Magische Quadrate aus Quadratzahlen
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Deutsche
Übersetzung vom ersten Teil des Artikels
“Some notes on the magic squares of
squares problem”
von Christian
Boyer, veröffentlicht in The
Mathematical Intelligencer (Vol 27, N 2, Spring 2005, S. 52-64)
“Permettez-moi,
Monsieur, que je vous parle encore d'un problème qui me paraît fort curieux
et digne de toute attention”
Leonhard Euler, 1770, aus dem Brief mit dem magischen 4×4-Quadrat
aus Quadratzahlen, gesandt an Joseph Lagrange
Kann ein magisches 3x3-Quadrat konstruiert werden, das aus neun verschiedenen Quadratzahlen besteht? Diese kurze Frage, die Martin LaBar[38] 1984 stellte, wurde berühmt als Martin Gardner sie 1996[25] [26] wiederholte und ein Preisgeld von 100$ für die erste Person bot, die ein solches Quadrat konstruiert. Zwei Jahre später schrieb Gardner[28]:
Bis heute ist es keinem gelungen ein “Quadrat aus Quadratzahlen” zu erstellen – aber es hat auch niemand die Unmöglichkeit eines solchen Quadrats bewiesen. Falls es existiert, müssten seine Zahlen riesig sein, vielleicht unerreichbar selbst für die schnellsten Computer unserer Zeit.
Bis heute ist das Problem ungelöst. Viele weitere Artikel wurden in verschiedenen anderen Magazinen veröffentlicht[10] [11] [12] [27] [29] [30] [49] [51] [52]. John P. Robertson[51] zeigte, dass das Problem äquivalent ist zu vielen mathematischen Problemen, nämlich arithmetischen Progressionen, pythagoräischen Dreiecken, kongruenten Zahlen und elliptischen Kurven y2 = x3 – n2x. Lee Sallows[52] diskutierte den Sachverhalt in The Mathematical Intelligencer das hübsche Quadrat (LS1), eine Beinahe-Lösung mit nur einer falschen Summe.
127² |
46² |
58² |
2² |
113² |
94² |
74² |
82² |
97² |
In meinem Artikel erwähne ich auch zwei alte, verschollene Arbeiten aus dem 18. und 19. Jahrhundert, auf deren Wiederentdeckung (und erstmals nummerische Vervollständigung[9]) nach Jahren der Vergessenheit ich stolz bin. Außerdem präsentiere ich zu diesem Problem die neuesten Fortschritte der letzten Monate und darüber hinaus allgemeine Entdeckungen auf dem Gebiet der multimagischen Quadrate, Würfel und Hyperwürfel. Zuletzt mache ich auf 10 offene Fragen aufmerksam. Eine Einladung an alle Liebhaber der Zahlentheorie!
Das Problem der magischen Quadrate aus Quadratzahlen ist ein wichtiger Teil des offenen Problems D15 aus dem Buch Unsolved Problems in Number Theory[30] von Richard K. Guy (dritte Ausgabe, 2004), in welchem die wichtigsten Beiträge auf diesem Gebiet seit 1984 zusammengefasst sind. Ich habe meine Ausführungen in Bezug auf neun Zitate aus dem Text von Guy gegliedert.
