Multiplikative magische Würfel

Was sind multiplikative magische Würfel?

Multiplikative magische Würfel sind Würfel die magisch sind durch Verwendung von Multiplikation anstelle von Addition. Die benutzten Zahlen müssen nicht in Reihenfolge sein, aber sie dürfen nur einmal vorkommen. Hier einige Definitionen ähnlich denen additiver Würfel:

Wahrscheinlich ist der erste multiplikative magische Würfel von Harry A. Sayles in The Monist in 1913 veröffentlicht worden. Diese Beschreibungen wurden in dem Buch Magische Quadrate und Würfel von W.S. Andrews erneut veröffentlicht, und auf Seite 293 finden wir zwei Würfel:

Marián Trenkler, Slovakia, veröffentlichte 2002 einen Bericht über multiplikative magische Quadrate und Würfel in Obzory Matematiky, Fyziky a Informatiky 1/2002 (31), Seite 9-16, mit:

Ist es möglich bessere Würfel der gleichen Ordnung, aber mit kleinerem Produkt P, oder kleinerer max. Zahl zu konstruieren? Ja, sowohl für die Ordnung 4 und Ordnung 5!

Nachdem ich multiplikative magische Quadrate studiert habe, zeige ich hier meine besten Ergebnisse für Würfel der Ordnung 3 bis 11, die im Januar 2006 (Mai 2006 für magische Würfel der Ordnung 6 und 10, und Juni 2007 für einen besseren magischen Würfel der Ordnung 4) konstruiert wurden. Mein Ziel ist immer das magische Produkt und die max. Zahl zu minimieren.

Vielen Dank an Edwin Clark, Mathematics Department von the University von South Florida, USA, für die Überprüfung aller meiner multiplikativen Würfel, und der Bestätigung aller meiner angegeben Eigenschaften.

Multiplikative magische Würfel der Ordnung 3

Es ist einfach zu überprüfen, dass jeder multiplikative magische Würfel der Ordnung 3 ein P = (Zentrum)^3 haben muss. Mit den zwei möglichen und unterschiedlichen Konstruktionen unter Verwendung der Zahl 1

können wir genau 4 verschiedene multiplikative magische Würfel der Ordnung 3 mit dem gleichem P = (2·3·5)^3 = 27000 konstruieren: ein Würfel von der ersten Konstruktion, und drei von der zweiten Konstruktion. Obwohl die gleichen Zahlen verwendet werden, sind sie “unterschiedlich“, weil es unmöglich ist irgendwelche anderen von ihnen durch Spiegelung oder Rotation zu erzeugen.

Es ist unmöglich bessere Würfel der Ordnung 3 mit kleinerem P zu konstruieren. Aber wenn man min. Zahl > 1 verwendet, ist es möglich Würfel der Ordnung 3 mit kleinerem max. Zahl (und größerem P) zu konstruieren, wobei das kleinste mögliche max. Zahl 400 ist. Hier sind einige Beispiele mit max. Zahl < 900:

Und ist es möglich semi-magische Würfel der Ordnung 3 mit kleineren Konstanten zu konstruieren. In den folgenden 3 Beispielen haben alle Zeilen, Spalten und Säulen das gleiche magische Produkt P = 7560, aber einige ihrer 4 Triagonalen haben nicht das gleiche Produkt: das rechte Beispiel ist beinahe ein magischer Würfel, nur eine Triagonale ist falsch!!!

Und wie sieht es mit der Addition magischer Diagonalen auf einer Ebene aus? Sowohl für additive und multiplikative magische Würfel, ist es unmöglich perfekte magische Würfel der Ordnung 3 zu konstruieren.

