Multimagische Reihen für Quadrate
Siehe auch
Multimagische Reihen für Würfel
Wie man beim kleinsten bimagischen und beim kleinsten trimagischen Quadrat sehen kann, ist es für die Konstruktion eines p-multimagischen Quadrates der Ordnung n interessant, alle p-multimagischen Reihen der Ordnung n zu finden. Das sind alle Reihen aus n verschiedenen natürlichen Zahlen von 1 bis n², welche die korrekten magischen, bimagischen, ... p-multimagischen Summen haben.
Die Ordnung 4 ist die kleinste, bei der bimagische Reihen auftreten. Hier sind die 2 bimagischen Reihen, die überraschender Weise auch trimagisch sind:
Das bedeutet:
Bei der Ordnung 5 gibt es 8 bimagische Reihen, die auf der Seite Kleinstes bimagisches Quadrat aufgelistet sind.
Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der multimagischen Reihen. Für manche Ordnungen können alle Reihen als Excel-Datei heruntergeladen werden (28KB bis 800KB). Für die Ordnung 12 wurde die Anzahl der trimagischen, tetramagischen und pentamagischen Reihen von Walter Trump aus Deutschland mitgeteilt. Die Zahlen von Walter Trump wurden 2004 von Fredrik Jansson aus Finnland bestätigt. Und Fredrik ging noch weiter: er berechnete erstmals die riesige Anzahl der bimagischen Reihen der Ordnung 12 und die Anzahl der multimagischen Reihen der Ordnung 13.
Auf dem Gebiet der bimagischen Serien gab es zwischen Juli und Oktober 2005 aus Deutschland Fortschritte zu vermelden:
Im April 2008 bereechnete Michael Quist, USA die Anzahl von tetramagischen und pentamagischen Reihen der Ordnung 16. Im Mai 2008 berechnete er die Anzahl von trimagischen Reihen der Ordnung 15 (und er bestätigte ebenfalls die Anzahl der trimagischen Reihen der Ordnung 13 die zuvor von Fredrik Jansson berechnet wurden). Im August 2008 berechnete er die bimagischen Reihen der Ordnung 18, 19 und 20 (und bestätigte die Richtigkeit aller zuvor berechneten Reihen niedriger Ordnung). Im Mai 2013, berechnete er die bimagischen Reihen der Ordnung 21, 22, 23, numbers independently computed and confirmed few days later by Lee Morgenstern, USA. Then in May and June 2013, directly using the software written by Lee Morgenstern (see his counting method), Walter Trump computed the number of bimagischen Reihen der Ordnung 24, 25, 26, 27 und 28.
(a) Trimagische
Reihen der Ordnungen 4k+2 existieren nicht, da S3 nicht gerade sein kann, wenn
S1 und S2 ungerade sind.
(b) Tetramagische Reihen der Ordnung 15 existieren nicht: siehe untenstehenden Beweis von Robert Gerbicz, Ungarn, vom 2006.
(c) Tetramagische Reihen der Ordnung 15 und
17 existieren nicht: siehe untenstehenden Beweis von
Lee Morgenstern, USA, vom 2013.
(d) These tetramagic and pentamagic
series are difficult to find, but are possible: siehe untenstehenden examples von Lee Morgenstern, vom 2013
(e) Pentamagische Reihen der Ordnung 19 und
23 existieren nicht: siehe untenstehenden Beweis von Lee
Morgenstern, vom 2013.
(f) Hexamagische Reihen der Ordnung 17 und 19 sind unmöglich: sehen untenstehenden Beweis
von Jaroslaw Wroblewski, Polen, vom 2008.
(g)
Hexamagic series of orders from 12 to 39 (excepted the unknown order
27) are impossible: see below the proofs von Lee Morgenstern, vom
2013.
(h) Näherungen bimagischer
und trimagischer Reihen, siehe untenstehenden the formulas von Michael Quist,
2013.
(i) Pentamagic series of order 27 are possible: see below the
examples by Christian Boyer and Lee Morgenstern, in
2013.
(j) Pentamagic series of order 31 are impossible: see below the
proof by Jean Moreau de Saint-Martin, in
2013.
Der Ordnung 12 treten zum ersten Mal tetra- und pentamagische Reihen auf. In den 106 tetramagischen Reihen sind 4 pentamagische Reihen enthalten. Diese 4 Reihen sind symmetrisch, das bedeutet: i-te Zahl + (13-i)-te Zahl = 12² + 1 = 145.
Was ist die kleinste Ordnung in der hexamagische Reihen möglich sind? The smallest current candidates are orders 27 and 40.
