Multiplikative magische Würfel
Was sind multiplikative magische Würfel?
Multiplikative magische Würfel sind Würfel die magisch sind durch Verwendung von Multiplikation anstelle von Addition. Die benutzten Zahlen müssen nicht in Reihenfolge sein, aber sie dürfen nur einmal vorkommen. Hier einige Definitionen ähnlich denen additiver Würfel:
Wahrscheinlich ist der erste multiplikative magische Würfel von Harry A. Sayles in The Monist in 1913 veröffentlicht worden. Diese Beschreibungen wurden in dem Buch Magische Quadrate und Würfel von W.S. Andrews erneut veröffentlicht, und auf Seite 293 finden wir zwei Würfel:
1 |
90 |
300 |
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150 |
4 |
45 |
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180 |
75 |
2 |
60 |
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18 |
9 |
30 |
100 |
50 |
36 |
15 |
||
450 |
12 |
5 |
20 |
225 |
6 |
3 |
10 |
900 |
Marián Trenkler, Slovakia, veröffentlichte 2002 einen Bericht über multiplikative magische Quadrate und Würfel in Obzory Matematiky, Fyziky a Informatiky 1/2002 (31), Seite 9-16, mit:
Ist es möglich bessere Würfel der gleichen Ordnung, aber mit kleinerem Produkt P, oder kleinerer max. Zahl zu konstruieren? Ja, sowohl für die Ordnung 4 und Ordnung 5!
Nach den Multiplikativen magischen Quadraten, sind hier die besten bekannten Würfel der Ordnung 3 bis 11. Das Ziel ist immer das magische Produkt und max Zahl zu minimieren.
Ordnung |
Magisches Produkt P |
max. Zahl |
Multiplikative Würfel |
Kommentare |
3 |
(c) 6 720 |
224 |
semi-magisch |
|
7 560 |
135 |
semi-magisch |
|
|
(a) 27 000 |
900 |
magisch |
Der beste bekannte magische Würfel (jeder Ordnung) mit dem kleinsten P | |
216 000 |
400 |
magisch |
|
|
4 |
(b) 4 324 320 |
351 |
magisch |
Der beste bekannte magische Würfel (jeder Ordnung) mit der kleinsten max. Zahl |
5 |
(b) 13 967 553 600 |
855 |
magisch |
+ magische gebrochene Triagonalen |
(b) 101 625 502 003 200 000 |
2 976 750 |
perfekt magisch |
Der beste bekannte perfekte magische Würfel (jeder Ordnung) mit dem kleinsten P | |
(b) 104 064 514 051 276 800 000 |
250 880 |
perfekt magisch |
|
|
6 |
(b) 117 327 450 240 000 |
5 225 |
magisch |
|
(b) 23 959 607 303 503 872 000 |
849 420 |
perfekt magisch |
|
|
(b) 80 863 674 649 325 568 000 000 |
66 924 |
perfekt magisch |
|
|
7 |
(b) 897 612 484 786 617 600 |
3 367 |
magisch |
+ magische gebrochene Triagonalen |
(b) 19 407 837 508 899 840 000 |
2 912 |
magisch |
+ magische gebrochene Triagonalen |
|
1 411 407 979 783 492 239 360 000 000 |
1 259 712 |
perfekt magisch |
|
|
5 750 476 043 814 094 602 240 000 000 |
862 400 |
perfekt magisch |
|
|
8 |
58 165 289 014 172 820 480 000 |
11 100 |
magisch |
|
297 508 272 407 615 683 814 400 |
7 520 |
magisch |
|
|
89 518 183 823 250 314 294 722 560 000 |
17 297 280 |
pandiag. perfekt magisch (*) |
Der beste bekannte pandiag. perfekt magische Würfel (jeder Ordnung) mit dem kleinsten P | |
9 |
1 845 817 281 575 760 285 112 320 000 |
19 350 |
magisch |
|
25 544 060 268 917 882 612 304 384 000 |
12 150 |
magisch |
|
|
265 237 261 271 449 982 022 984 892 416 000 |
591 192 |
pandiag. perfekt magisch (*) |
|
|
10 |
117 218 854 345 145 394 654 241 228 800 000 |
22 125 |
semi-magisch |
|
602 839 822 346 462 029 650 383 462 400 000 |
17 400 |
semi-magisch |
|
|
~ 3.50 E+44 |
810 810 000 |
magisch |
|
|
(b) ~ 2.62 E+51 |
1 920 996 000 |
perfekt magisch |
|
|
(b) ~ 3.52 E+59 |
9 018 009 000 |
pandiag. perfekt magisch (*) |
|
|
11 |
9 009 441 144 967 875 033 124 980 845 568 000 000 |
46 620 |
pandiag. perfekt magisch (*) |
|
174 930 251 129 029 312 377 859 321 968 844 800 000 |
24 992 |
pandiag. perfekt magisch (*) |
Der beste bekannte perfekte
magische Würfel (jeder Ordnung), und der beste bekannte pandiag. perfekte magische Würfel (jeder Ordnung) mit der kleinsten max. Zahl |
Vielen Dank an Edwin Clark, Mathematics Department von the University von South Florida, USA, für die Überprüfung aller meiner multiplikativen Würfel in 2006, und der Bestätigung aller meiner angegeben Eigenschaften. |
Multiplikative magische Würfel der Ordnung 3