Multiplikative magische Würfel der Ordnung 4

Der Sayles Würfel und der Trenkler Würfel haben die gleiche Charakteristik: P = 57153600, max. Zahl = 7560. Ist es ist möglich Würfel mit kleineren Konstanten der Ordnung 4 zu konstruieren?  JA! Mein bester Würfel hat ein mehr als 8 mal kleineres P, und eine mehr als 18 mal kleinere max. Zahl:

Beste bekannte multiplikative magische Würfel der Ordnung 4
P = 6 486 480 und max. Zahl = 546 (linker Würfel, Januar 2006),
P = 17 297 280 und max. Zahl = 364 (rechter Würfel, Juni 2007)
Der rechte Würfel ist der beste bekannte Würfel und verwendet die kleinsten möglichen Zahlen
(klick auf das Bild um es zu vergrößern)

Dies sind meine zwei besten Würfel, aber ich bin nicht sicher ob ich wirklich die besten möglichen Würfel gefunden habe. Wer ist in der Lage bessere Würfel der Ordnung 4 (mit kleinerem P oder kleinerer max. Zahl) zu konstruieren?  Ist es möglich einen multiplikativen magischen Würfel, egal welcher Ordnung, mit kleineren Zahlen als 364 zu konstruieren? Egal welcher Ordnung, weil wir sehen, dass max. Zahl = 364 des rechten Würfels der Ordnung 4 kleiner ist, als max. Zahl = 400 verwendet beim besten möglichen Würfel der Ordnung 3.
Im Juli 2008 arbeitete Michael Quist an diesem Rätsel #5, und fand heraus, dass jeder Würfel der Ordnung 4 ein max. Zahl ≥ 221 haben muss und dass jeder Würfel der Ordnung 5 oder größer ein max. Zahl ≥ 442 haben muss. Wenn wir annehmen, dass seine Arbeit richtig ist (lesen sie es hier in Englisch), und wenn wir annehmen, dass jeder Würfel der Ordnung 3 ein max. Zahl ≥ 400 haben muss, dann ist das Rätsel begrenzt auf Würfel der Ordnung 4, und ist äquivalent zu: ist es ist möglich einen multiplikativen magischen Würfel der Ordnung 4 zu konstruieren wobei 221 ≤ max. Zahl < 364 ist?

Einige gerade Diagonalen meiner Würfel sind magisch, aber nicht alle: Es ist unmöglich perfekte additive oder perfekte multiplikative magische Würfel der Ordnung 4 zu konstruieren. Mein obere linke Würfel verwendet die folgende Konstruktion mit (a, b, c, d, e, f) = (2, 3, 5, 7, 11, 13):

Im Januar 2010 fand Max Alekseyev, Dept of Computer Science & Engineering, University of South Carolina, einen weiteren magischen Würfel der Ordnung 4 der das gleiche max. Zahl = 364 hat wie mein obiger Würfel, aber mit einem kleineren P. Keine seiner 24 kleinen Diagonalen sind magisch (8 kleine Diagonalen sind in meinem Würfel magisch), aber das ist kein Problem, weil es in einem magischen Würfel nicht nötig ist: nur Zeilen + Spalten + Säulen + 4 Triagonalen müssen magisch sein. Ein exzellenter Würfel den Max konstruiert hat!

Multiplikative magische Würfel der Ordnung 5

Trenkler's Würfel veröffentlicht in 2002 hat ein P = 35286451200, eine max. Zahl = 2448. Ist es möglich Würfel der Ordnung 5 mit kleineren Konstanten zu konstruieren?  JA! Mein bester Würfel hat ein mehr als 2 mal kleineres P und eine mehr als 2 mal kleinere max. Zahl:

Bester bekannter multiplikative magischer Würfel der Ordnung 5,
P = 16 761 064 320 und max. Zahl = 1026
(klicken Sie auf das Bild um es zu vergrößern)
 

Alle seine Zeilen, Spalten, Säulen und die 4 Triagonalen sind magisch. Und dieser Würfel hat eine sehr interessante zusätzliche Eigenschaft: alle seine gebrochenen Triagonalen (im Beispiel blau) sind magisch.

