8x8 und
9x9 magische Quadrate aus Kubikzahlen
8x8 und
9x9 magische Quadrate aus vierten Potenzen
8x8 und
9x9 magische Quadrate aus fünften Potenzen
Sehen
sie auch die erste Seite von Magische Quadrate
aus Kubikzahlen
In diesem semi-magischen 8x8-Quadrat von Lee Morgenstern aus paarweise verschiedenen natürlichen Kubikzahlen von 1 bis 65 fehlt nur die Zahl 57. Es ist kein magisches Quadrat: die Diagonalen sind nicht magisch.
65 3 |
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9 3 |
12 3 |
6 3 |
23 3 |
7 3 |
3 3 |
2 3 |
29 3 |
63 3 |
25 3 |
45 3 |
13 3 |
51 3 |
33 3 |
20 3 |
48 3 |
19 3 |
62 3 |
17 3 |
15 3 |
52 3 |
34 3 |
28 3 |
22 3 |
38 3 |
32 3 |
61 3 |
37 3 |
41 3 |
44 3 |
10 3 |
11 3 |
60 3 |
40 3 |
27 3 |
42 3 |
30 3 |
53 3 |
43 3 |
21 3 |
26 3 |
46 3 |
24 3 |
59 3 |
16 3 |
50 3 |
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31 3 |
18 3 |
35 3 |
58 3 |
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14 3 |
49 3 |
55 3 |
47 3 |
4 3 |
39 3 |
5 3 |
36 3 |
56 3 |
1 3 |
Nach einer langen und schwierigen Suche konstruierte Walter Trump, Nürnberg, im August und September 2008 die ersten bekannten magischen 8x8-Quadrate aus Kubikzahlen. Hier sind seine zwei magischen Quadrate aus Kubikzahlen. Sie sind z. Z. die KLEINSTEN bekannten magischen Quadrate aus Kubikzahlen: 4x4, 5x5, 6x6 und 7x7 sind nicht bekannt!
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9 3 |
15 3 |
61 3 |
18 3 |
40 3 |
27 3 |
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3 3 |
56 3 |
12 3 |
25 3 |
49 3 |
38 3 |
65 3 |
16 3 |
21 3 |
34 3 |
64 3 |
57 3 |
32 3 |
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45 3 |
14 3 |
44 3 |
4 3 |
8 3 |
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13 3 |
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2 3 |
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10 3 |
27 3 |
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21 3 |
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6 3 |
11 3 |
33 3 |
63 3 |
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63 3 |
31 3 |
41 3 |
30 3 |
13 3 |
42 3 |
39 3 |
50 3 |
10 3 |
52 3 |
51 3 |
45 3 |
50 3 |
36 3 |
15 3 |
47 3 |
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37 3 |
51 3 |
12 3 |
6 3 |
54 3 |
65 3 |
23 3 |
19 3 |
58 3 |
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24 3 |
17 3 |
60 3 |
20 3 |
37 3 |
53 3 |
|
47 3 |
36 3 |
43 3 |
33 3 |
29 3 |
59 3 |
52 3 |
4 3 |
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14 3 |
61 3 |
62 3 |
28 3 |
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32 3 |
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25 3 |
16 3 |
5 3 |
56 3 |
41 3 |
26 3 |
57 3 |
46 3 |
18 3 |
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59 3 |
40 3 |
|
1 3 |
62 3 |
26 3 |
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7 3 |
60 3 |
22 3 |
64 3 |
2 3 |
42 3 |
39 3 |
5 3 |
55 3 |
34 3 |
35 3 |
Zur Konstruktion mit vierten Potenzen verwenden wir:
und erhalten dieses semi-magische Quadrat mit magischer Summe Sn = uvw:
(aei)n |
