Multimagische Reihen für Quadrate
Siehe auch Multimagische Reihen für Würfel

Wie man beim kleinsten bimagischen und beim kleinsten trimagischen Quadrat sehen kann, ist es für die Konstruktion eines p-multimagischen Quadrates der Ordnung n interessant, alle p-multimagischen Reihen der Ordnung n zu finden. Das sind alle Reihen aus n verschiedenen natürlichen Zahlen von 1 bis n², welche die korrekten magischen, bimagischen, ... p-multimagischen Summen haben.

Die Ordnung 4 ist die kleinste, bei der bimagische Reihen auftreten. Hier sind die 2 bimagischen Reihen, die überraschender Weise auch trimagisch sind:

Das bedeutet:

  1. 15 + 9 + 8 + 2 = 14 + 12 + 5 + 3 = 34 = S1
  2. 152 + 92 + 82 + 22 = 142 + 122 + 52 + 32 = 374 = S2
  3. 153 + 93 + 83 + 23 = 143 + 123 + 53 + 33 = 4624 = S3

Bei der Ordnung 5 gibt es 8 bimagische Reihen, die auf der Seite Kleinstes bimagisches Quadrat aufgelistet sind.

Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der multimagischen Reihen. Für manche Ordnungen können alle Reihen als Excel-Datei heruntergeladen werden (28KB bis 800KB). Für die Ordnung 12 wurde die Anzahl der trimagischen, tetramagischen und pentamagischen Reihen von Walter Trump aus Deutschland mitgeteilt. Die Zahlen von Walter Trump wurden 2004 von Fredrik Jansson aus Finnland bestätigt. Und Fredrik ging noch weiter: er berechnete erstmals die riesige Anzahl der bimagischen Reihen der Ordnung 12 und die Anzahl der multimagischen Reihen der Ordnung 13.

Auf dem Gebiet der bimagischen Serien gab es zwischen Juli und Oktober 2005 aus Deutschland Fortschritte zu vermelden:

Im April 2008 bereechnete Michael Quist, USA die Anzahl von tetramagischen und pentamagischen Reihen der Ordnung 16. Und im Mai 2008 berechnete er die Anzahl von trimagischen Reihen der Ordnung 15 (und er bestätigte ebenfalls die Anzahl der trimagischen Reihen der Ordnung 13 die zuvor von Fredrik Jansson berechnet wurden). Dann im August 2008 berechnete er die bimagischen Reihen der Ordnung 18, 19 und 20 (und bestätigte die Richtigkeit aller zuvor berechneten Reihen niedriger Ordnung).

Bei der Ordnung 12 treten zum ersten Mal tetra- und pentamagische Reihen auf. In den 106 tetramagischen Reihen sind 4 pentamagische Reihen enthalten. Diese 4 Reihen sind symmetrisch, das bedeutet: i-te Zahl + (13-i)-te Zahl = 12² + 1 = 145.

Was ist die kleinste Ordnung in der hexamagische Reihen möglich sind?

Auf unsere bimagischen, trimagischen, tetramagischen und pentamagischen Reihen wird verwiesen unter den Nummern A052457, A052458, A090037 und A106646 in Neil Sloane's Encyclopedia of Integer Sequences, AT&T Research.

Beachten Sie außerdem den Abschnitt "Multimagic Series" in Eric Weisstein's World of Mathematics, Wolfram Research.

Im April und Mai 2005 bestimmte Walter Trump Näherungswerte für die Anzahl von verschiedenen magischen Serien, einschließlich der bimagischen Serien der Ordnungen 13 bis 20, unter Verwendung von Monte-Carlo-Methoden. Einzelheiten unter: http://www.trump.de/magic-squares/magic-series/index.html. Die später berechnete tatsächliche Anzahl einiger bimagischen Reihen (siehe oben) zeigte, dass die Näherungen sehr gut waren!

