Das kleinstmögliche bimagische Quadrat
Siehe auch Das kleinstmögliche bimagische Quadrat mit paarweise verschiedenen ganzen Zahlen
Siehe auch Der kleinstmögliche bimagische Würfel


Das kleinste multimagische Quadrat muss bimagisch (2-multimagisch) sein. Welche Ordnung hat aber das kleinstmögliche bimagische Quadrat? Das kleinste bekannte bimagische Quadrat hat die Ordnung 8 und damit die Ordnung des ersten bimagischen Quadrats, welches 1890 von Pfeffermann entdeckt wurde... Ist das mystische bimagische Quadrat siebter Ordnung überhaupt möglich?


Bimagische Quadrate 3. oder 4. Ordnung?

Der berühmte Mathematikers Edouard Lucas, der auch einige Artikel in der Zeitschrift Les Tablettes du Chercheur veröffentlichte, hat bewiesen, dass bimagische Quadrate dritter Ordnung selbst dann nicht existieren können, wenn sie aus nicht fortlaufenden Zahlen gebildet werden. Weiterhin wies er nach, dass auch kein bimagisches Quadrat vierter Ordnung mit fortlaufenden Zahlen existieren kann. Diesen Beweis veröffentlichte er am 1. März 1891, nur wenige Wochen nach dem bimagischen Quadrat 8. Ordnung von Pfeffermann. Weitere Nachforschungen konnte er leider nicht mehr anstellen, da er kurze Zeit später, noch im Jahre 1891 verstarb.

Es ist möglich nicht-normale (= Verwendung von paarweise verschiedenen, aber nicht aufeinander folgenden Zahlen) magische Quadrate der Ordnung 4 zu konstruieren, die zumindest semi-bimagisch sind (d.h. die Diagonalen sind weder magisch noch bimagisch). Das folgende Beispiel wurde 2003 konstruiert. Für die 4 Zeilen und die 4 Spalten, ist die magische Summe 143 und die bimagische Summe beträgt 7063. Es ist nicht möglich, ein Quadrat mit den selben Eigenschaften zu konstruieren, das aus kleineren, unterschiedlichen, natürlichen Zahlen besteht. Man kann aber weitere Quadrate mit größeren Zahlen finden.

In ihren Lösung des Rätsels 287 über "Multimagische Primzahlquadrate", das von Carlos Rivera auf seiner Seite http://www.primepuzzles.net/ gestellt wurde, bewiesen Dr. Luke Pebody, vom Trinity College, Cambridge, England, und Jean-Claude Rosa, Frankreich, im Oktober 2004, dass ein nicht-normales bimagisches Quadrat der Ordnung 4 mit paarweise verschiedenen Zahlen nicht existiert. Lesen Sie hier den kurzen, eleganten Beweis von Pebody.

Beachten Sie auch das Problem der bimagischen Quadrate der Ordnung 4 mit paarweise verschiedenen Zahlen.


Bimagische Quadrate 5. Ordnung?

Für magische Quadrate 5. Ordnung gibt es insgesamt nur 8 Gruppen von jeweils 5 Zahlen ziwschen 1 und 25 (=5²), die die magische Summe 65 (=5x(5² + 1)/2) und deren Quadrate die bimagische Summe 1105 (=5x(5² + 1)*(2x5² + 1)/6) bilden:

Es leuchtet ein, dass damit auf keinen Fall ein bimagisches Quadrat der Ordnung 5 gebildet werden kann, denn hierfür benötigt man mindestens 12 dieser Gruppen (5 Zeilen, 5 Spalten, 2 Diagonalen). Auch kann z.B. die Zahl 3 niemals auftreten.

Hier ist ein magisches Quadrat, das man in vielen Büchern finden kann, es ist teilweise bimagisch. Zwei Zeilen, zwei Spalten und die beiden Diagonalen sind bimagisch. Die Diagonalen sind sogar trimagisch.

Beachten Sie auch das Problem der bimagischen Quadrate der Ordnung 5 mit paarweise verschiedenen Zahlen.


Bimagische Quadrate 6. Ordnung?

Auf ähnliche Art und Weise kann man auch nachweisen, dass ein bimagisches Quadrat sechster Ordnung nicht möglich sein kann. Allerdings ist dieser Nachweis deutlich schwieriger zu führen. Daher ist es möglich ein nahezu bimagisches Quadrat wie nachfolgendes zu konstruieren, wo alle Spalten bimagisch sind aber leider nicht alle Zeilen und Diagonalen:

Unten finden Sie ein weiteres bimagisches Quadrat von Pfeffermann, aber diesmal ist es nicht-normal und semi-bimagisch. Es verwendet die nicht-aufeinanderfolgenden Zahlen von 1 bis 49. Das Quadrat ist magisch. Die 6 Zeilen und die 6 Spalten sind bimagisch. Nur die Diagonalen sind nicht bimagisch.

