Multimagische Würfel


 John-R. Hendricks (Regina, Saskatchewan, Kanada, 1929 - Victoria, BC, Kanada, 2007)

Warum beschränken wir uns eigentlich auf zweidimensionale multimagische Quadrate? Der Kanadier John R. Hendricks, einer der größten Experten für magische Quadrate, hat im Juni des Jahres 2000 den ersten bimagischen Würfel entdeckt. Damit ist es natürlich gleichzeitig auch der erste multimagische Würfel. Sein bemerkenswerter Würfel besitzt die Ordnung 25 (also die Ausmaße 25x25x25) und enthält alle Zahlen von 1 bis 15 625. Die magische Summe beträgt 195 325 und die bimagische Summe 2 034 700 525. Holger Danielsson hat diesen Würfel in einem PDF-Dokument (510Kb) (in Englisch) dargestellt. Beachten Sie die Biografie von John R. Hendricks (in Englisch). Lesen Sie eine weitere Biografie (wieder in Englisch) aus dem Journal of Recreational Mathematics.

Aber ich habe große Zweifel an der Urheberschaft dieses Würfels. In seiner Schrift "The Magic Square Course", zweite Ausgabe 1992 (in sehr kleiner Auflage, ebenso wie die erste Auflage von 1991, nur wenige Exemplare wurden photokopiert), notierte John-R. Hendricks auf Seite 411 :
            "David M. Collison, in an unpublished paper, has constructed a bimagic cube of order 25 (....) but it takes too much space to show here."
Lesen Sie diese Seite 411. Diese Worte veranlassen uns zu der Annahme, dass John diesen Würfel tatsächlich von Collison erhalten hat. Noch dazu stimmt die Ordnung 25 genau überein! David M. Collison (1937 - 1991) war ein Engländer, der in Anaheim, Californien lebte und oft im "The Magic Square Course" erwähnt wird. Er sandte viele seiner Entdeckungen direkt an John. Collison starb ein Jahr vor der zweiten Auflage. Als John diesen Würfel im Jahr 2000 veröffentlichte vergaß er seltsamer Weise, dass David vorher einen solchen Würfel konstruiert hatte...

Im Jahr 2003 wurden neue multimagische Würfel konstruiert. Die folgende Tabelle zeigt die kleinsten bekannten Würfel, für die verschiedenen multimagischen Grade:

Würfel

Ordnung

Download-Datei

Magischer Grad
der Zeilen, Spalten und Säulen

Magischer Grad
der Triagonalen

Magischer Grad
der Diagonalen

Bimagisch

16

Excel-Datei 50Kb

2

2

1

25

Gezippte Excel-Datei 56Kb (*)

1

27

Gezippte Excel-Datei 70Kb

3

1

Perfekt bimagisch

32

Gezippte Excel-Datei 108Kb

2

Trimagisch

64

Gezippte Excel-Datei 925Kb

3

3

2

Perfekt trimagisch

256

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3

Tetramagisch

1024

4

4

3

Perfekt tetramagisch

8192

4

(*) Alle Würfel wurden von Christian Boyer im Jahr 2003 erstellt, mit Ausnahme von diesem bimagischen Würfel der Ordnung 25, der von John R. Hendricks im Jahr 2000 oder David M. Collison < 1991 konstruiert wurde.

Der bimagische Würfel der Ordnung 16 benutzt die Zahlen von 0 bis 4095. Die magische Summe ist 32 760, und die bimagische Summe beträgt 89 445 720. Die 256 Zeilen, 256 Spalten, 256 Säulen und 4 Triagonalen (= die 4 Raumdiagonalen) sind bimagisch. Die Definition eines normalen magischen Würfels stellt keine Forderungen an die Diagonalen der einzelnen Quadrate aus denen sich der Würfel zusammensetzt. Die 96 Diagonalen sind auch tatsächlich nicht bimagisch, aber immerhin magisch. Vielen Dank an Harvey Heinz (Kanada), Aale de Winkel (Niederlande) und Walter Trump (Deutschland), die alle bimagischen Eigenschaften des Würfels sofort nach seiner Bekanntgabe im Januar 2003 überprüft haben.

Der trimagische Würfel der Ordnung 64 verwendet die Zahlen von 0 bis 262 143. Die 4096 Zeilen, 4096 Spalten, 4096 Säulen und 4 Triagonalen sind trimagisch. Die 384 Diagonalen sind bimagisch.

