise können noch immer gewonnen werden!

Wenn sie die Probleme studieren wollen, empfehle ich ihnen UNBEDINGT folgendes zuerst zu tun:

Senden Sie mir ihre neuesten Ergebnisse, sie werden veröffentlicht wenn sie interessant sind.

Erhalten am 6. März 2006
Ajai Choudhry, Indien, konstruierte einige 3x3 Quadrate mit 7 korrekten Summen, ihre magisch Summen sind keine Quadrate. Zum Beispiel:

Interessant weil die meisten der 3x3 Quadrate mit 7 korrekten Summen aus der Lucas familie kommen, in der die magische Summe ein Quadrat ist. Das erste Beispiel mit nichtquadratischen magischen Summe wurde von Michael Schweitzer (Fig MS4 of the M.I. article) konstruiert. Es wäre sehr interessant eine Lösung mit Parameter für nichtquadratische magische Summen zu finden, die eine unendliche Anzahl von 3x3 Quadraten generiert. Mit so einer neuen parametrisierten Lösung, sollte es mathematisch leicht sein zu überprüfen, ob diese Familie Lösungen mit 8 magischen Summen finden kann oder nicht finden kann. Leider ist überprüft worden, dass die Lucas Familie keine 8 magischen Summen generieren kann.

Erhalten am 10. Oktober 2006
Mitteilung von Randall Rathbun, USA, zum Offenen Problem 2:

Mehrere Jahre vor dem Problem 2, hatte Randall bereits an Gardner's challenge (= unser Offenes Problem 1) gearbeitet. Das war 1999, sehen sie dazu:

Erhalten am 5. 13. 23. November 2006
Jean-Claude Rosa aus Frankreich konstruierte dieses 3x3 semi-magische Quadrat (mit 6 korrekten Summen) bei Verwendung von ausschließlich ungraden Zahlen. Interessant weil die meisten 3x3 semi-magischen Quadrate grade und ungrade Zahlen verwenden. Seltsam: in diesem kleinsten möglichen Beispiel sind alle Zahlen Quadrate von Primzahlen.

Bei Anwendung des Satzes von Pythagoras konstruierte er aus diesen 3 einfachen Dreiecken mit der gleichen Fläche:

nachfolgendes 3x3 Quadrat (mit 7 korrekten Summen) das nur aus ungraden Zahlen besteht. 6 dieser 9 Zahlen sind Quadrate von Primzahlen.

Bei Anwendung des Satzes von Pythagoras konstruierte er mit anderen Dreiecken mit der gleichen Fläche ein weiteres 3x3 Quadrat (mit 7 korrekten Summen) das nur aus ungraden Zahlen besteht. Die magische Summe ist kleiner als beim vorherigen Quadrat.

Erhalten am 30. November 2006
Theorem von Lee Morgenstern, USA: "In einem 3x3 magischen Quadrat bestehend aus Quadraten, kann das kleinste Quadrat nicht 1 sein."

Erhalten am 10. Dezember 2006
Nur einige Tage nach Lee Morgenstern, überprüfte Jean-Claude Rosa unabhängig, das ein 3x3 magisches Quadrat nicht mit 1 und acht Quadraten aus ungraden Zahlen konstruiert werden kann.

Erhalten am 19. Dezember 2006
Von Lee Morgenstern, USA, viel weitgehender als sein vorhergehender Beweis, der die 1 ausschloss: "Wenn es ein 3x3 magisches Quadrat aus unterschiedlichen Quadraten gibt, dann müssen alle Zahlen größer als 10^14 sein."

Erhalten am 23.Dezember 2006
Lucien Pech, als er "Mathématiques Spéciales" Student im Schuljahr 2005-2006 war, wählte er als Studienarbeit "3x3 magische Quadrate aus Quadraten" für sein TIPE: Travaux d'Initiative Personnelle Encadrés = beaufsichtigte persönliche Suche. Er suchte ein magisches hourglass, solch ein Ergebnis würde das Offene Problem 2 lösen, weil es 7 Quadrate verwendet. Er benutze die Duncan Buell's Methode (sehen sie Referenz [12], oben auf dieser Seite), aber er fand keine Lösung zu diesem sehr schwerem Problem. Sein bestes Ergebnis ist ein exzellentes Modulo 2^52 Beispiel, besser als Duncan Buell's Modulo 2^46 Beispiel.

Lucien Pech, nunmehr ein Student an der ENS Paris (Ecole Normale Supérieure, rue d'Ulm), schickt diese überarbeitete Version seines TIPE:

Erhalten am 21. Juli 2007. Verbesserte Ergebnisse erhalten am 18. Oktober 2007.
Nachdem Landon Rabern, USA, seinen Artikel im Jahr 2003 [49] über das Problem der magischen Zahlen aus Quadratzahlen veröffentlicht hatte, suchte er ein 3x3-Quadrat mit mindestens 7 Quadratzahlen. Er verwendete ein ähnliches Verfahren wie ich bei meiner Suche von 2004 [8], er fand kein anderes Beispiel als das die einzige bekannte Lösung.

