Magische Quadrate aus Kubikzahlen
Magische Quadrate aus vierten Potenzen
Magische Quadrate aus fünften Potenzen
Beachten Sie auch die Seite über Magische Quadrate aus Quadratzahlen

Auf dieser Seite:

Auf anderen Seiten:

Zusammenfassung und Tabelle

Deutsche Übersetzung eines Auszugs des Artikels Some Notes on the Magic Squares of Squares Problem, Teil 6
veröffentlicht von Christian Boyer in The Mathematical Intelligencer, Band 27, Nummer 2, Frühling 2005, Seiten 52-64

"Aus der Arbeit von Carmichael folgt, dass
es keine magischen 3x3-Quadrate mit Werten gibt,
die Kubikzahlen oder vierte Potenzen sind."

Richard K. Guy,
Unsolved Problems in Number Theory, 3. Ausgabe, 2004, Seite 270

Auch aus der Arbeit von Euler folgt bereits, dass es keine magischen 3x3-Quadrate aus Kubikzahlen gibt. Wenn z3 die Zahl im zentralen Feld ist, dann muss für eine Linie durch das Zentrum gelten: x3 + y3 = 2z3. Euler und Legendre[39] zeigten, dass x3 + y3 = kz3 für paarweise verschiedene ganze Zahlen nicht lösbar ist, wenn gilt: k = 1, 2, 3, 4, 5. Adrien-Marie Legendre behauptete irrtümlich, dass auch k = 6 nicht lösbar ist. Edouard Lucas gab eine allgemeine Lösung für k = 6 im American Journal of Mathematics Pure and Applied von J.J. Sylvester[41] zusammen mit dem Beispiel 173 + 373 = 6×213 an. Von der Gleichung x3 + y3 = 7z3 kannte man Lösungen schon seit Fermat, hier ein Beispiel: 43 + 53 = 7×33.

Legendre zeigte auch, dass x4 + y4 = 2z2 für x ¹ y nicht lösbar ist. Wegen z4 = (z2)2 folgt daraus, dass es kein magisches 3x3-Quadrat mit vierten Potenzen ganzer Zahlen gibt. Auch aus der späteren Arbeit von Carmichael[13] folgt, dass es magische 3x3-Quadrate aus Kubikzahlen oder vierten Potenzen nicht geben kann. Noam Elkies[26] fand heraus, dass mit Andrew Wiles’ Beweis von Fermats letztem Satz gezeigt werden kann, dass an + bn = 2cn keine Lösung (a¹b¹c) für n größer 2 hat und somit kann es für n > 2 kein magisches 3x3-Quadrat mit Werten geben, die alle n-te Potenzen von ganzen Zahlen sind.

Wie schon im Problem D2 erwähnt, “The Fermat problem”, Seite 219 im Buch von Guy[30]: “Es folgt aus den Arbeiten von Ribet über Mazur & Kamienny und Darmon & Merel, dass die Gleichung xn + yn = 2zn für n > 2 nur die triviale Lösung x = y = z besitzt.”

Also, magische 3x3-Quadrate aus Kubikzahlen gibt es nicht. Ich glaube, dass es auch keine magischen 4x4-Quadrate aus paarweise verschiedenen Kubikzahlen gibt. Das 12x12 (WT1) trimagische Quadrat aus Abschnitt 7 ist ein magisches Quadrat aus Kubikzahlen, wenn man von allen Zahlen die dritten Potenzen bildet.

Wenn wir negative Zahlen zulassen und berücksichtigen, dass n3 und (–n)3 verschieden sind, können wir die Bedingung von paarweise verschiedenen ganzen Zahlen leichter erfüllen. (CB10) und (CB11) sind magische Quadrate aus Kubikzahlen mit der magischen Summe 0. Offensichtlich sind es die ersten magischen 4x4- und 5x5-Quadrate aus Kubikzahlen.

Wenn Sie den verwendeten Trick nicht mögen, dann wäre das offene Problem 5 etwas für Sie! Das Quadrat (CB12) ist ein erster Schritt.

Offenes Problem 5. Konstruieren Sie das kleinste magische Quadrat aus Kubikzahlen: 5a) deren Beträge paarweise verschieden sind. 5b) die paarweise verschieden und positiv sind.
Offenes Problem 6. Konstruieren Sie ein magisches Quadrat aus dritten Potenzen von Primzahlen[9].

