Das kleinstmögliche bimagische Quadrat mit paarweise verschiedenen ganzen Zahlen
Sehen Sie
auch Das kleinstmögliche bimagische Quadrat mit
aufeinander folgenden ganzen Zahlen
Eines der wichtigsten Probleme auf dem Gebiet der multimagischen Quadrate: welche Ordnung hat das kleinste bimagische Quadrat mit paarweise verschiedenen ganzen Zahlen? Dies ist das ungelöste Problem 3 aus meinem Artikel in The Mathematical Intelligencer (sehen Sie auch die Tabelle).
Es ist nicht möglich bimagische Quadrate einer Ordnung kleiner als 8 zu konstruieren, die aus aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen bestehen. Wenn wir jedoch, statt aufeinanderfolgender Zahlen, beliebige paarweise verschiedene ganze Zahlen zulassen, sollte es diese zusätzliche Freiheit gestatten, kleinere bimagische Quadrate zu konstruieren (und die Quadratzahlen stellen keinen Hinderungsgrund dar, weil es ja magische Quadrate aus Quadratzahlen mit Ordnungen kleiner 8 gibt). Aber es ist unglaublich schwierig, solche kleinen bimagischen Quadrate zu finden:
Kleinste mögliche bimagische Quadrate: 5x5 oder 6x6?
Ordnung |
Kleinstes |
Kleinstes |
Kleinstes |
Bemerkungen |
3x3 |
Unmöglich |
Zuerst überprüft von Edouard Lucas, 1891 |
||
4x4 |
Unmöglich |
Zuerst (unabhängig) überprüft
von Luke Pebody |
||
5x5 |
Unbekannt! |
Dies ist das am meisten gesuchte bimagische Problem !!!!!! |
||
6x6 |
72 |
219 |
10 663 |
Erstes bekannte 6x6 Quadrat |
7x7 |
67 |
238 |
10 400 |
|
8x8 |
64 |
260 |
11 180 |
Dies sind die besten möglichen 8x8 Charakteristika, weil sie aufeinander folgende ganze Zahlen von 1 bis 64 verwenden. Zuerst von G. Pfeffermann, 1890 entdeckt. |
Hier sind die besten Konstruktionsversuche für Quadrate mit paarweise verschiedenen Zahlen. Alle sind zumindest semi-bimagisch (außer dem zweiten 5x5 Beispiel): alle Zeilen und Spalten sind bimagisch. Die Schwierigkeit besteht darin, zwei bimagische Diagonalen zu finden... Falls Sie weitergehende Ergebnisse haben, senden Sie mir eine Nachricht! Ich würde mich freuen, Ihre Ergebnisse auf dieser Seite zu veröffentlichen.
Bimagische Quadrate der Ordnungen 3 und 4 mit paarweise verschiedenen ganzen Zahlen?
Edouard Lucas hat 1891 bewiesen, dass solche Quadrate für die Ordnung 3 nicht existieren (hier finden Sie weitere Einzelheiten). Ich stellte in meinem M.I. Artikel einen sehr kurzen Beweis vor, in dem sogar die Nichtexistenz von semi-bimagischen Quadraten der Ordnung 3 gezeigt wird. "Semi-magisch" heißt, dass nur die Summen der Zeilen und Spalten betrachtet werden, die Diagonalen werden nicht berücksichtigt.
Luke Pebody und Jean-Claude Rosa haben 2004 bewiesen, dass es nicht möglich ist, ein bimagisches Quadrat der Ordnung 4 zu konstruieren, wenn paarweise verschiedene ganze Zahlen verwendet werden. (Hier finden Sie weitere Einzelheiten). Es gibt also kein Zahlen-Quadrat der Ordnung 4, bei dem alle 20 geforderten Summen korrekt sind. Trotzdem ist es interessant, nach dem bestmöglichen 4x4-Quadrat zu suchen. Mein bestes Ergebnis stellt das folgende Quadrat dar, bei dem 17 von 20 Summen richtig sind: Nur 3 falsche Summen. Es ist das Quadrat CB8 aus dem M.I. Artikel.