Aber leider sind die geraden Diagonalen nicht magisch: es ist kein perfekter magischer Würfel.

Jedoch ist es möglich einen perfekten magischen Würfel der Ordnung 5 zu konstruieren: Verwenden Sie den ersten bekannten additiv perfekten magischen Würfel der Ordnung 5 konstruiert von Walter Trump und mir in 2003, und ersetzen Sie jede Zahl n mit 2^(n-1). Dann erhält man einen multiplikative perfekten magischen Würfel... aber sehr mühsam... nur bei Verwendung sehr großer Zahlen: max. Zahl = 2^(125-1) = 2.13 · 10^37, und P = 2^310 = 2.09 · 10^93.

Multiplikative magische Würfel der Ordnung 6

Ich habe zwei Würfel konstruiert:

Diese Würfel sind nur semi-magisch: Ihre 4 Triagonalen sind nicht magisch.

Später, im Mai 2006, konstruierte ich einen Würfel, diesmal mit 4 magischen Triagonalen. Diese Eigenschaft geht nur auf Kosten eines größeren Produkt und einer größeren Zahl, als bei den bisherigen semi-magischen Würfeln:

Ist es möglich einen perfekt magischen Würfel der Ordnung 6 zu konstruieren: Verwende Sie den ersten bekannten additive perfekten magischen Würfel der Ordnung 6 konstruiert von Walter Trump in 2003, und ersetzen Sie jede Zahl mit 2^(n-1). Dann erhält man einen multiplikative perfekten magischen Würfel... aber sehr mühsam... nur bei Verwendung sehr großer Zahlen: max. Zahl = 2^(216-1) = 5.27 · 10^64, und P = 2^645 = 1.46 · 10^194.

Multiplikative magische Würfel der Ordnung 7

Meine besten zwei magischen Würfel sind:

Wie bei den Würfeln magischen Würfeln der Ordnung 5, sind alle ihre gebrochenen Triagonalen und die 4 geraden Triagonalen sind magisch, aber ihre Diagonalen der Ebene sind nicht magisch: sie sind keine perfekten magische Würfel. Mit dem gleichen P und max. Zahl, habe ich erfolgreich Würfel konstruieren können mit allen ihren magischen Diagonalen jeder Ebene... aber unglücklicherweise habe ich dabei 2 der 4 magischen Triagonalen verloren.

Unter Beibehaltung der magischen plane Diagonalen, habe ich zwei Würfel mit 3 magischen Triagonalen konstruiert (jetzt ist nur noch eine Triagonale falsch!) aber auf Kosten größerer Charakteristik bzw. Zahlen:

und schließlich war ich erfolgreich einen perfekt magischen Würfel mit 4 magische Triagonalen zu konstruieren, aber wieder nur auf Kosten größerer Charakteristik bzw. Zahlen: Die Kosten für die 4. Triagonale sind sehr hoch!

Aber sogar mit dieser großen Charakteristik bzw. Zahlen, ist der Würfel mit P = 1.41 · 10^27 der beste bekannte perfekte magische Würfel mit dem kleinsten magischen Produkt. Wer wird erfolgreich sein und einen perfekten Würfel der Ordnung (5, 6, 7,...) mit einem kleineren magischen Produkt konstruieren?

Perfekte Würfel mit kleinerem Zahlen sind bekannt: siehe mein pandiagonal perfekt Würfel der Ordnung 11 mit max. Zahl = 24,992.

Multiplikative magische Würfel der Ordnung 8 bis 11

Siehe die Zusammenfassung in dieser Tabelle am Anfang dieser Seite. Und siehe die Seite über pandiagonal perfekt multiplikative magische Würfel.

Die ersten beiden Zahlen sind: "2006" und "1" in den Würfeln der Ordnung  10 und 11, genau dann wann sie konstruiert wurden! Im Januar des Jahres 2006!

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