Es ist einfach zu überprüfen, dass jeder multiplikative magische Würfel der Ordnung 3 ein P = (Zentrum)^3 haben muss. Mit den zwei möglichen und unterschiedlichen Konstruktionen unter Verwendung der Zahl 1
1 |
abc² |
a²b²c |
|
a |
a²bc² |
b²c |
ab²c |
a² |
bc² |
a²b²c |
1 |
abc² |
|
a²bc² |
b²c |
a |
bc² |
ab²c |
a² |
|
|
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a²bc |
b² |
ac² |
a²bc |
b² |
ac² |
|
c² |
abc |
a²b² |
c² |
abc |
a²b² |
|
ab² |
a²c² |
bc |
ab² |
a²c² |
bc |
|
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ab²c² |
a²c |
b |
b²c² |
ac |
a²b |
|
a²b |
b²c² |
ac |
ab |
a²b²c² |
c |
|
c |
ab |
a²b²c² |
a²c |
b |
ab²c² |
können wir genau 4 verschiedene multiplikative magische Würfel der Ordnung 3 mit dem gleichem P = (2·3·5)^3 = 27000 konstruieren: ein Würfel von der ersten Konstruktion, und drei von der zweiten Konstruktion. Obwohl die gleichen Zahlen verwendet werden, sind sie “unterschiedlich“, weil es unmöglich ist irgendwelche anderen von ihnen durch Spiegelung oder Rotation zu erzeugen.
1 |
150 |
180 |
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2 |
300 |
45 |
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3 |
450 |
20 |
|
5 |
450 |
12 |
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4 |
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180 |
1 |
150 |
180 |
1 |
150 |
300 |
1 |
90 |
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300 |
45 |
2 |
75 |
90 |
4 |
50 |
60 |
9 |
18 |
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25 |
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9 |
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60 |
9 |
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90 |
4 |
75 |
150 |
4 |
45 |
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30 |
36 |
25 |
30 |
36 |
25 |
30 |
36 |
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100 |
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100 |
15 |
18 |
100 |
15 |
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225 |
10 |
20 |
225 |
6 |
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450 |
20 |
3 |
225 |
10 |
12 |
100 |
15 |
18 |
36 |
15 |
50 |
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225 |
10 |
6 |
900 |
5 |
6 |
900 |
5 |
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900 |
3 |
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5 |
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900 |
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3 |
450 |
45 |
2 |
300 |
75 |
2 |
180 |
Es ist unmöglich bessere Würfel der Ordnung 3 mit kleinerem P zu konstruieren. Aber wenn man min. Zahl > 1 verwendet, ist es möglich Würfel der Ordnung 3 mit kleinerem max. Zahl (und größerem P) zu konstruieren, wobei das kleinste mögliche max. Zahl 400 ist. Hier sind einige Beispiele mit max. Zahl < 900:
90 |
80 |
30 |
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320 |
150 |
36 |
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200 |
192 |
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240 |
9 |
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180 |
32 |
300 |
288 |
25 |
240 |
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10 |
300 |
72 |
30 |
360 |
160 |
30 |
360 |
160 |
||
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48 |
225 |
20 |
60 |
288 |
100 |
96 |
225 |
80 |
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25 |
60 |
144 |
200 |
120 |
72 |
100 |
120 |
144 |
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180 |
16 |
75 |
144 |
50 |
240 |
180 |
64 |
150 |
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50 |
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360 |
90 |
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480 |
90 |
40 |
480 |
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36 |
400 |
15 |
48 |
450 |
80 |
60 |
576 |
50 |
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120 |
45 |
40 |
400 |
96 |
45 |
320 |
75 |
72 |
Und ist es möglich semi-magische Würfel der Ordnung 3 mit kleineren Konstanten zu konstruieren. In den folgenden 3 Beispielen haben alle Zeilen, Spalten und Säulen das gleiche magische Produkt P = 7560, aber einige ihrer 4 Triagonalen haben nicht das gleiche Produkt: das rechte Beispiel ist beinahe ein magischer Würfel, nur eine Triagonale ist falsch!!!