193

(-3)3

(-10)3

(-18)3

(-42)3

213

283

353

423

(-21)3

(-28)3

(-35)3

(-19)3

33

103

183

 

113

(-20)3

123

133

143

(-15)3

213

33

(-10)3

(-17)3

(-5)3

(-4)3

03

43

53

173

103

(-3)3

(-21)3

153

(-14)3

(-13)3

(-12)3

203

(-11)3

 

93

473

543

643

963

233

973

63

483

723

103

143

673

1013

423

1103

363

213

33

283

403

703

983

183

383

Literaturverweise aus dem Artikel

[7] Christian Boyer, Multimagic squares, cubes and hypercubes web site, www.multimagie.com/indexdeut.htm

[9] Christian Boyer, Supplement to the article “Some notes on the magic squares of squares problem” article, downloadable from [7], 2005:
Download the PDF file (31Kb) or See HTML page at www.multimagie.com/English/Supplement.htm

[13] Robert D. Carmichael, Impossibility of the equation x3 + y3 = 2mz3, and On the equation ax4 + by4 = cz2, Diophantine Analysis, John Wiley and Sons, New-York, 1915, 67-72 and 77-79 (reprint by Dover Publications, New York, in 1959 and 2004)

[26] Martin Gardner, The latest magic, Quantum 6(1996), n°4, 60

[30] Richard K. Guy, Problem D15 – Numbers whose sums in pairs make squares, Unsolved Problems in Number Theory, Third edition, Springer, New-York, 2004, 268-271

[39] Adrien-Marie Legendre, Théorie des Nombres, 3rd edition, Firmin-Didot, Paris, 2(1830) 4-5, 9-11, and 144-145 (reprint by Albert Blanchard, Paris, in 1955)

[41] Edouard Lucas, Sur l’analyse indéterminée du troisième degré – Démonstration de plusieurs théorèmes de M. Sylvester, American Journal of Mathematics Pure and Applied 2(1879) 178-185

3x3 magische Quadrate aus Kubikzahlen
3x3 magische Quadrate aus vierten Potenzen

Wie oben festgestellt, gibt es keine magischen 3x3-Quadrate dieser Art. Aber ob es semi-magische 3x3-Quadrate aus Kubikzahlen oder aus vierten Potenzen gibt, ist unbekannt. Mein bestes Ergebnis:

Im Oktober 2006, suchte Frank Rubin nach einem 3x3 semi-magischen Quadrat aus Kubikzahlen und fand heraus, dass es keine Lösung für Zahlen kleiner als 300,0003 gibt.

Im März 2008 schlug Lee Morgenstern eine interessante Methode vor. Wenn wir zwei Zahlen x und y finden, die auf jeweils 3 verschiedene Arten als Differenzen von zwei Kubikzahlen geschrieben werden können, wobei die Differenzen für x und y jeweils noch in einer Kubikzahl übereinstimmen müssen:

Dann haben wir ein 3x3 semi-magisches Quadrat aus Kubikzahlen gefunden:

Im Mai 2008 arbeitete Uwe Hollerbach mit dieser Methode, unmittelbar nachdem er bestätigt hat, dass die obere Grenze richtig ist 933528127886302221000 ist die wirkliche Cabtaxi(10) Zahl (die kleinste Zahl, Summe oder Differenz von zwei Kubikzahlen in 10 unterschiedlichen Arten). Er benutzte seine sehr lange Liste mit 10597218 einfachen Lösungen ≤ 950000519472444752221, welche Summen oder Differenzen von zwei Kubikzahlen sind, in 3 oder mehr Arten. Jedoch fand er keine Lösung zu dem System (3.1) (3.2), anders ausgedrückt, es existieren keine Zahlen für ein x und y < 9.5 *1020.

Wer kann als erster ein semi-magisches 3x3-Quadrat aus paarweise verschiedenen natürlichen Kubikzahlen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert? In 2007 wurde diese Frage auch auf der website von Carlos Rivera: http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_412.htm veröffentlicht.

Wer kann als erster ein semi-magisches 3x3-Quadrat aus paarweise verschiedenen natürlichen vierten Potenzen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?

4x4 magische Quadrate aus Kubikzahlen
4x4 magische Quadrate aus vierten Potenzen

Nach der Konstruktion von bimagischen Quadraten aus paarweise verschiedenen ganzen Zahlen der Ordnungen 6 und 7 beschäftigte sich Lee Morgenstern im Juni 2006 mit magischen Quadraten aus Kubikzahlen. Er fand eine sehr hübsche Konstruktionsmethode für magische 4x4-Quadrate aus Kubikzahlen (oder jeder anderen Potenz):

Ein solches Quadrat ist magisch, wenn die folgenden drei Gleichungen erfüllt sind:

Seine magische Summe ist Sn = uv. Wenn nur die zwei Gleichungen (4.1) und (4.2) erfüllt sind, dann ist das Quadrat nur semi-magisch.