Beachten Sie auch das Problem der bimagischen Quadrate der Ordnung 6 mit paarweise verschiedenen Zahlen.


Bimagische Quadrate 7. Ordnung?

Im Jahr 1891 veröffentlichte G. Pfeffermann ein teilweise bimagisches Quadrat der Ordnung 7 in der Tageszeitung L'Echo de Paris. Sein magisches Quadrat besitzt 4 bimagische Zeilen und 4 bimagische Spalten.

Ein solches Quadrat besteht aus den Zahlen 1 bis 49, also 25 ungeraden und 24 geraden Zahlen. Die magische Summe müsste 7*(49+1)/2 = 175 betragen und die bimagische Summe der quadrierten Zahlen 7*(49+1)*(2*49+1)/6 = 5775. Diese letzte Summe besitzt die Form 4k+3, während die Summe der geraden Zahlen die Form 4k und die Summe der ungeraden Zahlen die Form 4k+1 besitzt. Nun kann eine Summe von sieben Quadratzahlen nur genau dann die Form 4k+3 besitzen, wenn sich unter den Zahlen genau 3 oder genau 7 ungerade Zahlen befinden. Da man bei diesem magischen Quadrat insgesamt 25 ungerade Zahlen in 7 Gruppen unterbringen muss, gibt es eine einzige Möglichkeit:

Damit können wir die Frage umformulieren: gibt es sieben solche Gruppen mit allen ungeraden Zahlen von 1 bis 49, so dass deren Summe 175 und die Summe der quadrierten Zahlen 5775 beträgt?

Im Jahre 1892 stellte Michel Frolov in der angesehenen Zeitschrift der Société Mathématique de France die Behauptung auf, dass ein bimagisches Quadrat der Ordnung 7 nicht existieren könne, weil man die Zahlen nicht wie angegeben gruppieren könne. Entschuldigung, Herr Frolov, aber das ist leider nicht korrekt! Aber wir vergeben ihm, weil es damals ja noch keine Computer gegeben hat. Wir haben inzwischen 60 solcher Gruppen mit den angegebenen Eigenschaften gefunden, z.B.

Wenn man jetzt hieraus eine Zeile und eine Spalte des bimagischen Quadrats bilden möchte, genügt es, dass die Zahlen genau eine Zahl gemeinsam haben. Wenn unsere Berechnungen richtig sind, gibt es unter diesen Gruppen von jeweils sieben Zahlen genau 424 mögliche Zahlenpaare.So enthalten z.B. die Gruppen G2 und G13 gemeinsam die Zahl 49, die damit am Schnittpunkt einer entsprechenden Zeile und Spalte platziert werden könnte.

Wenn wir uns dagegen nicht auf die Problematik der geraden und ungeraden Zahlen beschränken, gibt es sogar 1844 Gruppen von jeweils sieben Zahlen im Bereich von 1 bis 49, die jeweils die Summe 175 und deren Quadrate die Summe 5775 besitzen. Die Liste dieser Gruppen wurden bereits im Jahre 1909 von Achille Rilly in Sphinx-Œdipe veröffentlicht. Und das ohne Fehler und ohne Computer. Diese Leistung verdient unsere uneingeschränkte Hochachtung!

Es ist möglich, ein Programm zu schreiben, welches von den 424 Zahlenpaaren und den 1844 Gruppen ausgeht und versucht, hieraus ein bimagisches Quadrat zu erzeugen. Vorausgesetzt, ich habe keinen Fehler gemacht, möchte ich sagen, dass ein bimagisches Quadrat siebter Ordnung unmöglich ist. Allerdings ... habe ich dabei ausgehend von den Gruppen G2/G13, die in der ersten Zeile und der sechsten Spalte platziert wurden, ein besonderes Quadrat siebter Ordnung gefunden.

Wo liegen die Unzulänglichkeiten? Meine Herausforderung: finden sie ein besseres Quadrat? Ist es magisch? Ist es bimagisch? Sie können ja auch ihren Taschenrechner oder ihre Tabellenkalkulation bemühen! Wo also liegen die magischen und bimagischen Defizite?


Walter Trump (Nürnberg) hat diese Herausforderung angenommen und versucht sich möglichst nahe an ein bimagisches Quadrat der Ordnung 7 heranzutasten. Er kam mit seinem Computer zu den selben Ergebnissen wie ich: Es kann keine bimagischen 7x7-Quadrate geben. Weil bewiesen ist, dass ein bimagisches Quadrat der Ordnung 7 ein Paar magischer Reihen mit 7 ungeraden Zahlen enthalten muss, suchte Walter Trump - genau wie ich - nach Quadraten mit einem solchen Paar magischer Reihen. Hier ist eines seiner beinahe bimagischen Quadrate, bei dem auch genau 3 nicht-bimagische Summen auftreten. (Das erwähnte Paar magischer Reihen ist fett gedruckt.) Die Summe der 3 Differenzen ist hier 866, während sie bei meinem Quadrat 928 beträgt.