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56 |
135 |
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1 |
42 |
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1 |
30 |
252 |
72 |
15 |
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2 |
84 |
45 |
2 |
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63 |
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5 |
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108 |
7 |
6 |
180 |
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18 |
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35 |
18 |
12 |
35 |
18 |
20 |
21 |
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90 |
3 |
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90 |
4 |
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28 |
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4 |
70 |
27 |
3 |
70 |
36 |
5 |
42 |
36 |
In February 2013, André LFS Bacci, Brasilia, Brazil, constructed this semi-magic cube with a smaller P:
21 |
20 |
16 |
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42 |
5 |
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8 |
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56 |
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224 |
30 |
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40 |
12 |
3 |
28 |
80 |
Und wie sieht es mit der Addition magischer Diagonalen auf einer Ebene aus? Sowohl für additive und multiplikative magische Würfel, ist es unmöglich perfekte magische Würfel der Ordnung 3 zu konstruieren.
Multiplikative magische Würfel der Ordnung 4
Der Sayles Würfel und der Trenkler Würfel haben die gleiche Charakteristik: P = 57153600, max. Zahl = 7560. Ist es ist möglich Würfel mit kleineren Konstanten der Ordnung 4 zu konstruieren? JA! Mein bester Würfel hat ein mehr als 8 mal kleineres P, und eine mehr als 18 mal kleinere max. Zahl: Multiplikative magische Würfel der Ordnung 4,
von Christian Boyer
P = 6 486 480 und max. Zahl = 546 (linker Würfel, Januar 2006),
P = 17
297 280 und max. Zahl = 364 (rechter
Würfel, Juni 2007)
(klick auf das Bild um es zu vergrößern)
Einige gerade Diagonalen meiner Würfel sind magisch, aber nicht alle: Es ist unmöglich perfekte additive oder perfekte multiplikative magische Würfel der Ordnung 4 zu konstruieren.
Es sind meine zwei besten Würfel, aber ich war nicht sicher ob ich die besten möglichen Würfel gefunden habe. Darum habe ich die nächste Frage gestellt. Wer ist in der Lage bessere Würfel der Ordnung 4 (mit kleinerem P oder kleinerer max. Zahl) zu konstruieren? Ist es möglich einen multiplikativen magischen Würfel, egal welcher Ordnung, mit kleineren Zahlen als 364 zu konstruieren? Egal welcher Ordnung, weil wir sehen, dass max. Zahl = 364 des rechten Würfels der Ordnung 4 kleiner ist, als max. Zahl = 400 verwendet beim besten möglichen Würfel der Ordnung 3.
Im Juli 2008 arbeitete Michael Quist an diesem Rätsel #5, und fand heraus, dass jeder Würfel der Ordnung 4 ein max. Zahl ≥ 221 haben muss und dass jeder Würfel der Ordnung 5 oder größer ein max. Zahl ≥ 442 haben muss. Wenn wir annehmen, dass seine Arbeit richtig ist (lesen sie es hier in Englisch), und wenn wir annehmen, dass jeder Würfel der Ordnung 3 ein max. Zahl ≥ 400 haben muss, dann ist das Rätsel begrenzt auf Würfel der Ordnung 4, und ist äquivalent zu: ist es ist möglich einen multiplikativen magischen Würfel der Ordnung 4 zu konstruieren wobei 221 ≤ max. Zahl < 364 ist?