Definition von standard Taxicab-Zahlen: natürliche Zahlen, die auf zwei verschiedene Arten als Summe von zwei Kubikzahlen geschrieben werden können.
Definition vonTaxicab(j)-Zahlen: natürliche Zahlen, die auf j verschiedene Arten als Summe von zwei Kubikzahlen geschrieben werden können.
 (Lesen Sie auch http://www.research.att.com/~njas/sequences/A001235
oder http://mathworld.wolfram.com/TaxicabNumber.html
oder http://euler.free.fr/taxicab.htm):

Wenn wir zum Beispiel die berühmte kleinste Taxicab-Zahl 1729 von Ramanujan, zuvor schon von Bernard Frénicle de Bessy im Jahr 1657 gefunden, und die zweitkleinste Taxicab-Zahl 4104 verwenden:

können wir ohne weiteres folgendes Quadrat konstruieren:

Nach einer vollständigen Untersuchung durch Lee Morgenstern (nicht nur mit der obigen Methode) ist dieses Quadrat DAS kleinstmögliche semi-magische 4x4-Quadrat aus Kubikzahlen. Wenn wir die 23-Vielfachen des obigen Quadrats außer Acht lassen, erzeugt seine Methode auch das zweitkleinste Quadrat: diesmal mit der kleinsten (1729) und der drittkleinsten Taxicab-Zahl (20683 = 103 + 273 = 193 + 243). So erhält man das zweitkleinste S3 = 1729 * 20683 = 35.760.907. Das drittkleinste kann nicht mit seiner Methode konstruiert werden:

Er bestätigte auch, dass mein CB10 Quadrat mit negativen Zahlen das bestmögliche ist.

Bemerkungen zu Morgensterns 4x4-Methode

Ich arbeitete mit dieser mächtigen Methode, die wirklich magische 4x4-Quadrate (mit zwei magischen Diagonalen) aus Kubikzahlen erzeugen würde, wenn wir wenigstens eine Lösung der obigen drei Gleichungen (4.1) (4.2) (4.3) für die Potenz n=3 finden könnten. Für die Potenz n=2 ist das obige Gleichungssystem lösbar und man kann damit ein magisches Quadrat mit S2 = 125*8357 erzeugen:

Leider war ich nicht in der Lage eine einzige Lösung für n=3, oder 4, oder höher zu finden. Ich verwendete Tabellen, die mir freundlicher Weise von Jaroslaw Wroblewski zur Verfügung gestellt wurden. Wenn meine Berechnungen stimmen, kann ich sagen, dass es unter den folgenden Bedingungen keine Lösung der 3 Gleichungen für n=3 gibt:

Wenn die Methode von Morgenstern ein wirklich magisches 4x4-Quadrat aus Kubikzahlen erzeugen kann, dann sind seine Zahlen riesig!

Journal of Integer Sequences

Wer kann als erster ein magisches 4x4-Quadrat aus paarweise verschiedenen natürlichen Kubikzahlen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert? Dieses Problem findet man auch unter Punkt 8.3 "Who can construct of 4x4 magic square of cubes?" meines Artikels "New Upper Bounds for Taxicab and Cabtaxi Numbers" Veröffentlicht im Journal of Integer Sequences, 2008, Volume 11, Ausgabe 1.
Sehen sie auch http://www.christianboyer.com/taxicab und http://www.cs.uwaterloo.ca/journals/JIS/vol11.html

Und was ist mit magischen Quadraten aus vierten Potenzen? Ich bestimmte einfach die kleinsten Lösungen für (4.1)+(4.2), beginnend mit 635.318.657, einer Zahl die schon Euler fand:

(Eine Liste von gleichen Summen aus vierter Potenzen finden Sie unter
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A003824).

Unter Berücksichtigung aller 1420 Lösungen von:

(die Tabelle von Jaroslaw Wroblewski steht unter http://www.math.uni.wroc.pl/~jwr/422/index.htm), und wenn meine Berechnungen stimmen, kann ich sagen, dass es keine Lösung des Gleichungssystems für n=4 gibt, wenn a,b,c,d,e,f,g,h < 10.000.000.

Wer kann als erster ein magisches 4x4-Quadrat aus paarweise verschiedenen vierten Potenzen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?

Und was ist mit magischen Quadraten aus fünften Potenzen? Für n=5 ist nicht einmal eine Lösung der folgenden Gleichung bekannt:

Mit einer vollständigen Suche im September 2002 fand Stuart Gascoigne keine Lösung für u < 3,26 * 10^32. Jaroslaw Wroblewski fand 2006 keine Lösung für spezielle Zahlen bis 2,43 * 10^37. Noch allgemeiner: Keiner fand bislang eine Lösung für:

Aber bis heute gibt es auch keinen Beweis für die Unlösbarkeit der Gleichung. Schauen Sie nach auf der "Computing Minimal Equal Sums Of Like Powers"-Internetseite http://euler.free.fr/ von Jean-Claude Meyrignac, wo diese Gleichung folgendermaßen bezeichnet wird: (n, 2, 2): n-te Potenz, 2 natürliche Zahlen auf der linken und 2 auf der rechten Seite der Gleichung.