Im Januar 2006 bewies Robert Gerbicz aus Ungarn, dass es keine tetramagischen Reihen der Ordnung 15 gibt. Hier ist der Beweis:

Die magischen Summen sind:

S4==15 mod 16. Da (2*x+1)^4==1 mod 16 und (2*x)^4==0 mod 16 gilt, müssen alle 15 Zahlen ungerade sein.

Sei a(k)=2*b(k)+1 (wobei alle b(k) ganze Zahlen sind) und T1=sum(b(k), k=1..15), T2=sum(b(k)^2, k=1..15), und so weiter ...

Auf Grund der Binomialsätze gilt:

Dieses lineare Gleichungssystem kann leicht gelöst werden:

Daraus ergibt sich ein Widerspruch: Da x==x^4 mod 2 gilt, sollte auch T1==T4 mod 2 gelten. Aber T1 ist gerade und T4 ist ungerade!

Also gibt es keine tetramagischen (und pentamagischen, hexamagischen, ...) Reihen der Ordnung 15.

Im Juli 2008 bewies Jaroslaw Wroblewski aus Polen, dass es keine hexamagischen Reihen der Ordnung 17 gibt. Hier ist der Beweis:

Von S4=1(mod 17) schließen wir, dass die Reihen 17 ungerade Zahlen oder eine ungerade und 16 gerade Zahlen haben muss.

***** Im Fall von 17 ungeraden Zahlen, jede in der Form 4k+1 (wobei k auch negative sein kann), bezeichnet Ki die Summe der i-ten Potenzen von k's, bekommen wir

woraus sich

daraus ergibt sich ein Widerspruch für die Parität von K1. Daher gibt es in diesem Fall keine tetramagischen Reihen.

***** Im Fall von einer ungeraden Zahl der Form 4k+1 (wobei k auch negative sein kann) und 16 geraden Zahlen der Form 2p, bezeichnet Pi die Summe der i-ten Potenzen von p's, erhält man aus den Gleichungen S2 and S4:

Da P2 und P4 die gleiche Parität haben, muss k gerade sein, sagen wir k = 2m. Damit ergibt sich aus Gleichung S6:

Was uns erlaubt zu schreiben: m = 4r. Aus den Gleichungen S2 und S6 folgt:

Weil P2 = P6 (mod 4), können wir r=4q benutzen. An diesem Punkt ist der ungerade Term der magischen Reihe gleich 128q+1, q = -2,-1,0,1,2.

Von der Gleichung S4, in der Form

schlussfolgern wir, dass P4 durch 32 teilbar ist und wegen P4 = P6 (mod 8) ist P6 durch 8 teilbar.

Die Gleichung S6 ergibt:

Das zwingt q ungerade zu sein, das heißt q muss plus oder minus 1 sein.

Im Fall von q=1 bekommen wir:

Im Fall q=-1 bekommen wir:

In jedem Fall ist P4 durch 16 teilbar, was bedeutet das alle p's ungerade sind oder alle sind gerade. Jedoch P6 ist durch 64 teilbar, weshalb die Möglichkeit nur gerade p's nicht besteht. Sei p=4x+1 (x kann eine ganze Zahl mit beliebigen Vorzeichen sein).

Von den Gleichungen S2 und S4 bekommen wir für q=1:

und für q=-1:

In beiden Fällen gibt es bei mod 4 ein Widerspruch.

Und noch im Juli 2008 bewies Jaroslaw Wroblewski, dass es keine hexamagischen Reihen der Ordnung 19 gibt. Hier ist der Beweis:

S4(mod 16)=7, was bedeutet, dass jede Reihe aus 7 ungeraden Zahlen der Form 4k+1 und 12 geraden Zahlen der Form 2p besteht. Dann lauten die Gleichungen für S2, S4, S6 wie folgt:

Die letzte Gleichung erfordert ein gerades K1 und dann erhalten P2 and P4 sich widersprechende Paritäten, was beweist: Es gibt keine hexamagischen Reihen der Ordnung 19.

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