Der kleinstmögliche bimagische Würfel
Siehe auch Das kleinstmögliche bimagische Quadrat


Die kleinsten zur Zeit bekannten bimagischen Würfel haben die Ordnung 16 und wurden im Januar 2003 konstruiert. Ist es möglich kleinere bimagische Würfel zu erstellen?


Ordnung 3

Beweis #1: Es gibt nur 4 unterschiedliche magische Würfel der Ordnung 3.

Keiner davon ist bimagisch, also kann es keinen bimagischen Würfel der Ordnung 3 geben.

Beweis #2: Es gibt nur 4 bimagische Reihen der Ordnung 3 (S1=42, S2=770).

Für einen bimagischen Würfel benötigt man 3*3² + 4 = 31 verschiedene bimagische Reihen.

Es gibt keinen bimagischen Würfel der Ordnung 3.


Ordnung 4

Es gibt nur 8 bimagische Reihen der Ordnung 4 (S1=130, S2=5 590)

Ein bimagischer Würfel der Ordnung 4 benötigt 3*4² + 4 = 52 verschiedene bimagische Reihen.

Es gibt keinen bimagischen Würfel der Ordnung 4.


Ordnung 5

Es gibt 272 bimagische Reihen der Ordnung 5 (S1=315, S2=26 355)

Ein bimagischer Würfel der Ordnung 5 benötigt 3*5² + 4 = 79 verschiedene bimagische Reihen. 272 Reihen könnten genügen.

Das Quadrat von geraden Zahlen hat die Form 4k und das Quadrat von ungeraden Zahlen die Form 4k+1, die Summe der Quadrate von 5 Zahlen hat dann und nur dann die Form 4k+3, wenn die Reihe genau 3 ungerade Zahlen enthält.

Deshalb bestehen die bimagischen Reihen jeweils aus 3 ungeraden und 2 geraden Zahlen.

Daher enthalten 25 bimagische Reihen genau 75 ungerade und 50 gerade Zahlen. Somit ist es unmöglich alle Zahlen (von 1 bis 125) in 25 bimagischen Reihen unterzubringen.

Es gibt keinen bimagischen Würfel der Ordnung 5.


Ordnung 6

Es gibt 25.270 bimagische Reihen der Ordnung 6 (S1=651, S2=93 961)

Das Quadrat von geraden Zahlen hat die Form 4k und das Quadrat von ungeraden Zahlen die Form 4k+1, die Summe der Quadrate von 6 Zahlen hat genau dann die Form 4k+1, wenn die Reihe genau eine ungerade Zahl oder genau 5 ungerade Zahlen enthält.

Daher gilt für alle Reihen:

Unter Verwendung dieser Tatsache hat Walter Trump bewiesen, dass jede Ebene eines bimagischen Würfels der Ordnung 6 entweder 6, 10, 26 oder 30 gerade Zahlen enthält. Weiterhin konnte er beweisen, dass es nicht möglich ist aus solchen Ebenen einen bimagischen Würfel zu erstellen. Lesen Sie diesen Beweis (in englisch).

Es gibt keinen bimagischen Würfel der Ordnung 6.


Ordnung 7

Es gibt 5.152.529 bimagische Reihen der Ordnung 7 (S1=1 204, S2=275 716)

Das Quadrat von geraden Zahlen hat die Form 4k und das Quadrat von ungeraden Zahlen die Form 4k+1, die Summe der Quadrate von 7 Zahlen hat genau dann die Form 4k, wenn die Reihe keine ungerade Zahl oder genau 4 ungerade Zahlen enthält.

Wenn die Reihe keine ungerade Zahl enthält, dann haben die Zahlen die Form 4k oder 4k+2.

  1. Weil die Summe S1 die Form 4k hat, enthält jede Reihe eine gerade Anzahl von (4k+2)-Zahlen.
  2. Die Summe S2 hat die Form 16k’+4. Die Quadrate der 4k-Zahlen haben die Form 16k’ und die Quadrate der (4k+2)-Zahlen die Form 16k’+4. Also muss eine Reihe 1 Zahl oder 5 Zahlen der Form 4k+2 enthalten.

Aus 1) & 2) folgt, dass eine bimagische Reihe der Ordnung 7 mindestens eine ungerade Zahl enthalten muss.

Deshalb bestehen alle bimagischen Reihen der Ordnung 7 aus 4 ungeraden und 3 geraden Zahlen. Daraus folgt, dass 49 bimagische Reihen zusammen genau 196 ungerade und 147 gerade Zahlen besitzen. Daher ist es unmöglich alle Zahlen (von 1 bis 343) auf 49 bimagische Reihen zu verteilen.

Es gibt keinen bimagischen Würfel der Ordnung 7.


Ordnung 8

Es gibt eine gewaltige Anzahl (1,6*109) von bimagischen Reihen der Ordnung 8 (S1=2 052, S2=701 100)

Das Quadrat von geraden Zahlen hat die Form 4k und das Quadrat von ungeraden Zahlen die Form 4k+1, die Summe der Quadrate von 8 Zahlen hat genau dann die Form 4k, wenn die Anzahl der ungeraden Zahlen in der Reihe 0 oder 4 oder 8 beträgt.

Wenn die Reihe keine ungerade Zahl enthält, dann haben die Zahlen die Form 4k oder 4k+2.

  1. Weil die Summe S1 die Form 4k hat, enthält jede Reihe eine gerade Anzahl von (4k+2)-Zahlen.
  2. Die Summe S2 hat die Form 16k’+12. Die Quadrate der 4k-Zahlen haben die Form 16k’ und die Quadrate der (4k+2)-Zahlen die Form 16k’+4. Also muss eine Reihe 3 oder 7 Zahlen der Form 4k+2 enthalten.

Aus 1) & 2) folgt, dass eine bimagische Reihe der Ordnung 8 mindestens eine ungerade Zahl enthalten muss.

Mit den gleichen Argumenten, aber jeweils um 1 reduzierten Zahlen (n-1) (von 0 bis 511: S1=2 044, S2=697 004) anstelle der üblichen Zahlen n (von 1 bis 512), kann man zeigen, dass eine bimagische Reihe der Ordnung 8 mindestens eine ungerade (n-1)-Zahl enthalten muss.

Somit bestehen alle bimagischen Reihen der Ordnung 8 aus genau 4 geraden und 4 ungeraden Zahlen.

Vielleicht gibt es einen bimagischen Würfel der Ordnung 8 mit den eben beschriebenen bimagischen Reihen.

Und vielleicht existiert sogar ein TRImagischer Würfel der Ordnung 8! Es gibt 17.218 trimagische Reihen der Ordnung 8. Aber einen tetramagischen Würfel der Ordnung 8 oder weniger kann es nicht geben: Es existieren keine tetramagischen Reihen für die Ordnungen 3 bis 8.


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