4x4-Quadrat... |
=205 |
>>> |
...quadriert |
=13939 |
||||||
9 |
55 |
105 |
36 |
=205 |
9² |
55² |
105² |
36² |
=15427 |
|
69 |
100 |
21 |
15 |
=205 |
69² |
100² |
21² |
15² |
=15427 |
|
28 |
49 |
19 |
109 |
=205 |
28² |
49² |
19² |
109² |
=15427 |
|
99 |
1 |
60 |
45 |
=205 |
99² |
1² |
60² |
45² |
=15427 |
|
=205 |
=205 |
=205 |
=205 |
=173 |
=15427 |
=15427 |
=15427 |
=15427 |
=12467 |
Lesen Sie von weiteren Quadraten der Ordnung 4 und bedenken Sie: Das obige Quadrat ist das kleinste semi-bimagische Quadrat. Es hat 16 korrekte Summen, genau wie verlangt, weil die Diagonalen ja nicht berücksichtigt werden.
Wie oben erläutert, ist es nicht möglich, 20 korrekte Summen zu erhalten. Gelingt es jemanden, ein beinahe bimagisches 4x4-Quadrat mit 18 oder 19 korrekten Summen zu konstruieren?
Im August 2009 bewies Lee Morgenstern mathematisch, dass ein magisches Quadrat der Ordnung 4 nicht semi-bimagisch sein kann:
Dieser Beweis bedeutet, dass es unmöglich ist 18 korrekte Summen nachfolgender Art zu haben: 10 korrekte Summen S1, und 8 korrekte Summen S2 (4 Zeilen + 4 Spalten). Aber beinahe bimagische Quadrate mit 18 korrekten Summen, sind bei Verwendung unterschiedlicher Kombinationen möglich. Hier ist ein Beispiel konstruiert von Lee, ebenfalls im August 2009:
4x4 Quadrat... |
=1765 |
>>> |
...quadriert |
=906271 |
||||||
225 |
157 |
681 |
606 |
=1669 |
225² |
157² |
681² |
606² |
=906271 |
|
801 |
222 |
265 |
381 |
=1669 |
801² |
222² |
265² |
381² |
=906271 |
|
382 |
633 |
597 |
57 |
=1669 |
382² |
633² |
597² |
57² |
=906271 |
|
261 |
657 |
126 |
625 |
=1669 |
261² |
657² |
126² |
625² |
=906271 |
|
=1669 |
=1669 |
=1669 |
=1669 |
=1669 |
=906271 |
=906271 |
=906271 |
=906271 |
=846943 |
Mein letzter Teil der obigen Frage bleibt offen: Gelingt es jemanden, ein beinahe bimagisches 4x4-Quadrat mit 19 korrekten Summen zu konstruieren?
In August-September 2011 versuchte Lee eine Antwort zu finden mit diesen komplett parametrisierten Lösungen, aber er fand kein Beispiel mit 19 korrekten Summen:
and finally proved in June 2012 that 4th-order nearly bimagic square with 19 correct sums are impossible (text file in English).
Bimagische Quadrate der Ordnung 5 mit paarweise verschiedenen ganzen Zahlen?
Mein bestes Ergebnis ist das folgende Quadrat, bei dem 22 von 24 Summen richtig sind: nur 2 falsche Summen. Es ist das Quadrat CB9 aus dem M.I. Artikel.
Magisches 5x5-Quadrat... |
=120 |
>>> |
...quadriert |
=3296 |
||||||||
3 |
37 |
20 |
44 |
16 |
=120 |
3² |
37² |
20² |
44² |
16² |
=3970 |
|
34 |
35 |
1 |
12 |
38 |
=120 |
34² |
35² |
1² |
12² |
38² |
=3970 |
|
41 |
8 |
24 |
40 |
7 |
=120 |
41² |
8² |
24² |
40² |
7² |
=3970 |
|
10 |
36 |
47 |
13 |
14 |
=120 |
10² |
36² |
47² |
13² |
14² |
=3970 |
|
32 |
4 |
28 |
11 |
45 |
=120 |
32² |
4² |
28² |
11² |
45² |
=3970 |
|
=120 |
=120 |
=120 |
=120 |
=120 |
=120 |
=3970 |
=3970 |
=3970 |
=3970 |
=3970 |
=4004 |
Die obigen Diagonalen sind nicht bimagisch. Wenn wir magische Quadrate konstruieren, bei denen alle vier Linien durch das Zentrum bimagisch sind (= 2 bimagische Diagonalen + bimagische mittlere Zeile + bimagische mittlere Spalte) und auch die vier Zeilen bimagisch sind, dann scheint es unmöglich zu sein, auch nur eine bimagische Spalte zu erhalten! Hier ein Beispiel für ein solches Quadrat mit 20 korrekten Summen, nur 4 Summen sind falsch:
Magisches 5x5-Quadrat... |
=120 |
>>> |
...quadriert |
=3856 |
||||||||
1 |
17 |
37 |
26 |
39 |
=120 |
1² |
17² |
37² |
26² |
39² |
=3856 |
|
50 |
25 |
21 |
11 |
13 |
=120 |
50² |
25² |
21² |
11² |
13² |
=3856 |
|
33 |
31 |
41 |
10 |
5 |
=120 |
33² |
31² |
41² |
10² |
5² |
=3856 |
|
14 |
7 |
19 |
35 |
45 |
=120 |
14² |
7² |
19² |
35² |
45² |
=3856 |
|
22 |
40 |
2 |
38 |
18 |
=120 |
22² |
40² |
2² |
38² |
18² |
=3856 |
|
=120 |
=120 |
=120 |
=120 |
=120 |
=120 |
=4270 |
=3524 |
=3856 |
=3566 |
=4064 |
=3856 |
Ich vermute, dass es keine bimagischen Quadrate der Ordnung 5 gibt. Kann jemand einen Beweis dafür finden?