…Für
weitere Informationen, lesen Sie den vollständigen Artikel in The
Mathematical Intelligencer
oder die Zusammenfassung in der Präsentation zu meinem Vortrag
Eine zitierte[9] (aber nicht veröffentlichte) Ergänzung zum Artikel in M.I. ist hier verfügbar, einschließlich vier neuer Quadrate (CB15) bis (CB18), einer nummerischen Analyse von Eulers 4x4- und Lucas’ 3x3-Quadrat aus Quadratzahlen und einiger Ergebnisse zum Problem der magischen Quadrate aus Primzahlquadraten. Zwei Formate sind verfügbar:
Mehrere magische 4x4- und 5x5-Quadrate aus Quadratzahlen wurden im M.I. Artikel vorgestellt. Die ersten magischen 6x6- und 7x7-Quadrate aus Quadratzahlen wurden leider erst später konstruiert, nach dem Artikel und nach den obigen Ergänzungen. Sie können die neuen Quadrate hier finden:
Ungelöste Probleme aus dem Artikel
Jedes multimagische Quadrat (bimagisch, trimagisch, ...) ist ein “magisches Quadrat aus Quadratzahlen”, wenn seine Zahlen quadriert werden. Aber ein “magisches Quadrat aus Quadratzahlen” ist selten ein multimagisches Quadrat, weil es unwahrscheinlich ist, dass auch die unquadrierten Zahlen eine magische Anordnung liefern. Aus dieser Bemerkung darf man nicht folgern, dass Probleme aus dem Gebiet der magischen Quadrate aus Quadratzahlen einfacher sind als multimagische Probleme…
Ordnung |
Magische Quadrate aus Quadratzahlen |
Bimagische Quadrate |
Normale bimagische Quadrate |
3x3 |
Wer? Oder vielleicht Beweis der Nichtexistenz? |
Unmöglich. E. Lucas (1891) |
|
4x4 |
L. Euler (1770) |
Unmöglich. |
Unmöglich. |
5x5 |
C. Boyer (2004) |
Wer? Oder vielleicht Beweis der Nichtexistenz? |
Unmöglich. |
6x6 |
C. Boyer (2005) |
J. Wroblewski (2006) |
|
7x7 |
C. Boyer (2005) |
L. Morgenstern (2006) |
|
8x8 |
G. Pfeffermann
(8x8 in 1890, 9x9 in 1891). |
Im Artikel warten 10 ungelöste Probleme auf Ihre Antworten, darunter mein Problem 2: für dessen Lösung biete ich ein Preisgeld von 100€ und eine Flasche Champagner!!!
Falls Sie irgendeines dieser Probleme ganz oder teilweise lösen können, schicken Sie mir eine Nachricht. Ihre Ergebnisse werden hier veröffentlicht.
Ein Vortrag über die wichtigsten Punkte des Artikels
Lesen Sie diesen Abschnitt, wenn Sie an einer Zusammenfassung des Artikels interessiert sind.
In einer Veranstaltungsreihe, organisiert von der Universität der Picardie, des ESIEE Amiens, des URISP-CNISF, und des ADCS von März bis April 2005 wurden mehrere wissenschaftliche Vorträge in Amiens abgehalten, anlässlich des 100. Todestages von Jules Verne.
Jules Verne (Nantes 1828 - Amiens 1905), Edouard Lucas (Amiens 1842 - Paris
1891)
Im Rahmen dieser Veranstaltung hielt ich einen Vortrag mit dem Titel “Lösungswege für ein Problem von Euler und Lucas”:
C. Boyer während des Vortrages, Dia 8.
Photo von Marc Lecoester,
Präsident der URISP. Klicken Sie zum Vergrößern auf das Bild (JPG-Datei, 1.2Mb).
Download der Präsentation zu diesem Vortrag:
Falls Sie das Produkt PowerPoint 2003 nicht besitzen, benutzen Sie bitte eine frei verfügbare Wiedergabe-Version von Microsoft zum Betrachten der Präsentation. Geben Sie bei Google oder Yahoo! “PowerPoint Viewer 2003” ein und Sie werden sofort einen Link zur entsprechenden Downloadseite von Microsoft erhalten. Verwenden Sie nicht PowerPoint Viewer 97, da die Abfolge fehlerhaft wiedergegeben wird.
Ich beglückwünsche und danke Yves Roussel zur Organisation der Vortragsreihe zum Gedenken an Jules Vernes Todestag.Liste der Abbildungen des Artikels und der Ergänzungen
Introduction
Part 1
1² |
68² |
44² |
76² |
16² |
23² |
28² |
41² |
64² |
Part 2
373² |
289² |
565² |
360721 |
425² |
23² |
205² |
527² |
222121 |
Part 4
Part 5
68² |
29² |
41² |
37² |
17² |
31² |
79² |
32² |
59² |
28² |
23² |
61² |
11² |
77² |
8² |
49² |
48² |
23² |
6² |
19² |
21² |
26² |
33² |
32² |
1² |
36² |
13² |
42² |
22² |
27² |
44² |
9² |
(2k + 42)² |
(4k + 11)² |
(8k - 18)² |
(k + 16)² |
(k - 24)² |
(8k + 2)² |
(4k + 21)² |
(2k - 38)² |
(4k - 11)² |
(2k - 42)² |