Im Januar 2010 fand Max Alekseyev, Dept of Computer Science & Engineering, University of South Carolina, einen weiteren magischen Würfel der Ordnung 4 der das gleiche max. Zahl = 364 hat wie mein obiger Würfel, aber mit einem kleineren P. Keine seiner 24 kleinen Diagonalen sind magisch (8 kleine Diagonalen sind in meinem Würfel magisch), aber das ist kein Problem, weil es in einem magischen Würfel nicht nötig ist: nur Zeilen + Spalten + Säulen + 4 Triagonalen müssen magisch sein. Ein exzellenter Würfel den Max konstruiert hat!
1 |
110 |
224 |
351 |
130 |
8 |
297 |
28 |
308 |
27 |
13 |
80 |
216 |
364 |
10 |
11 |
|
|||
231 |
12 |
78 |
40 |
96 |
273 |
5 |
66 |
6 |
55 |
168 |
156 |
65 |
48 |
132 |
21 |
|
|||
144 |
91 |
15 |
44 |
77 |
18 |
52 |
120 |
195 |
32 |
198 |
7 |
4 |
165 |
56 |
234 |
|
|||
260 |
72 |
33 |
14 |
9 |
220 |
112 |
39 |
24 |
182 |
20 |
99 |
154 |
3 |
117 |
160 |
Toshiro Shirakawa in 2010 (Kuwana, Japan, 1983
- )
Und schließlich im April 2010 löste Toshihiro Shirakawa mein Rätsel #5 mit seinen exzellenten Würfel unter Verwendung kleinerer Zahlen: max Zahl = 351 < 364. Das magische Produkt ist ebenfalls kleiner als die obigen Würfel. Gratulation!!! Toshihiro lebt in Ebina Kanagawa, Japan. Er ist Programmierer, und Mathematik ist sein Hobby.
April 2010. Bester bekannter multiplikativer magischer
Würfel der Ordnung 4, von Toshihiro Shirakawa
und
der beste bekannte Würfel der die kleinsten möglichen Zahlen verwendet
P = 4 324 320
und max. Zahl = 351
(klicken Sie auf das Bild um es zu vergrößern)
Seine Methode ist einfach und genial, ohne irgendwelche Berechnungen. Er benutzte direkt von dieser Website, mein eigenes 4x4 multiplikatives semi-magisches Quadrat mit dem kleinsten möglichen Produkt dass ich in 2005 konstruiert hatte, mit dem magischen Produkt 4320 = 25 * 33 * 5 und max. Zahl 27:
16 |
1 |
10 |
27 |
= |
1A |
1B |
1C |
1D |
5 |
24 |
18 |
2 |
2A |
2B |
2C |
2D |
|
6 |
12 |
3 |
20 |
3A |
3B |
3C |
3D |
|
9 |
15 |
8 |
4 |
4A |
4B |
4C |
4D |
Beachten Sie dass dieses Quadrat nur die Faktoren 2, 3 und 5 verwendet, die er klugerweise erneut verwendete, kombinierte sie mit den vier Faktoren (E, F, G, H) = (1, 11, 7, 13). Das ist der Grund warum sein magisches Produkt 4320(von dem Quadrat) *7*11*13(seine Faktoren) = 4324320 ist, und seine max. Zahl ist 27(von dem Quadrat) * 13(sein max Faktor) = 351. Und 351 ist kleiner als 364, wie ich in dem Rätsel gefragt habe. So einfach ist es! Er… Schande über mich… weil ich nicht an diese geniale Methode dachte… benutzte mein eigenes Quadrat…
1A |
1B |
1C |
1D |
* |
E |
F |
G |
H |
1B |
1A |
1D |
1C |
H |
G |
F |
E |
|
1C |
1D |
1A |
1B |
F |
E |
H |
G |
|
1D |
1C |
1B |
1A |
G |
H |
E |
F |
|
|
|
|||||||
2A |
2B |
2C |
2D |
F |
E |
H |
G |
|
2B |
2A |
2D |
2C |
G |
H |
E |
F |
|
2C |
2D |
2A |
2B |
E |
F |
G |
H |
|
2D |
2C |
2B |
2A |
H |
G |
F |
E |
|
|
|
|||||||
3A |
3B |
3C |
3D |
G |
H |
E |
F |
|
3B |
3A |
3D |
3C |
F |
E |
H |
G |
|
3C |
3D |