Oder kann jemand ein bimagisches Quadrat der Ordnung 5 konstruieren (= 24 korrekte Summen)? Oder wenigsten ein beinahe bimagisches Quadrat mit 23 richtigen Summen?
Wenn wir nichtmagische Quadrate akzeptieren – die beiden obigen Beispiele sind magisch – dann ist es möglich nahezu bimagische Quadrate der Ordnung 5 zu konstruieren, nämlich mit 23 korrekten Summen. Das Beispiel von Lee Morgenstern in August 2006 hat nur eine nicht-magische Diagonale.
Dieses 5x5 nicht-magische Quadrat... |
=1505 |
>>> |
... wird magisch |
=456929 |
||||||||
296 |
388 |
217 |
268 |
316 |
=1485 |
296² |
388² |
217² |
268² |
316² |
=456929 |
|
220 |
328 |
350 |
349 |
238 |
=1485 |
220² |
328² |
350² |
349² |
238² |
=456929 |
|
394 |
265 |
286 |
314 |
226 |
=1485 |
394² |
265² |
286² |
314² |
226² |
=456929 |
|
301 |
280 |
370 |
202 |
332 |
=1485 |
301² |
280² |
370² |
202² |
332² |
=456929 |
|
274 |
224 |
262 |
352 |
373 |
=1485 |
274² |
224² |
262² |
352² |
373² |
=456929 |
|
=1485 |
=1485 |
=1485 |
=1485 |
=1485 |
=1485 |
=456929 |
=456929 |
=456929 |
=456929 |
=456929 |
=456929 |
Im Oktober 2006 suchte Lee Morgenstern ein "assoziatives" bimagisches Quadrat. In solch einem Quadrat, ist die Summe zweier symmetrischer Zahlen um das Zentrum konstant, wie im Quadrat CB9. Seine Schlussfolgerung: Es gibt kein 5x5 assoziatives bimagisches Quadrat , bei dem alle Zahlen kleiner als 600,000 sind.
Im Juli 2009 war Lee erfolgreich und fand ein beinahe bimagisches Quadrat der Ordnung 5 mit 23 korrekten Summen, und diesmal ist das Quadrat magisch!
Magisches 5x5-Quadrat... |
=1030 |
>>> |
...quadriert |
=300094 |
||||||||
187 |
289 |
3 |
109 |
442 |
=1030 |
187² |
289² |
3² |
109² |
442² |
=325744 |
|
111 |
457 |
205 |
250 |
7 |
=1030 |
111² |
457² |
205² |
250² |
7² |
=325744 |
|
493 |
103 |
130 |
219 |
85 |
=1030 |
493² |
103² |
130² |
219² |
85² |
=325744 |
|
178 |
147 |
463 |
1 |
241 |
=1030 |
178² |
147² |
463² |
1² |
241² |
=325744 |
|
61 |
34 |
229 |
451 |
255 |
=1030 |
61² |
34² |
229² |
451² |
255² |
=325744 |
|
=1030 |
=1030 |
=1030 |
=1030 |
=1030 |
=1030 |
=325744 |
=325744 |
=325744 |
=325744 |
=325744 |
=325744 |
Wir können sehen, dass die größte verwendete Zahl im obigen Quadrat 493 ist. Im August-September 2009 errechnete Gildas Guillemot, Ecole Nationale Supérieure d'Arts et Métiers (ENSAM), France, dass es kein 5x5 bimagisches Quadrat geben kann mit 25 verschieden Zahlen < 500. Sein Programm lief 14 Tage auf einen PC.