(afi)n |
(agj)n |
(ahj)n |
(bgk)n |
(bhk)n |
(bel)n |
(bfl)n |
(bei)n |
(bfi)n |
(bgj)n |
(bhj)n |
(agk)n |
(ahk)n |
(ael)n |
(afl)n |
(cej)n |
(cfj)n |
(cgi)n |
(chi)n |
(dgl)n |
(dhl)n |
(dek)n |
(dfk)n |
(dej)n |
(dfj)n |
(dgi)n |
(dhi)n |
(cgl)n |
(chl)n |
(cek)n |
(cfk)n |
(cfl)n |
(cel)n |
(chk)n |
(cgk)n |
(dhj)n |
(dgj)n |
(dfi)n |
(dei)n |
(dfl)n |
(del)n |
(dhk)n |
(dgk)n |
(chj)n |
(cgj)n |
(cfi)n |
(cei)n |
(afk)n |
(aek)n |
(ahl)n |
(agl)n |
(bhi)n |
(bgi)n |
(bfj)n |
(bej)n |
(bfk)n |
(bek)n |
(bhl)n |
(bgl)n |
(ahi)n |
(agi)n |
(afj)n |
(aej)n |
Mit:
erhalten wir die (große) kleinste Lösung unter Verwendung der obigen Methode:
797094 |
27214934 |
27047964 |
39107564 |
63503364 |
91816964 |
2842424 |
97048344 |
2134584 |
72880664 |
72433524 |
104728724 |
23713284 |
34286084 |
1061414 |
36239574 |
2718524 |
92818044 |
40300334 |
58268634 |
54067664 |
78174264 |
2401284 |
81986564 |
2738964 |
93515924 |
40603344 |
58706744 |
53664174 |
77590874 |
2383364 |
81374724 |
81692594 |
2392674 |
77288964 |
53455364 |
88820564 |
61430964 |
61810184 |
1810344 |
82306824 |
2410664 |
77870084 |
53857284 |
88157724 |
60972524 |
61348914 |
1796834 |
36098564 |
1057284 |
34420014 |
23805914 |
69221384 |
47875584 |
110265044 |
3229524 |
96670724 |
2831364 |
92175624 |
63751424 |
25848494 |
17877594 |
41174924 |
1205964 |
Aber wie immer sind die Diagonalen nicht magisch.
Wer kann als erster ein magisches 8x8-Quadrat aus paarweise verschiedenen vierten Potenzen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?
Wer kann als erster ein magisches 8x8-Quadrat aus paarweise verschiedenen fünften Potenzen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?
9x9 magische Quadrate aus Kubikzahlen
9x9 magische Quadrate aus vierten Potenzen
9x9 magische Quadrate aus fünften Potenzen
Lee Morgenstern fand eine Methode zur Konstruktion semi-magischer 9x9-Quadrate aus beliebigen n-ten Potenzen. Wenn die beiden folgenden Gleichungen (9.1) (9.2) erfüllt sind:
dann ist das Quadrat aus n-ten Potenzen semi-magisch mit der magischen Summe Sn = uv:
(aj)n |
(bj)n |
(cj)n |
(dk)n |
(ek)n |
(fk)n |
(gl)n |
(hl)n |
(il)n |
(ak)n |
(bk)n |
(ck)n |
(dl)n |
(el)n |
(fl)n |
(gj)n |
(hj)n |
(ij)n |
(al)n |
(bl)n |
(cl)n |
(dj)n |
(ej)n |
(fj)n |
(gk)n |
(hk)n |
(ik)n |
(bm)n |
(cm)n |
(am)n |
(ep)n |
(fp)n |
(dp)n |
(hq)n |
(iq)n |
(gq)n |
(bp)n |
(cp)n |
(ap)n |
(eq)n |
(fq)n |
(dq)n |
(hm)n |
(im)n |
(gm)n |
(bq)n |
(cq)n |
(aq)n |
(em)n |
(fm)n |
(dm)n |
(hp)n |
(ip)n |
(gp)n |
(cr)n |
(ar)n |
(br)n |
(fs)n |
(ds)n |
(es)n |
(it)n |
(gt)n |
(ht)n |
(cs)n |
(as)n |
(bs)n |
(ft)n |
(dt)n |
(et)n |
(ir)n |
(gr)n |
(hr)n |
(ct)n |
(at)n |
(bt)n |
(fr)n |
(dr)n |
(er)n |
(is)n |
(gs)n |
(hs)n |
Einige Monate später konstruierte ich, - ohne obige Methode zu verwenden - das erste bekannte 9x9 magische Quadrat aus Kubikzahlen. Es benutzt die 81 ersten Kubikzahlen, von 13 bis 813. Eine zusätzliche Eigenschaft: die 9 Zeilen (und 3 Spalten) sind magisch wenn die Zahlen nicht potenziert werden, nämlich S1=369.
