Magische Quadrate aus sechsten Potenzen
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Zumindest ein magisches Quadrat aus 6. Potenzen war seit 2003 bekannt: Das 4096x4096 hexamagische Quadrat von Pan Fengchu, durch direktes Erheben der Zahlen in die 6. Potenz.

Aber ist es möglich, kleinere Quadrate aus 6. Potenzen zu konstruieren? JA! Wenn man nicht aufeinander folgende (aber immer noch paarweise verschiedene) Zahlen erlaubt und Methoden ähnlich der Morgensterns 6x6 Methode für semi-magische Quadrate aus n-ten Potenzen verwendet.

Im Juni 2011 arbeitete Jaroslaw Wroblewski an einem 36x36 semi-magischen Quadrat. Er versuchte nicht, direkt zwei taxicab(6, 6, 6) Zahlen zu ermitteln sondern berechnete Lösungen der Gleichung a^6 + b^6 + c^6 + d^6 + e^6 + f^6 = N * k^6. Mit N=76 erhielt er diese 13 rationalen Zerlegungen in 6. Potenzen:

  1. k =13 {25/13, 20/13, 18/13, 17/13, 9/13, 5/13}
  2. k = 41 {2, 61/41, 1, 30/41, 11/41, 3/41} *
  3. k = 109 {207/109, 187/109, 134/109, 75/109, 61/109, 44/109}
  4. k = 143 {291/143, 185/143, 115/143, 75/143, 62/143, 32/143} *
  5. k = 167 {291/167, 290/167, 274/167, 159/167, 139/167, 5/167} *
  6. k = 173 {355/173, 174/173, 135/173, 113/173, 47/173, 20/173} *
  7. k = 221 {414/221, 373/221, 300/221, 271/221, 103/221, 71/221} *
  8. k = 325 {654/325, 421/325, 421/325, 237/325, 68/325, 47/325}
  9. k = 331 {657/331, 493/331, 415/331, 185/331, 162/331, 82/331} *
  10. k = 347 {695/347, 473/347, 409/347, 400/347, 120/347, 93/347}
  11. k = 359 {731/359, 449/359, 313/359, 306/359, 233/359, 30/359}
  12. k = 397 {776/397, 655/397, 246/397, 67/397, 43/397, 27/397}
  13. k = 467 {892/467, 803/467, 460/467, 435/467, 255/467, 29/467}

Und mit N=1300 erhielt er diese 7 rationalen Zerlegungen in 6. Potenzen:

  1. k = 17 {49/17, 45/17, 41/17, 40/17, 27/17, 8/17} *
  2. k = 29 {93/29, 61/29, 57/29, 56/29, 46/29, 23/29}
  3. k = 59 {191/59, 119/59, 115/59, 102/59, 40/59, 27/59} *
  4. k = 115 {361/115, 55/23, 252/115, 201/115, 34/23, 157/115} *
  5. k = 211 {661/211, 523/211, 438/211, 357/211, 346/211, 29/211} *
  6. k = 283 {825/283, 725/283, 652/283, 630/283, 589/283, 545/283} *
  7. k = 295 {926/295, 744/295, 593/295, 97/59, 49/59, 33/295} *

Durch Auswahl von sechs mit * markierten Zerlegungen von N=76, und den sechs von N=1300, generierte er 1296 verschiedene Produkte, eine Notwendigkeit für ein 36x36 Quadrat.

Die magische Summe sollte eigentlich 76 * (41*143*167*173*221*331)^6 * 1300 * (17*59*115*211*283*295)^6 = 2.52e+157sein, aber sie ist in Wahrheit etwas kleiner, wenn gemeinsame Vielfache der Nenner verwendet: 76 * 953145898991^6 * 1300 * 6887595985^6 = 7.91e+135.

Hier ist ein kleiner Ausschnitt dieses faszinierenden Quadrats, mit den imponierenden Zahlen, die die kolossale Magische Summe ergeben! Dieses Quadrat kann herunter geladen werden: Sie finden es am Ende dieser Seite.

Das obige Quadrat ist semi-magisch. Weil die verwendeten Zahlen sehr groß sind, ist es sehr wahrscheinlich nicht möglich eine magische Diagonale durch Neuanordnung der Zahlen zu erreichen.