Im Juli 2010, fand Michael Quist ein neues beinahe bimagisches Quadrat der Ordnung 5 mit 23 korrekten Summen, ebenfalls ein magisches Quadrat, aber mit kleineren Zahlen (die größte Zahl = 340) und kleineren Summen als das Quadrat vorherige Quadrat von Lee.
Magisches 5x5-Quadrat... |
=844 |
>>> |
...quadriert |
=153340 |
||||||||
25 |
129 |
200 |
295 |
195 |
=844 |
25² |
129² |
200² |
295² |
195² |
=182316 |
|
257 |
165 |
1 |
225 |
196 |
=844 |
257² |
165² |
1² |
225² |
196² |
=182316 |
|
127 |
340 |
171 |
111 |
95 |
=844 |
127² |
340² |
171² |
111² |
95² |
=182316 |
|
267 |
85 |
265 |
176 |
51 |
=844 |
267² |
85² |
265² |
176² |
51² |
=182316 |
|
168 |
125 |
207 |
37 |
307 |
=844 |
168² |
125² |
207² |
37² |
307² |
=182316 |
|
=844 |
=844 |
=844 |
=844 |
=844 |
=844 |
=182316 |
=182316 |
=182316 |
=182316 |
=182316 |
=182316 |
Im Juli 2011, während er versuchte ein kleineres Beispiel zu finden, berechnete Gildas Guillemot dass es keine 5x5 beinahe bimagischen Quadrate mit 23 korrekten Summmen gibt bei denen alle Zahlen < 300 sind. Er fand diese 5719 unterschiedlichen Quadrate mit 22 korrekten Summen: zipped Text Datei 336Kb. In seiner Suche sind die Quadrate magisch, die falschen Summen ergeben sich in den Diagonalen, wenn die Zahlen quadriert werden.
Und wie sieht es mit bimagischen Quadraten aus, wenn wir die Wiederholung einiger Zahlen erlauben? Im November 2007 hat Michael Cohen (Washington DC, USA) ein Dokument verteilt mit dem Titel “The Order 5 General Bimagic Square“, was im Journal of Recreational Mathematics erscheinen wird. In diesem jetzt veröffentlichten Artikel Vol 34(2) Seite 107-111, 2005-2006 (aber in der ursprünglichen Form in der zweiten Hälfte des Jahres 2008 gedruckt), stellt er dieses interessante Problem da:
Gibt er ein Quadrat mit 5 verschiedenen Reihen an. Ich habe ihm ein etwas besseres Quadrat geschickt, dass aus 6 Reihen besteht. In seinem Quadrat enthält diese Reihe {1, 5, 9, 9, 16} zweimal die gleiche Zahl 9. In meinem Quadrat sind alle Zahlen innerhalb einer Reihe unterschiedlich: {4, 9, 18, 26, 28}, {4, 10, 17, 24, 30}, {1, 12, 22, 24, 26}, {9, 10, 12, 20, 34}, {1, 16, 18, 20, 30}, {4, 9, 20, 22, 30}. Wer kann ein bimagisches Quadrat konstruieren, das mehr Reihen hat und mit unterschiedlichen Zahlen in jeder Reihen?
1 |
3 |
12 |
13 |
11 |
|
4 |
18 |
26 |
28 |
9 |
16 |
9 |
5 |
1 |
9 |
17 |
30 |
24 |
4 |
10 |
|
5 |
7 |
15 |
12 |
1 |
24 |
1 |
22 |
26 |
12 |
|
9 |
4 |
1 |
11 |
15 |
10 |
20 |
12 |
9 |
34 |
|
9 |
17 |
7 |
3 |
4 |
30 |
16 |
1 |
18 |
20 |
Bimagische Quadrate der Ordnung 6 mit paarweise verschiedenen ganzen Zahlen?
--- 1) 1894. beinahe bimagisches Quadrat der Ordnung 6 von G. Pfeffermann, 26 von 28 Summen korrekt, zwei falsche Summen.
