Kleinste magische Quadrate aus Dreieckszahlen (und aus Vieleckszahlen)

Die ersten PolygonalZahlen
(Vieleckszahlen werden in der Literatur
auch als Polygonalzahlen bezeichnet.)

1941 stellte Royal Vale Heath dieses einfache Problem E 496 in The American Mathematical Monthly vor:

Was ist der kleinste Wert von n bei dem die n² Dreieckszahlen 0, 1, 3, 6, 10, …, n²(n² - 1)/2 als magisches Quadrat angeordnet sind?

Mit dem einzigen Beweis von n £ 8, blieb dieses Problem ungelöst. "Besser spät als niemals", hier ist die im April 2007 gefundene Lösung, 66 Jahre später:

n = 6.

Meine Lösung wurde in der Oktober Ausgabe 2007 des The American Mathematical Monthly, einschließlich des Beispiels veröffentlicht:

Eine Lösung des Heath’s Problems E 496.
Ordnung n=6. Magisches Quadrat mit aufeinanderfolgenden Dreieckszahlen
von 0 bis 630. S=1295

0	406	120	528	105	136
1	300	435	378	171	10
66	276	496	15	91	351
595	78	153	28	210	231
3	190	55	21	465	561
630	45	36	325	253	6

Lesen Sie in diesem Zusammenhang auch den Mathematical Tourist Beitrag vom November 2007, geschrieben von Ivars Peterson:

•  http://www.maa.org/mathtourist/mathtourist_11_7_07.html

Meine Lösung wurde auch in der Januar 2008 Ausgabe von Pour La Science (Seite 31) und Sciences et Avenir (Seite 20) veröffentlicht.

Kleinste mögliche magische Quadrate aus Vieleckszahlen

p	Magische Quadrate	mit aufeinander folgenden p-Vieleckszahlen	mit paarweise verschiedenen p-Vieleckszahlen
		Kleinste mögliche Ordnung n	Kleinste mögliche Ordnung n	Kleinste bekannte Ordnung n
3	aus Dreieckszahlen	6 (**)	Unbekannt! (vielleicht 3?)	4 (**)
4	aus Viereckszahlen (= aus Quadratzahlen)	7 (*)	Unbekannt! (vielleicht 3?)	4 (*, von L. Euler, 1770)
5	aus Fünfeckszahlen	7 (**)	Unbekannt! (vielleicht 3?)	4 (**, von L. Morgenstern, 2007)

(*) Beispiele dieser Quadrate finden sie hier
(**) Beispiele dieser Quadrate finden sie in meiner erweiterten Lösung weiter unten

Einen ausführlicheren Text als in der veröffentlichten Version im Monthly finden sie in zwei Formaten:

• Sehen sie die erweiterte Lösung (in englisch) im HTML Format
• Download der erweiterten Lösung (in englisch) in PDF format (131Kb, 7 Seiten)

In dieser erweiterten Lösung, sehen sie:

•   Die Beziehung zu bimagischen Quadraten
•   Kleinste magische Quadrate anderer Vieleckszahlen (mit Beispielen aus magischen Quadraten aus Fünfeckszahlen)
•   Zwei ungelöste Probleme, unter Verwendung ganzer Zahlen anstelle aufeinander folgender Zahlen
•   Das kleinste magische Quadrat aus beliebigen Dreieckszahlen
•   Das kleinste magische Quadrat aus beliebigen Fünfeckszahlen
•   Meine Anerkennung an Sebastião A. da Silva (Brazil), Doug Hensley und Douglas B. West (USA), George P. H. Styan und Evelyn Matheson Styan (Kanada)
•   Die Erklärung eines Geschenkes das ich aus Rio erhielt:

Zurück zur Homepage http://www.multimagie.com