Die ersten magischen 4x4- bis 7x7-Quadrate aus Quadratzahlen
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Kann ein magisches 3x3-Quadrat konstruiert werden, das aus neun verschiedenen Quadratzahlen besteht? Bis heute ist die Antwort unbekannt: Niemand konnte bis jetzt ein magisches 3x3-Quadrat aus Quadratzahlen konstruieren und niemand konnte die Nichtexistenz solcher Quadrate beweisen. Lesen Sie meinen Artikel in The Mathematical Intelligencer, und die Powerpoint-Dateien zu meinem Vortrag.

Aber es ist möglich, andere magische Quadrate aus Quadratzahlen zu konstruieren:

Lesen Sie in diesem Zusammenhang auch den MathTrek Beitrag vom Juni 2005, geschrieben von Ivars Peterson:


Magische 4x4-Quadrate aus Quadratzahlen

Das erste magische Quadrate aus Quadratzahlen wurde 1770 von Leonhard Euler an Joseph Lagrange gesandt. Es ist das Quadrat LE2, ausführlich erklärt und beschrieben im M.I. Artikel (und im Vortrag Seite 22 und 23).


Magisches 5x5-Quadrat aus Quadratzahlen

Im Jahr 2004 habe ich das erste magische 5x5-Quadrat aus Quadratzahlen konstruiert. Es sind die Quadrate CB4 und CB5 aus dem M.I. Artikel (und die Seite 17 des Vortrags). Das kleinste ist CB4:


Magisches 6x6-Quadrat aus Quadratzahlen

Leider zu spät für den M.I. Artikel, konstruierte ich im Juni 2005 das erste magische 6x6-Quadrat aus Quadratzahlen.

Ich vermute, dass solche Quadrate nicht ausschließlich aus den Quadraten aufeinanderfolgender Zahlen (0² bis 35², oder 1² bis 36²) bestehen können. Mein magisches 6x6-Quadrat aus Quadratzahlen verwendet KEINE Quadrate aufeinanderfolgender Zahlen... aber die verwendeten Zahlen liegen sehr dicht beieinander:

Es ist nicht möglich, ein magisches 6x6-Quadrat aus Quadratzahlen zu konstruieren, dessen magische Summe kleiner ist. Aber man kann weitere 6x6-Quadrate mit der gleichen magischen Summe S2 = 2551 oder einer größeren Summe konstruieren.

Eine weitere interessante Eigenschaft dieses Beispiels: die 3 kleinsten (0², 1², 2²) und die zwei größten Zahlen (35², 36²) stehen gemeinsam in der ersten Zeile.


Magisches 7x7-Quadrat aus Quadratzahlen

Leider zu spät für den M.I. Artikel, konstruierte ich im Juni 2005 das erste magische 7x7-Quadrat aus Quadratzahlen.

Die Ordnung 7 ist die kleinste, in der es magische Quadrate aus Quadraten aufeinanderfolgender ganzer Zahlen gibt. Daraus folgt, dass die Nichtexistenz bimagischer 7x7-Quadrate nicht auf die Quadratzahlen alleine zurückgeführt werden kann!

Hier ist mein Exemplar mit den Zahlen 0² bis 48²:

Dieses Quadrat besitzt eine zusätzliche interessante Eigenschaft: Die 7 Zeilen sind magisch (S1=168), wenn man die Zahlen nicht quadriert, somit sind die Zeilen sogar bimagisch!

Fazit dieser Seite: Weil ab der Ordnung 4 Lösungen gefunden wurden, bleibt das 3x3-Quadrat als einziges offenes Problem (aber auch schwierigstes Problem) der Quadrate aus Quadratzahlen übrig!


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