Auch ein trimagischer Würfel der Ordnung 256 wurde konstruiert: er ist "perfekt", weil alle seine Diagonalen auch trimagisch sind. Dieser Würfel ist ein Monster: er enthält die Zahlen von 0 bis 16 777 215 und zum Beispiel die trimagische Summe S3 = 302231418874861348454400. Dank an Walter Trump (Deutschland) der die trimagischen Eigenschaften unmittelbar nach der Bekanntgabe im Februar 2003 bestätigen konnte.

Eric Weisstein (USA) überprüfte die Eigenschaften des perfekten trimagischen Würfels mit Mathematica am 6. Dezember 2003. Die Überprüfung dauerte 30 Minuten mit einem 1GHz Macintosh G4.

Anschließend wurden tetramagische Würfel von noch größeren Ausmaßen erstellt und von Renaud Lifchitz (Frankreich), sowie Yves Gallot (Frankreich) überprüft. Einzelheiten zu den beiden Personen können Sie auf der Seite über Hyperwürfel nachlesen.

Zum tetramagischen Würfel der Ordnung 8192: Seine 67.108.864 Zeilen, 67.108.864 Spalten, 67.108.864 Säulen, 4 Triagonalen und 49.152 Diagonalen sind tetramagisch. Die magischen Summen lauten:

Zu Ehren des Jahres 2003, in dem alle oben aufgeführten multimagischen Würfel geschaffen wurden, enthält die erste Zelle aller Würfel die Zahl 2003!

In der September 2003-Ausgabe von Pour La Science, der französischen Edition von Scientific American, haben wir einen Artikel über die Geschichte der magischen Würfel und über die Konstruktion unserer multimagischen Würfel veröffentlicht. Zum Beispiel wird die Größe unseres perfekten tetramagischen Würfels der Ordnung 8192 beschrieben. Stellen Sie sich jede Zelle des ganzen Würfels als ein kleines Holzwürfelchen von 2cm x 2cm x 2cm vor, in dem eine maximal 12-stellige Zahl eingraviert ist.

Notre-Dame de Paris im Inneren des perfekten tetramagischen Würfels der Ordnung 8192

Ich widme die tetramagischen Würfel Gaston Tarry und André Viricel. Gaston Tarry, Erfinder des Ausdrucks "tetramagisch" hat 1905 als erster ein trimagisches Quadrat konstruiert. Es hatte die Ordnung 128. Er war auch der Erste, der Eulers berühmte Vermutung von den '36 Offizieren' bewies. Mein alter Freund André Viricel hat eine nützliche Methode zur Konstruktion von trimagischen Quadraten der Ordnung 32 erfunden. Meine sämtlichen Konstruktionen von multimagischen Quadraten basieren auf den Ideen von Gaston Tarry (später erweitert von General Cazalas) und André Viricel. Ihre Ideen wurden lediglich verallgemeinert für die Arbeit mit höheren Ordnungen und höheren Dimensionen, wie Würfel und Hyperwürfel.            Christian Boyer

Eine Anektode kann im Buch Carrés Magiques au degré n von Général Cazalas, 1934 gefunden werden. Im Vorwort geschrieben von Auguste Aubry können wir auf Seite 13 lesen, dass Gaston Tarry beschäftigt war mit "einem panmagischen und trimagischen Würfel, für dessen Fertigstellung er keine Zeit mehr hatte" bevor er im Jahr 1913 starb. Leider gibt es von dieser Arbeit keine Spuren mehr!

General Cazalas, der immerhin fähig war ein trimagisches Quadrat der Ordnung 64 zu konstruieren, scheiterte an dem Versuch einen bimagischen Würfel zu erstellen. Es ist amüsant, dass er dabei auf die Ordnung 25 abzielte, genau wie John R. Hendricks und David M. Collison. Cazalas schrieb 1934 in Sphinx (Seite 168 bis 169):
            "... aber der einfachste bimagische Würfel existiert nur im Bereich der Theorie, weil seine Ordnung viel zu groß ist: mit einem Würfel der Ordnung 25 erhalten wir nur einen sehr unvollständigen bimagischen."
Somit erwies sich John-R. Hendricks / David M. Collison schlauer als Cazalas!


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