Es sollte das kleinste mögliche "normale" magische Quadrat aus Kubikzahlen sein, unter Verwendung der ersten aufeinanderfolgenden Kubikzahlen, 8x8 oder kleinere "normale" magische Quadrate aus Kubikzahlen scheinen unmöglich zu sein.
53 3 |
2 3 |
68 3 |
72 3 |
19 3 |
62 3 |
28 3 |
49 3 |
16 3 |
9 3 |
70 3 |
40 3 |
12 3 |
24 3 |
30 3 |
78 3 |
50 3 |
56 3 |
27 3 |
36 3 |
8 3 |
69 3 |
34 3 |
58 3 |
39 3 |
17 3 |
81 3 |
1 3 |
11 3 |
23 3 |
47 3 |
71 3 |
76 3 |
45 3 |
43 3 |
52 3 |
75 3 |
63 3 |
33 3 |
25 3 |
42 3 |
22 3 |
21 3 |
74 3 |
14 3 |
65 3 |
73 3 |
7 3 |
41 3 |
6 3 |
66 3 |
54 3 |
31 3 |
26 3 |
51 3 |
13 3 |
35 3 |
4 3 |
55 3 |
15 3 |
60 3 |
77 3 |
59 3 |
3 3 |
57 3 |
64 3 |
32 3 |
80 3 |
29 3 |
48 3 |
10 3 |
46 3 |
61 3 |
20 3 |
79 3 |
67 3 |
38 3 |
5 3 |
44 3 |
18 3 |
37 3 |
Es ist ebenfalls möglich ein 9x9 magisches Quadrat aus Kubikzahlen zu konstruieren unter Verwendung der Zahlen 03 to 803. Wie im vorherigen Quadrat, seine 9 Zeilen sind magisch wenn die Zahlen nicht potenziert werden, S1=360.
0 3 |
11 3 |
14 3 |
57 3 |
76 3 |
60 3 |
49 3 |
50 3 |
43 3 |
69 3 |
10 3 |
45 3 |
40 3 |
70 3 |
38 3 |
2 3 |
21 3 |
65 3 |
9 3 |
73 3 |
13 3 |
36 3 |
41 3 |
62 3 |
34 3 |
72 3 |
20 3 |
54 3 |
28 3 |
55 3 |
35 3 |
5 3 |
66 3 |
17 3 |
22 3 |
78 3 |
75 3 |
58 3 |
26 3 |
64 3 |
59 3 |
3 3 |
31 3 |
32 3 |
12 3 |
24 3 |
8 3 |
80 3 |
33 3 |
47 3 |
61 3 |
52 3 |
4 3 |
51 3 |
39 3 |
15 3 |
63 3 |
23 3 |
7 3 |
19 3 |
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67 3 |
56 3 |
42 3 |
53 3 |
30 3 |
79 3 |
1 3 |
44 3 |
27 3 |
68 3 |
16 3 |
48 3 |
74 3 |
46 3 |
29 3 |
18 3 |
37 3 |
77 3 |
6 3 |
25 3 |
Bemerkungen zu Morgensterns 9x9-Methode
Bei Kubikzahlen (n=3) können wir nicht die kleinsten Taxicab(3, 3, 3)-Zahlen verwenden:
Weil gleiche Zahlen auftreten. Wenn meine Untersuchungen stimmen, dann sind folgende die kleinsten Lösungen, die 81 paarweise verschiedene Zahlen ergeben:
und folgendes Quadrat erzeugen:
4 3 |
12 3 |
104 3 |
161 3 |
460 3 |
483 3 |
561 3 |
594 3 |
627 3 |
23 3 |
69 3 |
598 3 |
231 3 |
660 3 |
693 3 |
68 3 |
72 3 |
76 3 |
33 3 |
99 3 |
858 3 |
28 3 |
80 3 |
84 3 |
391 3 |
414 3 |
437 3 |
24 3 |
208 3 |
8 3 |
200 3 |
210 3 |
70 3 |
648 3 |
684 3 |
612 3 |
30 3 |
260 3 |
10 3 |
720 3 |
756 3 |
252 3 |
144 3 |
152 3 |
136 3 |
108 3 |
936 3 |
36 3 |
160 3 |
168 3 |
56 3 |
180 3 |
190 3 |
170 3 |
416 3 |
16 3 |
48 3 |
567 3 |
189 3 |
540 3 |
551 3 |
493 3 |
522 3 |
702 3 |
27 3 |
81 3 |
609 3 |
203 3 |
580 3 |
304 3 |
272 3 |
288 3 |
754 3 |
29 3 |
87 3 |
336 3 |
112 3 |
320 3 |
513 3 |
459 3 |
486 3 |
Es ist das kleinstmögliche Quadrat mit dieser Konstruktionsmethode. Und es kann nicht magisch sein: Ich habe überprüft, dass keine Umordnung der Zeilen und Spalten zu einer magischen Diagonale führt.
