Kleinste multiplikative magische Quadrate 6. und 7. Ordnung


Nach multiplikativen magischen Quadraten der Ordnung 3-4-5, und vor multiplikativen magischen Quadraten der Ordnung 8-9 und >=10,  sind hier meine Ergebnisse der Ordnung 6-7.

1983 veröffentlichten Debra K. Borkovitz und Frank K.-M. Hwang in Discrete Mathematics dieses 6x6 multiplikative magische Quadrat:

Soweit  ich weiß, war es das kleinste veröffentlichte 6x6 Beispiel. Das 6x6 Quadrat ist schwierig: die Methode lateinische Quadrate zu erzeugen, wie für 4x4 und 5x5 multiplikative Quadrate beschrieben, kann für 6x6 Quadrate nicht angewendet werden. Das berühmte "36-Offiziers Problem" von Euler hat keine Lösung, was zuerst von Gaston Tarry im Jahr 1900 bewiesen wurde. Ist es möglich ein kleineres Quadrat zu konstruieren als das von B&H?

Die Antwort ist JA: Das kleinste mögliche 6x6 multiplikative magische Produkt ist P = 25 945 920, mehr als 70-mal kleiner als das B&H Beispiel. Und die kleinste mögliche maximale Zahl mit diesem Produkt ist mehr als 16-mal kleiner als das B&H Beispiel. Hier ist eines der vielen möglichen Beispiele mit dem kleinsten P und der niedrigsten max. Zahl:
 

Bei einem 3x3, 4x4, 5x5 und 7x7 Quadrat, ist die kleinste maximale Zahl immer mit dem kleinsten P möglich. Aber das trifft nicht für das 6x6 Quadrat zu! Hier ist ein Beispiel mit der kleinsten möglichen maximalen Zahl für ein 6x6 Quadrat, aber es wird ein größerer Wert für P benötigt:

Mehr magisches: Es ist möglich einige additive Eigenschaften in einem 6x6 multiplikativen Quadrat zu haben! Hier ist ein Beispiel mit dem gleichen P:

Alle Reihen dieses multiplikativen magischen Quadrats sind additiv-multiplikativ magisch:

6x6 pandiagonal additive magischer Quadrate (unter Verwendung aufeinander folgender Zahlen) sind unmöglich. Aber 6x6 pandiagonal multiplikative magische Quadrate sind bekannt! Bereits 1913 veröffentlichte Harry A. Sayles dieses 6x6 pandiagonal multiplikative magische Quadrt, was bedeutet das alle gebrochenen Diagonalen das gleiche Produkt P haben.

Es ist ebenfalls ein most-perfect magisches Quadrat: alle seine 2x2 Unter-Quadrate (wie z.B. das Güne hier) haben das gleiche Produkt P'. Und eine weitere Eigenschaft haben: alle 3x3 Unter-Quadrate (wie z.B das Blaue) haben das gleich Product P''.

Ist es möglich ein besseres zu erzeugen? Ja! Hier ist mein bestes 6x6 pandiagonal multiplikatives magisches Quadrat mit dem kleinsten Produkt P, mehr als 30 Mal kleiner als das P von Sayles's. Und es enthält ebenfalls die gleichen 2x2 und 3x3 Unter-Quadrat Eigenschaften.

Hier sind meine besten 6x6 pandiagonal multiplikativen magische Quadrate mit der kleinsten Zahl, mehr als 10 kleiner als die von Sayles' verwendete Zahl. Und es enthält ebenfalls die gleichen 2x2 und 3x3 Unter-Quadrat Eigenschaften.

But in May 2012, Radko Nachev beats my above results with this very nice square. This is the new record of 6x6 pandiagonal multiplicative squares, with both the new smallest known P and the new smallest known MaxNb! His square is no more most-perfect, but is still 3x3 magic. Radko Nachev, born in 1950, Sofia, Bulgaria, is an assistant civil engineer working at the Department of Transportation of New York City, USA.

Im Dezember 2007 bewies Lee Morgenstern dass das magische Produkt jeden 6x6 pandiagonal multiplikativ magischen Quadrates immer Potenz von 6 ist. Bei den obigen 4 Quadraten sind die Produkte:

Sehen sie hier seinen Beweis der 6. Potenz (in Englisch).

Die zehn kleinstmöglichen Produkte für ein 6x6 multiplikatives magisches Quadrats sind:

Weitere Definitionen: siehe die 6x6 Tabelle vom Januar 2006 unter der Nummer A113026 in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.


Kleinstes multiplikatives magisches Quadrat der Ordnung 7

Wie sieht es mit 7x7 multiplikativen Quadraten aus? Es scheint als ob es ein unbekanntes Problem ist, denn ich habe nicht ein einziges veröffentlichtes 7x7 Beispiel gefunden.

Hier ist ein Beispiel, das das kleinste mögliche Produkt, und die kleinste mögliche maximale Zahl verwendet:

Wie beim 6x6 Quadrat, ist es möglich einige additive Eigenschaften in einem 7x7 multiplikativen magischen Quadrat zu finden. Aber diesmal mit dem gleichem kleinsten P, und der gleichen kleinsten maximalen Zahl!

Ich weiß nicht ob es möglich ist ein komplettes 6x6 oder 7x7 (Reihen+Spalten+Diagonale) additiv-multiplikatives magisches Quadrat zu konstruieren, so wie es bei den 8x8 und 9x9 additiv-multiplikativen Quadraten möglich ist.

Aber ein 7x7 pandiagonales multiplikatives magisches Quadrat ist möglich, was bedeutet, dass alle gebrochenen Diagonalen ebenfalls multiplikativ magisch sind. Hier sind zwei Beispiele, die sicherlich das kleinste mögliche P (erstes Beispiel) und das kleinste mögliche max. Zahl (zweites Beispiel) eines 7x7 pandiagonalen Quadrats verwenden:

Die zehn kleinstmöglichen Produkte für ein 7x7 multiplikatives magisches Quadrats sind:

Weitere Definitionen: siehe die 7x7 Tabelle vom Januar 2006 unter der Nummer A113027 in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.


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