Die kleinstmöglichen multiplikativen magischen Quadrate



Was sind die kleinstmöglichen multiplikativen magischen Quadrate?

Im September 2005 stellte Ed Pegg Jr., Autor der sehr bekannten MathPuzzle Website, die Frage: "Gibt es eine Liste der kleinsten multiplikativen Konstanten für unterschiedliche NxN multiplikative magische Quadrate?"

Seltsam, aber es scheint, so eine Liste wurde nie veröffentlicht. Unmittelbar nachdem Ed die Frage gestellt hatte, begann ich sie zu studieren und die Antwort ist auf dieser Website: Die 3x3, 4x4, 5x5, 6x6, 7x7 Listen und viel mehr Informationen... Eine Menge neuer Erkenntnisse, wie z. B: das kleinste P=302400 für 5x5-Quadrate ist neu, es wurde im September 2005 entdeckt. Soweit mir bekannt ist, waren alle bisher veröffentlichten Beispiele von multiplikativen 5x5-Quadraten größer. Danke Ed, für diese sehr interessante Aufgabe! Nach den ersten Antworten zu seiner Frage schrieb Ed einen sehr interessanten Artikel in seiner  Math Games column of MAA Online:

Danke an Dan Asimov, Michael Kleber, Richard Schroeppel, und David Wilson für ihre Ideen und danke an Edwin Clark, Don Reble und Günter Stertenbrink, dass sie meine großen multiplikativen Quadrate auf Richtigkeit aller Eigenschaften überprüft haben.


Was ist ein multiplikatives magisches Quadrat?

Es ist ein Quadrat, das magisch ist, aber Multiplikation anstatt Addition verwendet.

Ein "multiplikatives" magisches Quadrat ist sehr einfach aus einem Standard "additivem" magischen Quadrat zu konstruieren, indem man die Zahlen des additiven magischen Quadrats als Potenz einer ganzen Zahl benutzt. Als Beispiel:

Wenn wir die Zahlen irgendeiner Zeile im linken Quadrat addieren, bekommen wir immer das gleiche Ergebnis (im Beispiel 12). Wenn wir die Zahlen irgendeiner Zeile im rechten Quadrat multiplizieren, bekommen wir immer das gleiche Ergebnis (im Beispiel 4096). Dieses multiplikative Quadrat der Ordnung 3 auf der rechten Seite wurde von Antoine Arnauld im Nouveaux Eléments de Géométrie, Paris, bereits 1667 veröffentlicht ... vor sehr langer Zeit!

Einige Eigenschaften der multiplikativen magischen Quadrate:

Ich empfehle das Buch Magic squares and cubes von W.S. Andrews, Neuauflage von Dover in 1960: es enthält auf den Seiten 283-294, einen exzellenten Artikel über multiplikative Quadrate von Harry A. Sayles, einen Artikel der ursprünglich im The Monist Ausgabe 1913 veröffentlicht wurde. Verschiedene Beispiele von multiplikativen magischen Quadraten werden dargestellt. Einige von ihnen werden hier gezeigt, wobei sich Sayles auf Seite und Abbildung aus Andrews Buch bezieht. Zum Beispiel kann das obige Quadrat P=4096 auch in dem Buch gefunden werden: Sayles[284, 510]. Ebenfalls emphehle das alte französiche Magazin Les Tablettes du Chercheur, Jahrgang 1893, in welchem G. Pfeffermann verschiedene multiplikative Quadrate als Spiele / Puzzle veröffentlicht hat.


Kleinste multiplikative magische Quadrate der Ordnung 3

Weil die oben beschriebene Konstruktions- Methode Potenzen benutzt, sind die generierten Zahlen groß. Es ist möglich 3x3 Quadrate mit kleineren magischen Produkten als 4096 zu konstruieren. Sayles veröffentlichte 1913 zwei Beispiele:

Ich habe 2006 entdeckt, daß G. Pfeffermann eine Menge 3x3 multiplikative Quadrate bereits 20 Jahre vor Sayles veröffentlicht hatte. Er veröffentlichte 17 Quadrate im Jahr 1893! Diese Quadrate waren Spiele, ebenso wie sein erstes bimagisches Quadrat 8x8 und 9x9. Seine neun ersten 3x3 multiplikative Quadrate waren die folgenden, unter ihnen auch das mit dem kleinstem Produkt P=216. Werden Sie erfolgreich beim Ausfüllen sein?

