Ungelöste multimagische Probleme
Eine Vielzahl von multimagischen Problemen ist bis heute ungelöst, das macht dieses Gebiet so
interessant und spannend.
Das Ziel besteht hauptsächlich darin, möglichst viele Eigenschaften auf
möglichst kleinem Raum zu vereinigen. "Welches ist das kleinstmögliche
xxx" und "Wer findet das erste yyy" sind die am meisten gestellten
Fragen.
Hier ist eine unvollständige Liste. Falls Sie eine Antwort auf ein multimagisches Problem haben,
senden Sie mir eine Nachricht!
Ich werde Ihre Ergebnisse gerne auf diesen Internet-Seiten präsentieren.
Multimagische Quadrate mit paarweise verschiedenen ganzen
Zahlen
- Welche Ordnung hat das kleinste bimagische Quadrat mit paarweise verschiedenen ganzen Zahlen?
Für die Ordnungen 3 und 4 wurde bereits bewiesen, dass es keine solchen Quadrate gibt
und die Ordnung 8 ist die kleinste Ordnung, für die es normale bimagische Quadrate
gibt (normal = mit aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen).
Wer kann das erste nicht-normale bimagische Quadrat
der Ordnung 5, 6 oder 7 konstruieren? (nicht-normal = mit paarweise verschiedenen ganzen Zahlen, die nicht aufeinanderfolgen müssen).
Oder beweisen Sie, dass es unmöglich ist eines dieser Quadrate zu konstruieren. Lösungen für die Ordnung
6 wurden im Februar 2006 von Jaroslaw Wroblewski gefunden. Beispiele
für die Ordnungen 6 und 7 wurden im Mai 2006 von Lee Morgenstern
gefunden. Ordnung 5 ist noch nicht gelöst!
- Welche Ordnung hat das kleinste trimagische Quadrat mit paarweise verschiedenen ganzen Zahlen?
Für die Ordnungen 3 und 4 wurde bereits bewiesen, dass es keine solchen Quadrate gibt
und die Ordnung 12 ist die kleinste Ordnung, für die es normale trimagische Quadrate
gibt (normal = mit aufeinanderfolgenden ganzen Zahlen).
Normal multimagische Quadrate (mit aufeinanderfolgenden
ganzen Zahlen)
Multimagische Würfel und Hyperwürfel
Multiplikative magische Quadrate
Multiplikative magische Würfel
- Kleinste Maximalzahl:
- Kleinste magische
Produkte:
- Und noch allgemeiner
(siehe Tabelle):
- Welches sind die
kleinstmöglichen Maximalzahlen und das kleinstmögliche Produkt für multiplikative
magische Würfel der Ordnung 4 und darüber?
- Welches sind die
kleinstmöglichen Maximalzahlen und das kleinstmögliche Produkt für perfekte
multiplikative magische Würfel der Ordnung 4 und darüber?
- Welches sind die
kleinstmöglichen Maximalzahlen und das kleinstmögliche Produkt für pandiagonal
perfekte multiplikative magische Würfel der Ordnung 4 und darüber?
Magische Quadrate aus Quadratzahlen
Zehn ungelöste Probleme aus meinem Artikel "Some
notes on the magic squares of squares problem" in
The Mathematical Intelligencer, 2005. Einige wurden schon weiter oben erwähnt.
AB1. Dieses magische 3x3-Quadrat enthält 7 unterschiedliche Quadratzahlen.
S2 = 541875. Von Andrew Bremner.
373²
|
289²
|
565²
|
360721
|
425²
|
23²
|
205²
|
527²
|
222121
|
Bei den Problemen 1 bis 6 sind paarweise verschiedene ganze Zahlen zu verwenden
(die Zahlen müssen nicht aufeinanderfolgen). Bei den Problemen 7 bis 10 müssen aufeinanderfolgende ganze Zahlen verwendet werden.
- Ein Preisgeld von 100$ wurde von Martin Gardner 1996
für ein magisches 3x3-Quadrat aus 9 Quadratzahlen (oder den Beweis der Nichtexistenz) ausgesetzt.