3A |
3B |
H |
G |
F |
E |
|
3D |
3C |
3B |
3A |
E |
F |
G |
H |
|
|
|
|||||||
4A |
4B |
4C |
4D |
H |
G |
F |
E |
|
4B |
4A |
4D |
4C |
E |
F |
G |
H |
|
4C |
4D |
4A |
4B |
G |
H |
E |
F |
|
4D |
4C |
4B |
4A |
F |
E |
H |
G |
Ich kann jetzt meine Methode bekannt geben, die ich für meinen Würfel (P, max. Zahl = (17297280, 364) benutzte, und die mich zum Rätsel #5 inspirierte. Dieser Würfel wurde aus dem nachfolgendem Eulerschen (oder griechisch-lateinischen) Würfel konstruiert, unter Verwendung der besten möglichen Anordnung (A, B, C, D) (I, J, K, L) (a, b, c, d) um 64 unterschiedliche Zahlen und das kleinste max Zahl zu generieren:
D |
C |
A |
B |
* |
I |
L |
J |
K |
* |
d |
b |
a |
c |
B |
A |
C |
D |
K |
J |
L |
I |
a |
c |
d |
b |
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C |
D |
B |
A |
L |
I |
K |
J |
c |
a |
b |
d |
||
A |
B |
D |
C |
J |
K |
I |
L |
b |
d |
c |
a |
||
|
|
|
|||||||||||
B |
A |
C |
D |
L |
I |
K |
J |
a |
c |
d |
b |
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D |
C |
A |
B |
J |
K |
I |
L |
d |
b |
a |
c |
||
A |
B |
D |
C |
I |
L |
J |
K |
b |
d |
c |
a |
||
C |
D |
B |
A |
K |
J |
L |
I |
c |
a |
b |
d |
||
|
|
|
|||||||||||
C |
D |
B |
A |
J |
K |
I |
L |
c |
a |
b |
d |
||
A |
B |
D |
C |
L |
I |
K |
J |
b |
d |
c |
a |
||
D |
C |
A |
B |
K |
J |
L |
I |
d |
b |
a |
c |
||
B |
A |
C |
D |
I |
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Mein anderer Würfel (P, max. Zahl) = (6486480, 546) verwendete einen ähnlichen Eulerschen Würfel, aber um 64 unterschiedliche Zahlen und das kleinste Produkt zu generieren: (1, 2, 3, 6), (1, 4, 5, 7), (1, 9, 11, 13).
Multiplikative magische Würfel der Ordnung 5
Trenkler's Würfel veröffentlicht in 2002 hat ein P = 35286451200, eine max. Zahl = 2448. Ist es möglich Würfel der Ordnung 5 mit kleineren Konstanten zu konstruieren? JA! Mein bester Würfel hat ein mehr als 2 mal kleineres P und eine mehr als 2 mal kleinere max. Zahl: Januar
2006: multiplikative magischer Würfel der Ordnung 5, von Christian Boyer
P = 16 761 064 320 und max. Zahl = 1026
(klicken Sie auf das Bild um es zu vergrößern)
Alle seine Zeilen, Spalten, Säulen und die 4 Triagonalen sind magisch. Und dieser Würfel hat eine sehr interessante zusätzliche Eigenschaft: alle seine gebrochenen Triagonalen (im Beispiel blau) sind magisch.
Im Mai 2010 konstruierte Toshihiro Shirakawa einen multiplikativen magischen Würfel mit kleinerer Charakteristik als mein obiger Würfel: P = 13 967 553 600 und die max. Zahl = 855. Ebenfalls mit gebrochenen Triagonalen. Dies ist heute der beste bekannte magische Würfel der Ordnung 5! Sie können ihn in der downloadbaren Excel Datei sehen, unterhalb der Tabelle. Ähnlich wie seine Methode bei der Ordnung 4, verwendete er mein multiplikatives magisches Quadrat der Ordnung 5 (unten gezeigt), kombinierte es mit (1, 11, 13, 17, 19). Mein obiger Würfel war ein Euler Würfel (1, 2, 3, 4, 6) (1, 5, 7, 8, 9) (1, 11, 13, 17, 19).