--- 2) 2005. Ich konstruierte ein besseres Quadrat der Ordnung 5, bei dem 27 von 28 Summen richtig sind, nur eine falsche Summe.
Magisches 6x6-Quadrat... |
=168 |
>>> |
...quadriert |
=6524 |
||||||||||
41 |
35 |
6 |
2 |
37 |
47 |
=168 |
41² |
35² |
6² |
2² |
37² |
47² |
=6524 |
|
5 |
42 |
33 |
39 |
46 |
3 |
=168 |
5² |
42² |
33² |
39² |
46² |
3² |
=6524 |
|
38 |
7 |
45 |
43 |
1 |
34 |
=168 |
38² |
7² |
45² |
43² |
1² |
34² |
=6524 |
|
22 |
55 |
13 |
11 |
49 |
18 |
=168 |
22² |
55² |
13² |
11² |
49² |
18² |
=6524 |
|
53 |
10 |
17 |
23 |
14 |
51 |
=168 |
53² |
10² |
17² |
23² |
14² |
51² |
=6524 |
|
9 |
19 |
54 |
50 |
21 |
15 |
=168 |
9² |
19² |
54² |
50² |
21² |
15² |
=6524 |
|
=168 |
=168 |
=168 |
=168 |
=168 |
=168 |
=168 |
=6524 |
=6524 |
=6524 |
=6524 |
=6524 |
=6524 |
=6012 |
--- 3) Gibt es ein bimagisches Quadrat der Ordnung 6 (=28 richtige Summen)? JA!
Jaroslaw Wroblewski (Wroclaw 1962 - )
Photo von der "LIII
Olimpiada Matematyczna" in Polen, 2002. Klicken Sie zum Vergrößern
auf das Bild.
4. Februar 2006: Jaroslaw Wroblewski, Universität von Wroclaw, Polen, hat als Erster ein nicht-normales bimagisches Quadrat der Ordnung 6 konstruiert, alle 28 Summen sind bimagisch. Ein wichtiges Ergebnis: vor ihm hat es keiner geschafft ein nicht-normales bimagisches Quadrat zu konstruieren, das kleiner war als die klassischen bimagische Quadrate von 1890!
Magisches 6x6-Quadrat... |
=408 |
>>> |
...quadriert |
=36826 |
||||||||||
17 |
36 |
55 |
124 |
62 |
114 |
=408 |
17² |
36² |
55² |
124² |
62² |
114² |
=36826 |
|
58 |
40 |
129 |
50 |
111 |
20 |
=408 |
58² |
40² |
129² |
50² |
111² |
20² |
=36826 |
|
108 |
135 |
34 |
44 |
38 |
49 |
=408 |
108² |
135² |
34² |
44² |
38² |
49² |
=36826 |
|
87 |
98 |
92 |
102 |
1 |
28 |
=408 |
87² |
98² |
92² |
102² |
1² |
28² |
=36826 |
|
116 |
25 |
86 |
7 |
96 |
78 |
=408 |
116² |
25² |
86² |
7² |
96² |
78² |
=36826 |
|
22 |
74 |
12 |
81 |
100 |
119 |
=408 |
22² |
74² |
12² |
81² |
100² |
119² |
=36826 |
|
=408 |
=408 |
=408 |
=408 |
=408 |
=408 |
=408 |
=36826 |
=36826 |
=36826 |
=36826 |
=36826 |
=36826 |
=36826 |
Wie die meisten anderen Quadrate auf dieser Seite ist das Quadrat von Wroblewski "assoziativ": Die Summe zweier symmetrisch zum Zentrum gelegener Zahlen ist konstant. Das Quadrat gilt als kleinstmögliches assoziatives, nicht-normales, bimagisches Quadrat der Ordnung 6.
Nach diesem Quadrat (MaxZahl, S1, S2) = (135, 408, 36826) fand er noch drei “größere” assoziative bimagische Quadrate der Ordnung 6: (205, 618, 86978), (215, 648, 86684), (237, 714, 111074).
--- 4) Ein nächster Schritt? Weil Jaroslaw Wroblewski assoziative Quadrate suchte, ist sein obiges kleinste Quadrat vielleicht nicht das kleinstmögliche der Ordnung 6 ist. Daher die neue Aufgabe: Konstruieren Sie ein “kleineres” nicht-normales bimagisches Quadrat der Ordnung 6, mit MaxZahl<135, oder S1<408, oder S2<36826? (Also ein Quadrat das nicht assoziativ ist und vielleicht überhaupt keine spezielle Struktur besitzt.)