Das heißt wir sind nicht in der Lage, ein semi-magisches Quadrat aus fünften oder höheren Potenzen mit Morgensterns Methode zu konstruieren.

Wer kann als erster ein (semi-)magisches 4x4-Quadrat aus paarweise verschiedenen fünften Potenzen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?

5x5 magische Quadrate aus Kubikzahlen
5x5 magische Quadrate aus vierten Potenzen

Lee Morgenstern bestätigte, dass mein CB12 Quadrat das kleinstmögliche semi-magische 5x5-Quadrat aus Kubikzahlen ist mit S3 = 1.408.896. Er fand die zweitkleinste Lösung:

Im Februar 2010 berechnete ich, dass es kein 5x5 magisches Quadrat mit Kubikzahlen S3 < 20.000.000 geben kann. Daraus kann man schließen, dass es keine Lösung für Zahlen < 171^3 geben kann, weil (170^3 + 169^3 + 168^3 + .... + 146^3)/5 = 19.844.800 < 20.000.000 ist.

Wer kann als erster ein magisches 5x5-Quadrat aus paarweise verschiedenen Kubikzahlen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?

Wer kann als erster ein magisches 5x5-Quadrat aus paarweise verschiedenen vierten Potenzen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?

Er bestätigte auch, dass mein CB11 Quadrat aus ganzen Kubikzahlen (auch negativen) das bestmögliche ist.

6x6 magische Quadrate aus Kubikzahlen
6x6 magische Quadrate aus vierten Potenzen

Lee Morgenstern fand eine Konstruktionsmethode für semi-magische 6x6-Quadrate aus n-ten Potenzen. Wenn die folgenden beiden Gleichungen (6.1) (6.2) erfüllt sind:

dann ist das untenstehende Quadrat aus n-ten Potenzen semi-magisch mit magischer Summe Sn = uv:

Für n=3 sind die Lösungen dieser Gleichungen wohlbekannt, wir finden zum Beispiel bei

die beiden kleinsten Lösungen:

und somit das Quadrat:

Lee Morgenstern konstruierte auch ein magisches 6x6-Quadrat aus ganzen Kubikzahlen mit S3=0, wie meine CB10 und CB11 Quadrate. Außer 0 werden alle Zahlen von -18 bis 18 verwendet:

Bemerkungen zu Morgensterns 6x6-Methode

Das obige Quadrat mit S3 = 88.327.172.871 ist das kleinstmögliche, das man mit dieser Methode konstruieren kann. Aber es gibt möglicherweise kleinere semi-magische 6x6-Quadrate aus natürlichen Kubikzahlen und keiner kennt ein magisches 6x6-Quadrat aus ganzen Kubikzahlen mit zwei magischen Diagonalen.

Wer kann als erster ein magisches 6x6-Quadrat aus paarweise verschiedenen natürlichen Kubikzahlen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?

Ich ergänze: Mit Morgensterns Methode kann man beim augenblicklichen Stand der Forschung über Taxicab-Zahlen keine semi-magischen 6x6-Quadrate mit vierten Potenzen konstruieren:

Definition von verallgemeinerten Taxicab(n, i, j)-Zahlen:
x=Taxicab(n, i, j) ist eine natürliche Zahl, die auf j verschiedene Arten als Summe von i n-ten Potenzen geschrieben werden kann. Für n=3 und i=2 entspricht die Zahl Taxicab(j).

Wer kann als erster ein magisches 6x6-Quadrat aus paarweise verschiedenen vierten Potenzen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?

7x7 magische Quadrate aus Kubikzahlen
7x7 magische Quadrate aus vierten Potenzen

Nach Lee Morgenstern's Berechnungen done vom Mai 2008 gibt es kein 7x7 semi-magisches Quadrat aus Kubikzahlen, die 49 Zahlen im Bereich von 13 bis 553 verwenden. Er dehnte seine Berechnungen bis zum August 2008 aus: ebenso unmöglich sind Zahlen bis zu 583.

Wer kann als erster ein magisches 7x7-Quadrat aus paarweise verschiedenen Kubikzahlen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?

Wer kann als erster ein magisches 7x7-Quadrat aus paarweise verschiedenen vierten Potenzen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?

Im folgenden magischen Quadrat werden auch negative Kubikzahlen verwendet und zwar alle Zahlen von -24 bis 24, einschließlich 0:

Zurück zur Homepage http://www.multimagie.com