Im November 2011erzeugte François Labelle ein magisches Quadrat aus 6. Potenzen, diesmal mit zwei magischen Diagonalen. Er benutzte eine neue trickreiche Methode um die zwei magischen Diagonalen zu erhalten, dank der zusätzlichen Eigenschaften zweier taxicab Zahlen.

Die Zahl T1 = taxicab(6, 10, 9) ~ 10^20 ...

… ist konstruiert mit einer zusätzlichen Eigenschaft: Jede ihrer ersten zwei Spalten hat als Summe = T1*(9/10).

Und die Zahl T2 = taxicab(6, 9, 10) ~ 10^20 …

… ist konstruiert mit einer zusätzlichen Eigenschaft: Die erste Spalte hat als Summe = T2*(10/9).

Unter Verwendung dieser zwei taxicab Zahlen wurden 90x90 = 8100 verschiedene Zahlen generiert und die magische Summe des generierten Quadrates ist S6 = T1*T2 = 10000000000026215231100000856492328882190 ~ 10^40. Die zwei Diagonalen verwenden die Produkte der zwei ersten Spalten der ersten taxicab Zahl mit der ersten Spalte der zweiten taxicab Zahl, die Summe dieser zwei Diagonalen ist T1*(9/10) * T2*(10/9) = T1*T2 = die korrekte magische Summe! Max. Zahl = (2137*1999)^6 = 4271863^6.

90... warum diese seltsame Ordnung? Er beschloss mit einer k*(k+1) Ordnung zu arbeiten, weil die Schwierigkeiten eine taxicab(6, k, k+1) Zahl und eine taxicab(6, k+1, k) Zahl zu finden ähnlich sind. Er schätze ab, dass die Wahrscheinlichkeit mit 7*8 und 8*9 erfolgreich zu sein, sehr gering ist und wählte 9*10 was möglich erschien. Wir können hinzufügen, dass 8*9 ein weiteres Problem hat: Die taxicab Zahl mit zwei guten Spalten muss eine taxicab(6, gerade, k) Zahl sein. Und er sah voraus, dass die Erfolgsaussichten mit einer taxicab Zahl <= 10^19 sehr klein sind, deshalb suchte er nach Zahlen > 10^20.

Ein Vergleich mit dem 4096x4096 hexamagischen Quadrat von Pan Fegnchu zeigt, alle Charakteristika von Labelles Quadrat sind kleiner: seine Ordnung, seine magische Summe S6, and sein max. Zahl.

In March 2012, Jaroslaw Wroblewski created a smaller square of 6th powers than François Labelle: 64x64 instead of 90x90.

He used the same trick than François Labelle, but with rational numbers:

T1 = 179924108
  {{14, 11, 654/29, 521/29, 382/29, 225/29, 138/29, 19/29},
  {15, 10, 441/19, 284/19, 101/19, 74/19, 45/19, 2/19},
  {22, 8, 930/47, 594/47, 487/47, 465/47, 205/47, 175/47},
  {1, 12, 834/37, 698/37, 339/37, 7, 25/37, 20/37},
  {2, 21, 381/19, 307/19, 262/19, 243/19, 128/19, 46/19},
  {6, 20, 93/5, 92/5, 89/5, 59/5, 51/5, 28/5},
  {9, 3, 541/25, 96/5, 388/25, 76/5, 197/25, 154/25},
  {19, 17, 939/43, 332/43, 259/43, 254/43, 108/43, 24/43}}

with the first two columns 14^6 + 15^6 + 22^6 + 1^6 + 2^6 + 6^6 + 9^6 + 19^6 = 11^6 + 10^6 + 8^6 + 12^6 + 21^6 + 20^6 + 3^6 + 17^6 = T1