Im Jahr 1917 veröffentlichte Henry E. Dudeney in Amusements in Mathematics, ebenfalls das Quadrat P=216. Wir können beweisen, dass diese Quadrate mit der gleichen Methode erstellt wurden:

Mit a=2 und b=3, erhalten wir das Quadrat P=216. Mit a=2 und b=5, erhalten wir das Quadrat P=1000.

Zum ersten Mal wurde in einem 1983 im Discrete Mathematics veröffentlichten Artikel von Debra K. Borkovitz (zurzeit am Wheeklock College, Boston, USA) und Frank K.-M. Hwang (zurzeit am National Chiao Tung University, Taiwan) bewiesen, das das Minimum  magischer Produkte eines 3x3 multiplikativen Quadrates 216 ist. Gerade nachdem die obige Frage 2005 von Ed gestellt wurde, erschien ein weiterer - und sehr kurzer Beweis - von Rich Schroeppel:

"Es gibt einen Standard-Beweis, dass die mittlere Zahl eines 3x3 additiven magischen Quadrats K/3 ist, wobei K die Summe der Reihen ist. (Addiere jeweils die drei durch das Zentrum gehenden Zahlen und subtrahiere das ganze Quadrat.) Natürlich gilt das für Multiplikationen ebenso, weshalb das magische Produkt immer die Kubikzahl des Zentrums ist.
Das Minimum ist: K = 216 für ein 3x3 magisches Quadrat. - Überprüfung:
K muss eine Kubikzahl mit mindestens 9 Divisoren sein.
Die Zahlen 1, 8, 27, 64, 125 haben 1, 4, 4, 7, 4 Divisoren. Zum Beispiel kann  8 durch 2, 2, 2 und 4 geteilt werden.  Das ist alles!"

Wenn wir die Diagonalen außer Betracht lassen, haben wir hier das kleinste mögliche semi-magische Quadrat. Es ist nicht erforderlich, aber eine Diagonale (jedoch nicht die zweite Diagonale) hat das korrekte Produkt P:

Nachfolgend die Liste der kleinsten möglichen magischen Produkte, nach der Ed gefragt hat:

Weitere Definitionen: siehe die 3x3 Tabelle vom Oktober 2005 unter der Nummer A111029 in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.

Innerhalb der 17 Quadrate (3x3) veröffentlicht von G. Pfeffermann in 1893, waren die obigen 10 ersten kleinsten P bereits alle erhalten. Exzellente Analyse vor mehr als einem Jahrhundert!

Die obige Formulierung P = a3b3 ist komplett für normierte rationale Zahlen. Hier ist eine elegante Formulierung die alle ganzen Zahlen beinhaltet konstruiert von Lee Morgenstern im Dezember 2007, wo ab = cd ist. Man kann alle Lösungen durch skalieren der 9 Einträge mit einer gleichen Konstante erhalten. In einer unskalierten Lösung sind die 4 mittleren Einträge in den Zeilen und Spalten immer Quadrate.


Kleinste multiplikative magische Quadrate der Ordnung 4

G. Pfeffermann veröffentlichte 1893 ein pandiagonales Quadrat der Ordnung 4 als Spiel, so wie er es immer tat: Vervollständigen Sie das nachfolgende Quadrat P=28224 mit den Zahlen 2, 3, 4, 6, 8, 12, 14, 21, 28, 42, 56, 84. Die Zahlen in den 4 Vierteln und im zentralen 2x2 Quadrat müssen ebenfalls das gleiche Produkt P haben. Werden Sie erfolgreich beim Ausfüllen sein? Sein Problem hat drei Lösungen.

1913 veröffentlichte Sayles verschiedene Beispiele der Ordnung 4. Quadrate: P = 5040, 7560, 11760, 14112, 14400, 21000, 2985984. In ihrem Discrete Mathematics Artikel von 1983, bewiesen  Borkovitz und Hwang, dass das Minimum magischer Produkte eines 4x4 (nicht pandiag.) multiplikativen Quadrates 5040 ist, und produzierten ein von Sayles unterschiedliches Beispiel.

Diese 2 Quadrate können durch eine Multiplikation der Zellen von zwei lateinischen Quadraten konstruiert werden (die zwei Quadrate erzeugen ein Euler Quadrat), unter Verwendung von zwei Zahlen-Anordungen (A, B, C, D) und (a, b, c, d). Zum Beispiel kann das Sayles's Quadrat wie folgt erstellt werden:

Und das Borkovitz & Hwang Beispiel nach derselben Methode produziert werden unter Verwendung anderer lateinischer Quadrate und anderer Reihen: (1, 2, 3, 6) and (1, 4, 5, 7).