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Unglücklicherweise sind Diagonalen der Ebene unserer zwei Würfel nicht magisch: sie sind nicht perfekte magische Würfel. Jedoch ist es möglich einen perfekten magischen Würfel der Ordnung 5 zu konstruieren: Verwenden Sie den ersten bekannten additiv perfekten magischen Würfel der Ordnung 5 konstruiert von Walter Trump und mir in 2003, und ersetzen Sie jede Zahl n mit 2^(n-1). Dann erhält man einen multiplikativ perfekten magischen Würfel... aber sehr mühsam... nur bei Verwendung sehr großer Zahlen: max. Zahl = 2^(125-1) = 2.13 · 10^37, und P = 2^310 = 2.09 · 10^93. In December 2012, Toshihiro Shirakawa constructed two far better 5th-order perfect magic cubes: one with max. Zahl = 250 880, one with P = 2520^5 = 1.01 · 10^17. Astonishing, but with a bigger order, Perfekte Würfel mit kleinerem Zahlen sind bekannt: siehe mein pandiagonal perfekt Würfel der Ordnung 11 mit max. Zahl = 24 992 < 250 880.
Multiplikative magische Würfel der Ordnung 6
Ich habe zwei Würfel konstruiert:
Diese Würfel sind nur semi-magisch: Ihre 4 Triagonalen sind nicht magisch.
Später, im Mai 2006, konstruierte ich einen Würfel, diesmal mit 4 magischen Triagonalen. Diese Eigenschaft geht nur auf Kosten eines größeren Produkt und einer größeren Zahl, als bei den bisherigen semi-magischen Würfeln:
Dann im Juni 2010 konstruierte Toshihiro Shirakawa einen magischen Würfel mit kleinerer Charakteristik als mein schlechter obiger Würfel:
Das ist heute der beste bekannte magische Würfel der Ordnung 6!
Ist es möglich einen perfekt magischen Würfel der Ordnung 6 zu konstruieren: Verwenden Sie den ersten bekannten additiv perfekten magischen Würfel der Ordnung 6 konstruiert von Walter Trump in 2003, und ersetzen Sie jede Zahl mit 2^(n-1). Dann erhält man einen multiplikativ perfekten magischen Würfel... aber sehr mühsam... nur bei Verwendung sehr großer Zahlen: max. Zahl = 2^(216-1) = 5.27 · 10^64, und P = 2^645 = 1.46 · 10^194. In December 2012 and February 2013, Toshihiro Shirakawa constructed two far better 6th-order perfect magic cubes: one with max. Zahl = 66 924, one with P = 2 882 880^3 = 2.39 · 10^19. Astonishing, but with a bigger order, Perfekte Würfel mit kleinerem Zahlen sind bekannt: siehe mein pandiagonal perfekt Würfel der Ordnung 11 mit max. Zahl = 24 992 < 66 924.
Multiplikative magische Würfel der Ordnung 7
Im Januar 2006 waren meine zwei besten magischen Würfel:
Aber im Mai 2010 konstruierte Toshihiro Shirakawa bessere Würfel:
Wie bei den Würfeln magischen Würfeln der Ordnung 5, sind alle ihre gebrochenen Triagonalen und die 4 geraden Triagonalen sind magisch, aber ihre Diagonalen der Ebene sind nicht magisch: sie sind keine perfekten magische Würfel. Mit dem gleichen P und max. Zahl, habe ich erfolgreich Würfel konstruieren können mit allen ihren magischen Diagonalen jeder Ebene... aber unglücklicherweise habe ich dabei 2 der 4 magischen Triagonalen verloren.
Unter Beibehaltung der magischen plane Diagonalen, habe ich -noch im Januar 2006- zwei Würfel mit 3 magischen Triagonalen konstruiert (jetzt ist nur noch eine Triagonale falsch!) aber auf Kosten größerer Charakteristik bzw. Zahlen:und schließlich war ich erfolgreich einen perfekt magischen Würfel mit 4 magische Triagonalen zu konstruieren, aber wieder nur auf Kosten größerer Charakteristik bzw. Zahlen: Die Kosten für die 4. Triagonale sind sehr hoch!
Multiplikative magische Würfel der Ordnung 8 bis 11
Siehe die Zusammenfassung in dieser Tabelle am Anfang dieser Seite. Und siehe die Seite über pandiagonal perfekt multiplikative magische Würfel.
Die ersten beiden Zahlen sind: "2006" und "1" in den Würfeln der Ordnung 10 und 11, genau dann wann sie konstruiert wurden! Im Januar des Jahres 2006!
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