Auch für die vierten Potenzen (n=4) können wir nicht die kleinsten Taxicab(4, 3, 3)-Zahlen verwenden:
weil die 81 erzeugten Zahlen nicht paarweise verschieden wären. Zum Beispiel gilt 7*34 = 17*14 = 238 und 28*9 = 12*21 = 252. Nach meinen Überlegungen erhält man die kleinste Lösung (= kleinstmögliches S4), die 81 paarweise verschiedene Zahlen erzeugt, mit der kleinsten Taxicab(4, 3, 3)-Zahl und der kleinsten Taxicab(4, 3, 4)-Zahl:
Eigentlich sollte man durch Kombination dieser Gleichungen vier unterschiedliche Quadrate erzeugen können. Aber die zweite Gleichung kann in den Kombinationen (A) = (B) = (C) oder (B) = (C) = (D) nicht verwendet werden, weil drei Zahlenpaare übereinstimmen: 4*45 = 12*15 = 180, 7*32 = 28*8 = 224 und 7*45 = 21*15 = 315.
Mit (A) = (B) = (D) oder (A) = (C) = (D) erhält man paarweise verschiedene Zahlen. Hier ist das Quadrat mit (A) = (B) = (D).
124 |
694 |
814 |
2804 |
8404 |
11204 |
5164 |
7314 |
12474 |
1604 |
9204 |
10804 |
3014 |
9034 |
12044 |
364 |
514 |
874 |
1724 |
9894 |
11614 |
214 |
634 |
844 |
4804 |
6804 |
11604 |
1844 |
2164 |
324 |
7774 |
10364 |
2594 |
7654 |
13054 |
5404 |
8514 |
9994 |
1484 |
9454 |
12604 |
3154 |
1364 |
2324 |
964 |
10354 |
12154 |
1804 |
1684 |
2244 |
564 |
6294 |
10734 |
4444 |
6214 |
924 |
5294 |
7004 |
1754 |
5254 |
13924 |
5764 |
8164 |
6754 |
1004 |
5754 |
13444 |
3364 |
10084 |
6674 |
2764 |
3914 |
12964 |
1924 |
11044 |
6444 |
1614 |
4834 |
7254 |
3004 |
4254 |
Das andere Quadrat mit (A) = (C) = (D) hat genau das gleiche S4.
Wer kann als erster ein magisches 9x9-Quadrat aus paarweise verschiedenen vierten Potenzen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?
Bei fünften Potenzen kennt niemand die Taxicab(5, 3, 3)-Zahl u:
März/April 2003 führte Duncan Moore eine ausführliche Suche durch und fand keine Lösung u < 17716^5 = 1.745 * 10^21. Seine Suche nach verschiedenen Taxicab/Cabtaxi Zahlen kann man auf seiner webpage unter http://homepage.ntlworld.com/duncan-moore/taxicab nachlesen. Das bedeutet, dass wir bis heute kein 9x9 semi-magisches Quadrat der fünften Potenz mit Morgenstern's Methode gefunden haben.
Wer kann als erster ein magisches 9x9-Quadrat aus paarweise verschiedenen fünften Potenzen konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?
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