Walter Trump suchte nach achsensymmetrischen bimagischen Quadraten der Ordnung 6. Er fand keine Lösung mit MaxZahl < 192.
Im Mai 2006, kurz nach seinem bimagischem Quadrat der Ordnung 7 fand Lee Morgenstern zwei bessere Quadrate als die Wroblewski Quadrate: (72,219,10663) und (109,330,26432). Er verwendete ungewöhnliche Strukturen. Nachfolgend sein bestes Beispiel: In den zwei Spalten auf der linken Seite haben zwei Zellen mit der gleichen Farbe die Summe 73. Nicht farbig, aber genau die gleiche Struktur in zwei zentralen Spalten und in den zwei rechten Spalten.
Magisches 6x6-Quadrat... |
=219 |
>>> |
...quadriert |
=10663 |
||||||||||
72 |
18 |
17 |
16 |
49 |
47 |
=219 |
72² |
18² |
17² |
16² |
49² |
47² |
=10663 |
|
13 |
52 |
36 |
5 |
50 |
63 |
=219 |
13² |
52² |
36² |
5² |
50² |
63² |
=10663 |
|
38 |
35 |
7 |
66 |
15 |
58 |
=219 |
38² |
35² |
7² |
66² |
15² |
58² |
=10663 |
|
20 |
53 |
34 |
39 |
69 |
4 |
=219 |
20² |
53² |
34² |
39² |
69² |
4² |
=10663 |
|
55 |
1 |
57 |
56 |
26 |
24 |
=219 |
55² |
1² |
57² |
56² |
26² |
24² |
=10663 |
|
21 |
60 |
68 |
37 |
10 |
23 |
=219 |
21² |
60² |
68² |
37² |
10² |
23² |
=10663 |
|
=219 |
=219 |
=219 |
=219 |
=219 |
=219 |
=219 |
=10663 |
=10663 |
=10663 |
=10663 |
=10663 |
=10663 |
=10663 |
Lee Morgenstern wandte eine weitere ungewöhnliche Struktur in seinen bimagischen Quadraten der Ordnung 6 an.
Konstruieren Sie ein “kleineres” nicht-normales bimagisches Quadrat der Ordnung 6, mit Max Zahl<72, oder S1<219, oder S2<10663?
Im Oktober 2008, beendete Lee Morgenstern seine sehr ausgedehnte Suche: Es gibt keine Lösung mit MaxNb<72, was bedeutet, dass das obige Quadrat nicht unterboten werden kann! Aber das Minimum von S1 und S2 sind noch offene Fragen.
Und im Juli 2009, nach mehreren Monaten Rechenzeit auf bis zu 8 Rechnern, glaubt Lee Morgenstern dass seine Lösung das kleinste S1 und kleinste S2 hat. Sein obiges Quadrat ist DAS kleinste mögliche bimagische Quadrat der Ordnung 6. Die Antwort zu obiger Frage ist Nein!
Bimagische Quadrate der Ordnung 7 mit paarweise verschiedenen ganzen Zahlen?
--- 1) 2005. Mein bestes Ergebnis ist das folgende Quadrat, bei dem 31 von 32 Summen richtig sind: nur eine falsche Summe.
Magisches 7x7-Quadrat... |
=196 |
>>> |
...quadriert |
=7244 |
||||||||||||
51 |
8 |
29 |
21 |
26 |
11 |
50 |
=196 |
51² |
8² |
29² |
21² |
26² |
11² |
50² |
=7244 |
|
32 |
10 |
53 |
18 |
33 |
43 |
7 |
=196 |
32² |
10² |
53² |
18² |
33² |
43² |
7² |
=7244 |
|
25 |
34 |
44 |
1 |
41 |
9 |
42 |
=196 |
25² |
34² |
44² |
1² |
41² |
9² |
42² |
=7244 |
|
19 |
39 |
2 |
28 |
54 |
17 |
37 |
=196 |
19² |
39² |
2² |
28² |
54² |
17² |
37² |
=7244 |
|
14 |
47 |
15 |
55 |
12 |
22 |
31 |
=196 |
14² |
47² |
15² |
55² |
12² |
22² |
31² |
=7244 |
|
49 |
13 |
23 |
38 |
3 |
46 |
24 |
=196 |
49² |
13² |
23² |
38² |
3² |
46² |
24² |
=7244 |
|
6 |
45 |
30 |
35 |
27 |
48 |
5 |
=196 |
6² |
45² |
30² |
35² |
27² |
48² |
5² |
=7244 |
|
=196 |
=196 |
=196 |
=196 |
=196 |
=196 |
=196 |
=196 |
=7244 |
=7244 |
=7244 |
=7244 |
=7244 |
=7244 |
=7244 |
=7706 |
Interessanter Weise ist dieses Quadrat beinahe ein normales magisches Quadrat. Die 49 verwendeten Zahlen reichen von 1 bis 55, also fehlen nur 6 Zahlen. Zwar folgen die Zahlen nicht direkt aufeinander, aber die Lücken sind sehr klein!
