Höher multimagische Quadrate: heptamagisch, octamagisch, und so weiter
Im Jahr 2001, waren die am meisten multimagischen Quadrate die tetra- and pentamagischen Quadrate (= 4- und 5-multimagisch), die ich mit André Viricel konstruierte. 2003 konstruierte Pan Fengchu ein hexamagisches Quadrat (= 6-multimagisch) der Ordnung 4096 = 212. Von 2004 bis 2006 wurden die multimagischen Rekorde mehrmals gebrochen:
Hier eine Zusammenfassung der neuen Ergebnisse, die unabhängig voneinander gefunden wurden:
n-multimagisch |
Quadrat |
PT |
PF |
DEvdE |
JW |
7 |
heptamagisch |
216 |
216 |
137 |
/ |
8 |
octamagisch |
221 |
221 |
178 |
/ |
9 |
nonamagisch |
223 |
223 |
179 |
/ |
10 |
decamagisch |
228 |
228 |
1910 |
229 |
11 |
hendecamagisch |
231 |
229 |
2311 |
nein |
12 |
dodecamagisch |
237 |
236 |
2312 |
nein |
13 |
tridecamagisch |
möglich? |
238 |
2913 |
nein |
14 |
tetradecamagisch |
möglich? |
244 |
2914 |
nein |
15 und + |
pentadecamagisch |
möglich? |
möglich? |
ja |
nein |
2001 schrieb ich in meinem Artikel in Pour La Science auf Seite 101 (PDF-Datei kann von der Bibliographie-Seite heruntergeladen werden): Die beschriebene Methode von "Viricel und Boyer", welche für die ersten tetra- und pentamagischen Quadrate verwendet wurde, sollte auch die Konstruktion von hexamagischen, heptamagischen, octamagischen, ... ermöglichen, also bis zu jedem multimagischnen Grad, verbunden allerdings mit der Notwendigkeit einer ausreichenden Größe (= Ordnung) des Quadrats... und mit einem guten Computerprogramm zum Überprüfen der Quadrate... Ohne es beweisen zu können, bin ich sicher, dass die gute alte Methode von "Tarry und Cazalas" in der Lage ist für beliebiges n ein n-multimagisches Quadrat zu erstellen.
Pierre Tougne verwendete die beiden französischen Verfahren. Er konstruierte seine hepta- und octamagischen Quadrate mit der Methode von Viricel und Boyer, unter Verwendung folgender Schlüsselzahlen:
Pan Fengchu, China, konstruierte mehrere höher multimagische Quadrate. Ich habe keines der riesigen Quadrate von PF oder PT persönlich überprüft.
2005 schrieben Harm Derksen (Universität von Michigan, USA), Christian Eggermont und Arno van den Essen (Universität von Nimwegen, Niederlande) den ersten Entwurf eines sehr interessanten Artikels, der hier verfügbar ist: http://arxiv.org/abs/math.CO/0504083. Sie geben einen mathematischen Beweis dafür an, dass sich für jedes n ein n-multimagisches Quadrat konstruieren lässt. Damit wurde ein sehr wichtiges Theorem bewiesen, dessen Gültigkeit schon lange vermutet wurde, ursprünglich von Gaston Tarry im Jahr 1906.
Aber die Methode von DEvdE benötigt sehr große Ordnungen. Wenn wir zum Beispiel die heptamagischen Quadrate vergleichen: ihre Ordnung 13^7 = 62.748.517 ist ungefähr tausendmal größer als die Ordnung 2^16 = 65.536 von Pierre Tougne and Pan Fengchu. Ich habe ihre Quadrate nicht überprüft: ihre Richtigkeit ergibt sich anhand der zugrunde liegenden Theorie. Aber ich bat Christian Eggermont, mir ein trimagisches Quadrat mit der kleinsten Ordnung = 5^3 = 125 zu schicken, welche ihre Konstruktion ermöglicht. Das trimagische Quadrat, das ich erhielt, erfüllte alle Bedingungen. Interessanter Weise stellte ich fest, dass man genau dieses Quadrat auch mit der Methode von Tarry und Cazalas erstellen kann.
Eine Ergänzung:
Ihr Artikel "Multimagic squares" wurde im Oktober 2007 in The
American Mathematical Monthly
veröffentlicht.
Ich bin dankbar dafür, dass sie meine Arbeit mehrmals erwähnt
haben, aber ich bedaure, dass sie bei ihren multimagischen Beispielen (das
obige trimagische Quadrat und auch ihre bimagischen Quadrate) nicht erwähnen,
dass diese mit einer alten Methode konstruiert werden können, die vor einem
Jahrhundert von Gaston Tarry in Compte-Rendus de l’Académie des Sciences
veröffentlicht wurde und später noch ausführlicher in Cazalas’ Buch. Der
Leser hat den Eindruck, ihre Konstruktionsmethode sei vollkommnen neu, aber
das stimmt nicht! Hier sind Tarry-Cazalas Schlüsselzahlen für die veröffentlichten
Beispiele:
Die Authoren wurden einige Monate vor der Veröffentlichung informiert, aber leider wollten sie keine Bemerkung über die Tarry-Cazalas-Methode hinzufügen. Seltsam.
DEvdE proved that a n-multimagic square of order pn exists for any prime p ≥ 2n − 1 with n ≥ 3. This result is improved with n=2 (bimagic squares) by Yong Zhang, Kejun Chen (Yancheng Teachers University, Jiangsu, China), and Jianguo Lei (Hebei Normal University, Hebei, China). In their paper "Large sets of orthogonal arrays and multimagic squares" published in the Journal of Combinatorial Designs, Vol.21, Issue 9, September 2013, pages 390-403 (but first published online in December 2012), they proved with their theorem 1.2:
a n-multimagic square of order pn exists for any prime p ≥ 2n − 1 with n ≥ 2 |
Jaroslaw Wroblewski (Wroclaw Universität, Polen) arbeitete auch auf dem Gebiet der höher multimagischen Quadrate. Mit der Software Mathematica konstruierte er ein 10-multimagisches Quadrat (= decamagisches Quadrat) der Ordnung 2^29 und damit größer als die von Pierre Tougne oder Pan Fengchu verwendete Ordnung 2^28, aber mit einer zusätzlichen Eigenschaft: die 2^29 Spalten sind 11-multimagisch.
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