- Ich biete hier einen Preis von 100€ + eine Flasche Champagner für den Ersten, der ein
“einfacheres” Problem löst: Finden Sie ein neues Beispiel für ein magisches 3x3-Quadrat mit sieben verschiedenen Quadratzahlen,
das sich von (AB1) unterscheidet, ebenso wie von seinen gedrehten und gespiegelten Varianten, sowie von seinen
k²-Vielfachen. Oder liefern Sie ein solches Beispiel mit acht Quadratzahlen.
(Equivalent zu Rätsel 1)
- Von welcher Ordnung ist das kleinste bimagische Quadrat aus paarweise verschiedenen
ganzen Zahlen? Bislang ist seine Ordnung nicht bekannt: 5x5, 6x6, oder 7x7? Ich vermute, dass bimagische 5x5-Quadrate
nicht existieren. Bimagische
Quadrate der Ordnung 8 und darüber sind bekannt. Nicht
gelöst, aber erstes
bimagisches 6x6-Quadrat von Jaroslaw Wroblewski Februar 2006, erstes
bimagisches 7x7-Quadrat von Lee Morgenstern Mai 2006. 5x5 noch
unbekannt. (Equivalent zu Rätsel
2)
- Konstruieren Sie ein bimagisches Quadrat, das aus unterschiedlichen Primzahlen besteht.[9]
[50] Gelöst
von Christian Boyer, November 2006, für
die Primzahlordnung 11. Daher, ein neues Problem:
- Konstruieren Sie ein bimagisches Quadrat aus paarweise
verschiedenen Primzahlen für alle Ordnungen < 11
- Konstruieren Sie das kleinstmögliche magische Quadrat mit ganzen Kubikzahlen,
5a) die unterschiedliche Beträge besitzen, 5b) die alle positiv sind. Nicht
gelöst, aber erstes semi-magisches 4x4-Quadrat aus Kubikzahlen von Lee
Morgenstern, Juni 2006.
Die kleinsten bekannten magischen
Quadrate aus Kubikzahlen sind im Augenblick 8x8 Quadrate von Walter
Trump im August-Sept 2008. 4x4, 5x5, 6x6, 7x7 sind ungelöst. (5b 4x4 ist
equivalent zu Rätsel
4, und zu Absatz 8.3 im Artikel des Journal of Integer
Sequences 2008, sehen
sie
hier)
- Konstruieren Sie ein magisches Quadrat aus dritten Potenzen von Primzahlen.[9] Gelöst
von Jaroslaw Wroblewski und Hugo Pfoertner, Juli 2007, für
die Ordnung 42.
- Konstruieren Sie den kleinstmöglichen magischen Würfel aus Quadratzahlen (der 16x16x16
bimagische Würfel erfüllt die Bedingungen, wenn man seine Zahlen quadriert).
- Konstruieren Sie einen bimagischen Würfel, der kleiner als ein 16x16x16-Würfel ist.
- Konstruieren Sie einen perfekten bimagischen Würfel, kleiner als 32x32x32.
- Beweisen sie den algemeinen magischen Fall von (2k+1)k+1.
Die hier verwendete Kurzform stammt von Richard
Schroeppel: unter einem magischen (2k+1)k+1 versteht man einen
perfekten magischen Hyperwürfel der Ordnung (2k+1) und der Dimension k+1. Das Problem 10
besteht darin, für alle k zu beweisen, dass im Zentrum der Mittelwert der verwendeten Zahlen stehen muss,
falls ein solcher Hyperwürfel überhaupt existiert. Das Problem ist für k=1 trivial und wurde
von Richard Schroeppel bereits für k=2, 3 und 4 bewiesen.
Zum Beispiel:
- Der Fall k=1 bedeutet, dass bei einem normalen magischen Quadrat der Ordnung 3
stets die Zahl 5 im zentralen Feld stehen muss; und 5 ist der Mittelwert der Zahlen von 1 bis 9.
- Der Fall k=2 bedeutet, dass bei einem perfekten
magischen Würfel der Ordnung 5 die Zahl 63 im Zentrum steht, weil 63 der Mittelwert der Zahlen
von 1 bis 125 ist. Lesen Sie den Beweis.
Daraus folgt, dass es kein magisches 54 gibt: ein perfekter magischer
Hyperwürfel der Ordnung 5 und der Dimension 4 existiert nicht.
Magische Quadrate
aus Vieleckszahlen
Rätsel mit magischen
Quadraten
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