Multimagische Formeln


Woher wissen wir eigentlich im Voraus, wie die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen bei multimagischen Quadraten lauten?

Beginnen wir mit dem einfachen magischen Quadrat. Es ist eine bekannte Tatsache und leicht nachzuweisen (…man weiß sogar, dass Gauss dieses schon als 8-jähriger Junge auf der Schule tat…), dass für die Summe der ersten N natürlichen Zahlen von 1 bis N gilt:

Ein magisches Quadrat der Ordnung n enthält nun alle Zahlen von 1 bis n². Damit muss für die Summe dieser Zahlen von 1 bis n² gelten:

Da das Quadrat n Zeilen besitzt, brauchen wir nur diese Summe durch n dividieren, um die magische Summe zu erhalten. Also:


Für ein bimagisches Quadrat lautet die Summe der ersten N natürlichen Quadratzahlen von 1 bis N:

Da wir jetzt bis n² summieren, ersetzen wir wieder N durch n². Danach dividieren wir durch n, um die bimagische Summe S2 jeder Zeile, jeder Spalte und der beiden Diagonalen zu erhalten. Also:


Für ein trimagisches Quadrat bilden wir entsprechend die Summen der dritten Potenzen:


Für ein tetramagisches Quadrat benötigen wir die Summe der zur vierten Potenz genommenen natürlichen Zahlen. Die Lösung dieses Problems gab Fermat bereits 1636 in einem Brief an Roberval. Wir brauchen in dieser Formel jetzt wieder nur N durch n² ersetzen und anschließend durch n dividieren:

Wenn wir noch (4n² +2) * S1 durch 6S2 ersetzen, können wir die Formel noch etwas einfacher als Fermat schreiben:


Für ein pentamagisches Quadrat bilden wir entsprechend die Summen der fünften Potenzen:


Für die Herleitung dieser Formel für Sp gibt es eine allgemeine Formel, die es uns auf einfache Art und Weise gestattet, für die Zukunft noch weitere Formeln herzuleiten:

  • S1 = (1/2) n^3   + (1/2) n
  • S2 = (1/3) n^5   + (1/2) n^3   +  (1/6) n
  • S3 = (1/4) n^7   + (1/2) n^5   +  (1/4) n^3
  • S4 = (1/5) n^9   + (1/2) n^7   +  (1/3) n^5   - (1/30) n
  • S5 = (1/6) n^11  + (1/2) n^9   + (5/12) n^7   - (1/12) n^3
  • S6 = (1/7) n^13  + (1/2) n^11  +  (1/2) n^9   -  (1/6) n^5  + (1/42) n
  • S7 = (1/8) n^15  + (1/2) n^13  + (7/12) n^11  - (7/24) n^7  + (1/12) n^3
  • S8 = (1/9) n^17  + (1/2) n^15  +  (2/3) n^13  - (7/15) n^9  +  (2/9) n^5  - (1/30) n

Wenn wir Sp für ein p-multimagisches Quadrat der n-ten Ordnung berechnen wollen, und dabei nicht die Zahlen von 1 bis n², sondern stattdessen die Zahlen von 0 bis n²-1 benutzen wollen, genügt es in der zweiten Spalte statt des rot dargestellten Plus-Zeichens ein Minus-Zeichen zu setzen. Sie werden bemerken, dass die erste Spalte von Sp immer gleich (1/(p+1)) n^(2p+1) ist. Diese Tatsache ist dank Pascal, der darüber eine Abhandlung schrieb, seit dem 17. Jahrhundert bekannt. Später beschäftigte sich Jacques Bernoulli mit den Summen von potenzierten natürlichen Zahlen. Nach dessen Tod zu Beginn des 18. Jahrhundert wurde sein Buch Ars conjectandi veröffentlicht. Seitdem spricht man bei den in dieser Tabelle benutzten Zahlen auch von den Bernoulli Zahlen (1/6, -1/30, 1/42, -1/30, 5/66, …).


In der Tabelle folgen einige Werte für p-multimagische Quadrate der Ordnung n, die die Zahlen von 1 bis n² enthalten. Darin sind auch die magischen und bimagischen Summen von Pfeffermanns bimagischem Quadrat 8. Ordnung, Pfeffermanns bimagischem Quadrat 9. Ordnung und Bensons trimagischem Quadrat der Ordnung 32 enthalten.

Sp

3. Ordnung

4. Ordnung

5. Ordnung

6. Ordnung

7. Ordnung

8. Ordnung

9. Ordnung

...

32. Ordnung

S1

15

34

65

111

175

260

369

...

16400

S2

95

374

1105

2701

5775

11180

20049

...

11201200

S3

675

4624

21125

73926

214375

540800

1225449

...

8606720000

 


Abschließend folgen einige Werte für p-multimagische Quadrate der Ordnung n, die die Zahlen von 0 bis n²-1 enthalten. Darunter befinden sich auch die Werte für unsere Rekordquadrate, dem tetramagischen Quadrat der Ordnung 512 und dem pentamagischen Quadrat der Ordnung 1024.

Sp

32. Ordnung

512. Ordnung

1024. Ordnung

S1

16368

67108608

536870400

S2

11168432

11728056920832

375299432076800

S3

8573165568

2305825417061203968

295147342229667840000

S4

7019705733392

483565716171561366524160

247587417561640996243120640

S5

5987221633671168

105636341097042573844228866048

216345083469423421673932062720000

 


Bibliografie

Weitere Infomationen über die Summen von Potenzen finden sie im ausgezeichneten Kapitel 14 Sommation des puissances numériques, in Buch II der Théorie des Nombres von Edouard Lucas, Librairie Blanchard, Paris.


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