(k - 16)² |
(8k + 18)² |
(8k - 2)² |
(k + 24)² |
(2k + 38)² |
(4k - 21)² |
1² |
2² |
31² |
3² |
20² |
22² |
16² |
13² |
5² |
21² |
11² |
23² |
10² |
24² |
7² |
12² |
15² |
9² |
27² |
14² |
25² |
19² |
8² |
6² |
17² |
Bimagic squares
Part 7
Part 8
Literaturverzeichnis
aus dem Artikel
verfügbar über diese Seite
oder das Internet
[4] Christian Boyer, Les premiers carrés tétra et
pentamagiques, Pour La Science (the
French edition of Scientific American),
N°286 August 2001, 98-102
Download the PDF file (168Kb)
(see also www.multimagie.com/Deutsch/Tetra-penta.htm)
[5] Christian Boyer, Les
cubes magiques, Pour La Science (the
French edition of Scientific American),
N°311 September 2003, 90-95
(see also www.multimagie.com/Deutsch/Wuerfel.htm#PLS)
[6] Christian Boyer, Le plus
petit cube magique parfait, La Recherche,
N°373 March 2004, 48-50
Download
the PDF file (955Kb)
(see
also www.multimagie.com/Deutsch/Perfektwuerfel.htm)
[7] Christian
Boyer, Multimagische Quadrate, Würfel und Hyperwürfel Seite,
www.multimagie.com/indexdeut.htm
[8] Christian Boyer, A search for 3x3 magic squares
having more than six square integers among their nine distinct integers,
preprint, September 2004
Download
the PDF file (60Kb)
(see also slide 15 of the lecture)
[9] Christian Boyer, Supplement to the “Some notes on
the magic squares of squares problem” article, 2005
Download the PDF file
(31Kb)
or www.multimagie.com/English/Supplement.htm
(see also slide 18 of the
lecture)
[10] Andrew Bremner, On squares of squares, Acta Arithmetica, 88(1999)
289-297
Download the PDF file (99Kb)
(see also slide 7 of the lecture)
[11] Andrew Bremner, On squares of squares II, Acta Arithmetica, 99(2001)
289-308
Download the PDF file (172Kb)
(see also slides 11-12 of the lecture)
[12] Duncan A. Buell, A search for a magic hourglass, preprint, 1999
Download
the PDF file (101Kb) in English
(see also slide 10 of the lecture)
[42] Edouard
Lucas, Sur le carré de 3 et sur les carrés à deux degrés, Les Tablettes du Chercheur, March 1st 1891, p.7 (reprint in [44]
and in
www.multimagie.com/Francais/Lucas.htm)
[49] Landon W. Rabern, Properties of magic
squares of squares, Rose-Hulman Institute
of Technology Undergraduate Math Journal, 4(2003), N.1
www.rose-hulman.edu/mathjournal/v4n1.php
[50] Carlos Rivera, www.primepuzzles.net
www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_079.htm
(Puzzle 79 « The
Chebrakov’s Challenge »)
www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_287.htm
(Puzzle 287 « Multimagic prime squares »)
www.primepuzzles.net/puzzles/puzz
_288.htm (Puzzle 288 « Magic square of (prime) squares »)
(on
Puzzle 288, see also slide 17 of the lecture, and part
3 of the supplement)
[52] Lee Sallows, The lost theorem, The Mathematical Intelligencer, 19(1997), n°4, 51-54
Download
the PDF file (76Kb)
(see also slides 6-7 of the lecture)
[54] Richard Schroeppel, The center cell of a magic 53 is 63,
(1976),
www.multimagie.com/English/Schroeppel63.htm
[57] Neil Sloane, Multimagic sequences A052457,
A052458, A090037, A090653, A092312, ATT Research’s
Online Encyclopaedia of Integer Sequences,www.research.att.com/~njas/sequences/
(now http://oeis.org)
(see
also www.multimagie.com/Deutsch/Reihen.htm)
[58] Paul
Tannery and Charles Henry, Lettre XXXVIIIb bis, Fermat à Mersenne, Toulouse, 1
avril 1640, Œuvres de Fermat, Gauthier-Villars,
Paris, 2(1894), 186-194
(partial reprint of
the letter at www.multimagie.com/Francais/Fermat.htm)
[60] Walter Trump, Die Geschichte des kleinsten trimagischen Quadrats,
Januar 2003,
www.multimagie.com/Deutsch/Tri12Story.htm
(see
also www.multimagie.com/Deutsch/Trimagisch12.htm
and
www.multimagie.com/Deutsch/Kleinstetri.htm)
[62] Eric Weisstein, Magic figures, MathWorld,
http://mathworld.wolfram.com/topics/MagicFigures.html
[63] Eric Weisstein, Perfect magic cube, MathWorld,
http://mathworld.wolfram.com/PerfectMagicCube.html
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