--- 2) Gibt es ein bimagisches Quadrat der Ordnung 7 (=32 richtige Summen)? JA!
Am 9. Mai 2006, in Konkurrenz zu Frank Rubin, der ein weiteres Quadrat der Ordnung 31 mit korrekten Summen gefunden hat, konstruierte Lee Morgenstern das erste bekannte bimagische Quadrat der Ordnung 7 mit 32 korrekten Summen. Zwischen dem 9. und 25. Mai fand Lee Morgenstern 8 weitere Quadrate! Sein bestes mit der kleinsten Summe der Zahlen ist nachfolgendes Quadrat mit nachfolgenden Eigenschaften (max. Zahl, S1, S2 = 67, 238, 10400). Es hat sehr ungewöhnliche Symmetrien, die farbigen Quadrate oder Rechtecke sind assoziative: die Summe von zwei gegeneinander liegenden Zahlen ist konstant 68 also zweimal die zentrale Zahl des Quadrats.
Lee Morgenstern ist ein im Ruhestand lebender Mathematiker aus Los Angeles, California, USA. Er löst jetzt Puzzle als Hobby. Er ist der Gewinner einiger Wettbewerbe von Frank Rubin auf www.contestcen.com, und ein Problemlöser einiger von Rubins schwierigen Puzzle. 1989, als er in Sylmar, California lebte, gewann er den Tanglestown USA Puzzle Wettbewerb (sehen Sie Los Angeles Times, 12. März 1989, Teil II, Seite 4).
Magisches 7x7-Quadrat... |
=238 |
>>> |
...quadriert |
=10400 |
||||||||||||
26 |
50 |
51 |
21 |
19 |
10 |
61 |
=238 |
26² |
50² |
51² |
21² |
19² |
10² |
61² |
=10400 |
|
18 |
42 |
49 |
47 |
17 |
7 |
58 |
=238 |
18² |
42² |
49² |
47² |
17² |
7² |
58² |
=10400 |
|
57 |
41 |
1 |
22 |
54 |
38 |
25 |
=238 |
57² |
41² |
1² |
22² |
54² |
38² |
25² |
=10400 |
|
15 |
53 |
31 |
34 |
37 |
62 |
6 |
=238 |
15² |
53² |
31² |
34² |
37² |
62² |
6² |
=10400 |
|
27 |
11 |
14 |
46 |
67 |
43 |
30 |
=238 |
27² |
11² |
14² |
46² |
67² |
43² |
30² |
=10400 |
|
66 |
39 |
48 |
5 |
24 |
33 |
23 |
=238 |
66² |
39² |
48² |
5² |
24² |
33² |
23² |
=10400 |
|
29 |
2 |
44 |
63 |
20 |
45 |
35 |
=238 |
29² |
2² |
44² |
63² |
20² |
45² |
35² |
=10400 |
|
=238 |
=238 |
=238 |
=238 |
=238 |
=238 |
=238 |
=238 |
=10400 |
=10400 |
=10400 |
=10400 |
=10400 |
=10400 |
=10400 |
=10400 |
Von seinen 8 Quadraten: 5 verwenden diese Symmetrie, 2 verwenden eine andere ungewöhnliche Symmetrie, und 1 ist ein assoziatives Quadrat (69, 245, 11483).
Konstruieren Sie ein “kleineres” nicht-normales bimagisches Quadrat der Ordnung 7, mit Max Zahl<67, oder S1<238, oder S2<10400?
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