T2 = 1384448692172
  {{11, 1668/17, 1371/17, 1301/17, 794/17, 665/17, 614/17, 54/17},
  {41, 1939/19, 1396/19, 1163/19, 1041/19, 918/19, 498/19, 334/19},
  {42, 1752/19, 1699/19, 1317/19, 1307/19, 1087/19, 550/19, 526/19},
  {53, 1253/13, 1146/13, 830/13, 636/13, 601/13, 192/13, 13},
  {62, 101, 922/13, 834/13, 823/13, 531/13, 287/13, 162/13},
  {69, 1677/19, 1637/19, 1621/19, 858/19, 542/19, 340/19, 98/19},
  {86, 1556/17, 1385/17, 1091/17, 906/17, 696/17, 553/17, 519/17},
  {96, 1426/17, 1225/17, 1132/17, 915/17, 591/17, 353/17, 218/17}}

with the first column 11^6 + 41^6 + 42^6 + 53^6 + 62^6 + 69^6 + 86^6 + 96^6 = T2

These two sets become, when multiplied by the common denominators:

{{14420744450, 11330584925, 23229475050, 18505438075, 13568286650, 7991791875, 4901632350, 674862425},
  {15450797625, 10300531750, 23908076325, 15396584300, 5475545825, 4011786050, 2439599625, 108426650},
  {22661169850, 8240425400, 20381903250, 13018118850, 10673104175, 10190951625, 4492785125, 3835304375},
  {1030053175, 12360638100, 23217955350, 19431813950, 9437514225, 7210372225, 695981875, 556785500},
  {2060106350, 21631116675, 20655276825, 16643490775, 14203891150, 13173837975, 6939305600, 2493812950},
  {6180319050, 20601063500, 19158989055, 18952978420, 18334946515, 12154627465, 10506542385, 5768297780},
  {9270478575, 3090159525, 22290350707, 19777020960, 15986425276, 15656808260, 8116819019, 6345127558},
  {19571010325, 17510903975, 22493486775, 7952968700, 6204273775, 6084500150, 2587110300, 574913400}}

{{46189, 411996, 338637, 321347, 196118, 164255, 151658, 13338},
  {172159, 428519, 308516, 257023, 230061, 202878, 110058, 73814},
  {176358, 387192, 375479, 291057, 288847, 240227, 121550, 116246},
  {222547, 404719, 370158, 268090, 205428, 194123, 62016, 54587},
  {260338, 424099, 297806, 269382, 265829, 171513, 92701, 52326},
  {289731, 370617, 361777, 358241, 189618, 119782, 75140, 21658},
  {361114, 384332, 342095, 269477, 223782, 171912, 136591, 128193},
  {403104, 352222, 302575, 279604, 226005, 145977, 87191, 53846}}

and directly produce this magic square of 6th powers:

In April 2013, Toshihiro Shirakawa produced another 64x64 magic square of 6th powers, but with smaller integers than Jaroslaw.

T1 = 1000000000043382156
  {{717, 488, 901, 803, 553, 512, 298, 246}
  {58, 155, 818, 804, 787, 699, 641, 434}
  {293, 692, 951, 716, 477, 371, 290, 214}
  {856, 369, 894, 662, 446, 307, 287, 215}
  {326, 917, 797, 685, 538, 498, 388, 345}
  {698, 472, 813, 736, 723, 707, 673, 634}
  {732, 786, 881, 613, 602, 565, 461, 94}
  {889, 830, 746, 417, 316, 282, 233, 229}}

The first two columns have a sum = T2/(5^6) = 1294233624408559443.

T2 = (5^6)*1294233624408559443 = 20222400381383741296875
  {{3760, 4635, 4060, 3590, 2750, 2675, 1980, 1195}
  {3245, 4970, 3560, 3180, 2960, 2495, 855, 400}
  {3035, 4980, 4010, 1700, 1210, 1125, 170, 35}
  {1260, 4875, 4030, 3565, 2650, 2080, 1765, 1040}
  {3700, 1255, 5030, 3210, 2590, 1910, 1415, 1275}
  {1780, 5188, 2868, 2203, 1663, 748, 399, 352}
  {4495, 4616, 3396, 2963, 2114, 696, 646, 551}
  {645, 4364, 4358, 4072, 3521, 815, 472, 366}}

The first column has a sum = T1*(5^6) = 15625000000677846187500. These two sets produce this magic square of 6th powers:

However, we can remark that both S6 und max. Zahl of this 64x64 square remain bigger than those of Labelle's 90x90 square.


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