Im April 2004, können wir endgültig behaupten: Es gibt keine bimagischen Quadrate der Ordnung 7.

Es liegt zwar immer noch kein mathematischer Beweis vor, aber Bogdan Golunski aus Deutschland konnte ebenfalls bestätigen, dass es unmöglich ist, ein solches bimagisches Quadrat zu konstruieren. Nachdem drei Personen mit drei verschiedenen Computer-Programmen auf das selbe Ergebnis kamen, können wir die obige Behauptung mit großer Sicherheit als wahr betrachten.


Im Dezember 2004, überprüfte eine vierte Person mit einem vierten unabhängigen Programm, dass es unmöglich ist ein bimagisches Quadrat der Ordnung 7 zu konstruieren. Pan Fengchu aus China stellte fest, dass es 86 beinahe bimagische Quadrate gibt, die drei falsche S2 Summen haben und dass es unmöglich ist, bessere Ergebnisse zu erzielen.

Seine Quadrate benutzen teilweise nur eine magische Reihe mit 7 ungeraden Zahlen. Seine Quadrate #26 und #86 sind die besten, bei ihnen beträgt die Summe der 3 Differenzen 348. Sie enthalten nur eine magische Reihe mit 7 ungeraden Zahlen (unten fett gedruckt). Allerdings sind die beiden Quadrate gleichartig, wie Walter Trump bemerkte: Das Quadrat #86 ergibt sich, wenn man das Komplement (50-x) von Quadrat #26 bildet und zusätzlich die Permutation 6-7-3-4-5-1-2 für die Zeilen und Spalten ausführt. Tatsächlich können die 86 Quadrate von Fengchu auf 43 wesentlich verschiedene reduziert werden. Unter diesen finden sich auch die vorher bekannten Quadrate: Sein Quadrat #25 (und #46) entspricht dem Quadrat von Trump und sein Quadrat #76 (und #11) ist das Quadrat von Boyer.

 


Im Juni 2005, habe ich das erste magische 7x7-Quadrat aus Quadratzahlen konstruiert. Dieses Beispiel verwendet aufeinanderfolgende Quadratzahlen. Das bedeutet, dass die Nichtexistenz von bimagischen Quadraten der Ordnung 7 nicht darauf zurückgeführt werden kann, dass man Quadratzahlen nicht zu einem magischen Quadrat anordnen könnte.

Beachten Sie auch das Problem der bimagischen Quadrate der Ordnung 7 mit paarweise verschiedenen Zahlen.


In August-September 2012, Francis Gaspalou and Walter Trump proved that the smallest order of an axially symmetric bimagic square is not 8, but 12.

Open their PDF file (in English).


D.N. Lehmer und das Problem der kleinsten bimagischen Quadrate

D.N. Lehmer im Jahr 1934 (Somerset, Indiana, 1867 - Berkeley, California, 1938)

Der Mathematiker D.N. Lehmer beschäftigte sich mit magischen Quadraten. Er veröffentlichte zum Beispiel 1929 in den Transactions of the American Mathematical Society (AMS) einen Artikel mit dem Titel On the congruences connected with certain magic squares (Über Kongruenzen in Verbindung mit bestimmten magischen Quadraten). Einige seiner Arbeiten auf anderen Gebieten können Sie hier finden:

Während einer AMS-Konferenz am 1. Dezember 1934 an der Universität von Kalifornien in Los Angeles präsentierte er eine Abhandlung mit dem Titel Bimagic squares. Hier finden Sie eine Zusammenfassung:

Vom AMS wurde nur dieser Abriss veröffentlicht, der komplette Inhalt wurde nie publiziert. Leider ist Lehmers Abhandlung heute nicht mehr auffindbar. Vielen Dank an:

Nach seinen Untersuchungen zu den bimagischen Quadraten der Ordnungen 3, 4, 5 und 6 beschäftigte sich D.N. Lehmer auch mit Quadraten der Ordnung 7. In einer Rezension des Buches Carrés Magiques au Degré n von General Cazalas schrieb D.N. Lehmer 1935:

Aber anscheinend hat der "Rezensent" (= D.N. Lehmer) keine Anwort auf die Frage bezüglich der Ordnung 7 gefunden. Er starb drei Jahre später, 1938.

Literatur: Bulletin of the AMS, Volume XLI, 1935, Seiten 18, 146-147, und 316-317


Zurück zur Homepage http://www.multimagie.com