Sayles veröffentlichte ebenso ein pandiagonales multiplikatives Quadrat. Pandiagonal bedeutet, alle gebrochenen Diagonalen ergeben ebenso das gleiche magische Produkt. Wie das obige 4x4 Quadrat von Pfeffermann, ist es ebenfalls ein most-perfect magisches Quadrat, bei dem alle 2x2 UnterQuadrate das gleiche magische Produkt haben.

1957 veröffentlichte Ronald B. Edwards in Scripta Mathematica (Vol XXII, Seite 202) ein erstaunliches multiplikatives 4x4 Quadrat. Wenn man alle Zahlen rückwärts schreibt, erhält man ein weiteres multiplikatives 4x4 Quadrat !!! Ein sehr erstaunliches Quadrat! Welche Methode wurde verwandt, vor 50 Jahren und ohne Computer? Das magische Produkt 4558554 ist ein Palindrom. Und wenn wir einen weiteren Ring hinzufügen erhalten wir ein 6x6 additives Quadrat.

Die wichtigsten Ergebnisse meiner Untersuchungen (Studien) sind:

Weitere Definitionen: siehe die 4x4 Tabelle vom Oktober 2005 unter der Nummer A111030 in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.

Im Dezember 2007 sandte Lee Morgenstern diese komplette Formulierung normalisierter rationaler Zahlen von of 4x4 multiplikativen magischen Quadraten. 7 Bedingungen sind erforderlich. Zum Beispiel ergibt (a, b, c, d, e, f, g) = (1, 2, 3, 4, 5, 6, 7) die kleinste Lösung P=5040 von Sayles (sein Quadrat ist weiter oben abgebildet).

Von seiner ersten Formulierung, folgt seine Begründung für die nächste Formulierung in normaliserter rationaler Zahlen von 4x4 pandiagonal multiplikativ magischer Quadrate:

To be pan-magic, the 6 pan-diagonals must be magic:
(1) (ce)(c)(d)(ade) = aabcdefg
(2) (adf)(ae)(acg)(ab) = aabcdefg
(3) (abg)(bf)(f)(g) = aabcdefg
(4) (ae)(abe)(ab) = aabcdefg
(5) (d)(g)(ce)(bf) = aabcdefg
(6) (cf)(adf)(adg)(acg) = aabcdefg

Cancelling terms simplifies to
(1a) cde = abfg
(2a) aa = 1
(3a) bfg = acde
(4a) abe = cdfg
(5a) 1 = aa
(6a) acdfg = be

(5a) matches (2a).  After substituting a = 1,
(6a) matches (4a) and (3a) matches (1a).

(1b) cde = bfg
(2b) a = 1
(4b) be = cdfg

Substituting e = cdfg/b from (4b) into (1b) simplifies to
(1c) b = cd

Substituting (1c) into (4b) simplifies to
(4c) e = fg

Therefore, 3 terms are eliminated from the general 4x4 to produce a pan 4x4.
Substituting a = 1, b = cd, e = fg into the formulation


Kleinste multiplikative magische Quadrate der Ordnung 5

Im Jahr 1893 veröffentlichte G. Pfeffermann zwei Beispiele eines pandiagonalen Quadrats der Ordnung 5: P=665280 und 1182720. Als zusätzliche Information von Pfeffermann über das Quadrat P=1182720: die fehlenden Zahlen sind 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 11. Werden Sie es erfolgreich beim ausfüllen können?

1913 veröffentlichte Sayles zwei Beispiele von Quadraten 5. Ordnung: P = 362880 and 720720. Dudeney veröffentlichte ein Beispiel mit größeren Werten: P=60466176. Nachfolgend Sayles's Beispiel mit den kleinsten Zahlen für zwei lateinische Quadrate (die ein Euler Quadrat produzieren), und das auch pandiagonal ist:

Die wichtigsten Ergebnisse meiner Untersuchungen (Studien) sind:

Weitere Definitionen: siehe die 5x5 Tabelle vom Oktober 2005 unter der Nummer A111031 in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.

Im Dezember 2007 sandte Lee Morgenstern diese komplette Formulierung normalisierter rationaler Zahlen von of 5x5 multiplikativen magischen Quadraten. 14 Bedingungen sind erforderlich. Zum Beispiel wird s = t = u = v = w = x = y = z = 1 gesetzt, dann e = f = a und wir erhalten und wir erhalten die Formulierung wo P = a6b3c2d ist.


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