Was ist ein multimagisches Quadrat?


Ein magisches Quadrat heißt bimagisch (oder 2-multimagisch), wenn es magisch bleibt, nachdem alle Zahlen quadriert worden sind.

Als Erweiterung heißt ein Quadrat P-multimagisch, wenn es magisch bleibt, nachdem alle Zahlen durch ihre k-te Potenz ersetzt worden sind (für k=1, 2, ..., bis P).

Erinnern wir uns an die Definition eines magischen Quadrates. Bei einem magischen Quadrat der Ordnung n handelt es sich um eine quadratische Anordnung der Zahlen 1 bis n² in einer Tabelle der Größe n x n, bei der die Summe alle n Zeilen, aller n Spalten und der beiden Hauptdiagonalen gleich ist. In der nachfolgenden Tabelle ist das kleinste magische Quadrat dargestellt (außer dem Trivialfall n=1 natürlich). Dieses Quadrat wurde noch vor 2000 v. Chr. in China entdeckt. Es besitzt die Ordnung 3 und enthält damit die Zahlen von 1 bis 9.

Man kann leicht überprüfen, dass alle Summen in diesem chinesischen Quadrat gleich 15 sind. Allgemein gilt, dass die magische Summe in einem Quadrat der Ordnung n immer gleich n(n² + 1)/2 ist. In diesem Fall ergibt sich damit   3(3² + 1) / 2 = 15.

Die Idee multimagischer Quadrate kam Ende des 19. Jahrhunderts auf, als in Frankreich das erste bimagische Quadrat (oder 2-multimagisches Quadrat) entdeckt wurde. Nach Definition ergeben sich auch dann immer gleiche Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen, wenn alle Zahlen quadriert werden. Schauen wir, was dabei mit dem chinesischem Quadrat passiert:

ergibt:

Allerdings ist das chinesische Quadrat weit davon entfernt, bimagisch zu sein, denn die bimagischen Summen schwanken zwischen 77 und 107! Das allererste bimagische Quadrat der Welt stammt von G. Pfeffermann, der es 1890 entdeckte. Damit ist es natürlich auch gleichzeitig das erste multimagische Quadrat der Welt.


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