Sie können ein Windows-Programm herunterladen und für die Such in einem anderen Bereich von Werten verwenden, auch wenn keine Anleitung verfügbar ist (leider): http://landon314.brinkster.net/MagicSearcher.zip. Diese Anwendung benötigt Microsoft .NET Framework. Der Quellcode wird bereitgestellt.

Erhalten am 8. und 12. April 2008.
Von Lee Morgenstern, USA die Formel, die alle 3x3 semi-magischen Quadrate von Quadraten aus Quadraten (besser als die Lucas formula die einige, aber nicht alle, 3x3 semi-magischen Quadrate aus Quadraten erzeugt), und eine Liste von 3x3 semi-magischen Quadraten mit 7 korrekten Summen unter Verwendung ungerader Zahlen (enthält auch die weiter oben erwähnten beiden ersten kleinsten Quadrate von J.-C. Rosa aus 2006 ):

Erhalten am 6. Februar 2009.
From Lee Morgenstern, USA: "We know that the magic sum of a 3x3 fully-magic square must be three times the central entry. Are there any 3x3 semi-magic squares of squares with a magic sum of three times any square? Looking over the published results, such as with the Lucas formula, all the magic sums are squares.The new non-square magic sums that you published on your previous update weren't three times a square. I searched 3x3 semi-magic squares of squares and found 20 of them with a magic sum that is three times a square (searched up to a magic sum of 3 x 5000²). One of them, the smallest, had a magic sum which was three times one of the actual entries. Since you can rearrange rows and columns to make another semi-magic square, any of the entries can become the central one. So here is my 3x3 semi-magic square of squares having a magic sum which is three times the central entry (S = 3 x 1105²). This is the only known solution."

For his other 19 solutions, the magic sum was three times a square different from any of the entries. Their sums (< 3 x 5000²) are 3 x 1225², 1275², 1533², 1955², 1989², 2125², 2265², 2335², 2345², 2675², 3395², 3485², 3515², 3575², 3655², 3765², 3885², 3995², 4193². Here is the example S = 3 x 1225²:

Erhalten 17. Mai bis 27. Juli 27 2009.
Frank Rubin arbeitete an 3x3 semi-magischen Quadraten aus Quadraten die 7 magische Summen haben, nur eine Diagonale ist nicht magisch. Mit Sd1 = magische Summe = Summe der magischen Diagonale, und Sd2 = Summe der nicht magischen Diagonale, suchte Frank Quadrate mit dem besten möglichen Quotienten Sd1/Sd2 ~ 1.

Unter Verwendung einer Methode von Lee Morgenstern um 3x3 beinahe-magische Quadrate aus Quadraten mit großen Zahlen zu finden, ist hier ein sehr beeindruckendes Quadrat das Frank Rubin errechnet hat:

Sd1 = 1890006405715707401173356334328966702876471825085875343146504267674569
Sd2 = 1890006405715707267778636165444057741201927206436686602706450141117123

Sd1/Sd2 = 1.0000000000000000705... Sehr nahe zu 1... Und Sd1/Sd2 = 1 wäre eine Lösung des 3x3 magischen Quadrat aus Quadraten Problems!

Anmerkung: Da die magische Summe ein Quadrat (S = Sd1 = 43474203911235768609981537098048163²) ist, dachte ich, dass das Rubin Quadrat einfach nur ein Mitglied der Lucas Familie ist.
Am 22. Januar 2010, erwähnte ich meine Bedenken gegenüber Randall Rathbun, und er bestätigte folgendes: (p, q, r, s) = (51498645679307420, 68881590670955891, 80839778471595961, 171878882029570731).
Unglücklicherweise ist es bekannt, dass diese Familie kein magisches Quadrat aus Quadraten der Ordnung 3 produzieren kann.

Erhalten 26. Januar 2010.
Hier ist Lee Morgensterns Methode, die von Frank Rubin im obigen Beispiel im Mai-Juli 2009 für ein 3x3 beinahe-magisches Quadrat aus Quadratzahlen benutzt wurde, wobei die Summen fast richtig sind. Diese Methode benutzt Hillyers Formel von Pythagorischen Dreiecken mit gleichen Flächen und Newtons Methode zum Finden der Wurzel eines Polynoms:

Erhalten 2.-3. März 2010.
Randall Rathbun machte einen Ernst zu nehmenden Versuch das Rätsel #1 zu lösen, Suche eines 3x3 magischen Quadrates das 7 Quadratzahlen hat, unterschiedlich vom einzigen bekannten Beispiel. Er generierte mehr als 116.000.000 magische Quadrate mit 6 Quadratzahlen, untersuchte dann ob die 7., 8. oder 9. Zahl eine Quadratzahl war. Aber leider keine neue Lösung!

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