Auf unsere bimagischen, trimagischen, tetramagischen und pentamagischen Reihen wird verwiesen unter den Nummern A052457, A052458, A090037 und A106646 in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.
Beachten Sie außerdem den Abschnitt "Multimagic Series" in Eric Weisstein's World of Mathematics, Wolfram Research.
Im April und Mai 2005 bestimmte Walter Trump Näherungswerte für die Anzahl von verschiedenen magischen Serien, einschließlich der bimagischen Serien der Ordnungen 13 bis 20, unter Verwendung von Monte-Carlo-Methoden. Einzelheiten unter: www.trump.de/magic-squares/magic-series/index.html. Die später berechnete tatsächliche Anzahl einiger bimagischen Reihen (siehe oben) zeigte, dass die Näherungen sehr gut waren!
Ordnung |
Näherung |
wahre Anzahl |
rel. Fehler |
13 |
2,16 · 1012 |
2 151 748 695 931 |
0,38% |
14 |
1,24 · 1014 |
123 821 075 526 032 |
0,14% |
15 |
8,15 · 1015 |
8 131 094 055 190 149 |
0,23% |
16 |
5,74 · 1017 |
573 957 471 153 552 576 |
0,01% |
17 |
4,41 · 1019 |
44 010 987 379 157 415 768 |
0,20% |
18 |
3,65 · 1021 |
3 655 486 139 293 429 450 720 |
0,15% |
19 |
3,33 · 1023 |
333 633 403 912 637 510 806 972 |
0,19% |
20 |
3,29 · 1025 |
32 862 657 239 386 515 532 593 520 |
0,11% |
In June 2013, Michael Quist wrote a paper estimating the numbers of magic and multimagic series, including bimagic series for squares of order N. See http://arxiv.org/abs/1306.0616. Here is his formula, and the obtained numeric values for 20 ≤ N ≤ 30. The error decreases with higher orders: error less than 0.1% for orders > 22.
Ordnung | Näherung | wahre Anzahl | rel. Fehler |
20 | 3.27798 · 1025 | 32862657239386515532593520 | -0.2527% |
21 | 3.43856 · 1027 |
3431453899306300581868236386 | +0.2066% |
22 | 3.84843 · 1029 |
384125946998166710305616659402 | +0.1863% |
23 | 4.57849 · 1031 |
45801639842337348432002857205878 | -0.0365% |
24 | 5.77105 · 1033 |
5773407884408951768360741341457291 | -0,0409% |
25 | 7.68395 · 1035 |
768467875608077797720790265285636797 | -0.0094% |
26 | 1.07780 · 1038 |
107710220763567919574782844625088827344 |
+0.0650% |
27 | 1.58874 · 1040 |
15880475347526962316266889239839811859979 |
+0.0435% |
28 | 2.45557 · 1042 |
2455456581123976779162274548131606029110869 |
+0.0045% |
29 | 3.97141 · 1044 |
? |
? |
30 | 6.70832 · 1046 |
? |
? |
Not in his paper, but Michael Quist has calculated in May 2013 this other formula:
Estimated numbers of trimagic series
The numbers estimated by this formula, for N > 15, are in the trimagic column of the first table of this page.
Im Januar 2006 bewies Robert Gerbicz aus Ungarn, dass es keine tetramagischen Reihen der Ordnung 15 gibt. Hier ist der Beweis:
Die magischen Summen sind:
S4==15 mod 16. Da (2*x+1)^4==1 mod 16 und (2*x)^4==0 mod 16 gilt, müssen alle 15 Zahlen ungerade sein.
Sei a(k)=2*b(k)+1 (wobei alle b(k) ganze Zahlen sind) und T1=sum(b(k), k=1..15), T2=sum(b(k)^2, k=1..15), und so weiter ...
Auf Grund der Binomialsätze gilt:
Dieses lineare Gleichungssystem kann leicht gelöst werden:
Daraus ergibt sich ein Widerspruch: Da x==x^4 mod 2 gilt, sollte auch T1==T4 mod 2 gelten. Aber T1 ist gerade und T4 ist ungerade!
Also gibt es keine tetramagischen (und pentamagischen, hexamagischen, ...) Reihen der Ordnung 15.
Im Juli 2008 bewies Jaroslaw Wroblewski aus Polen, dass es keine hexamagischen Reihen der Ordnung 17 gibt. Hier ist der Beweis:
Von S4=1(mod 17) schließen wir, dass die Reihen 17 ungerade Zahlen oder eine ungerade und 16 gerade Zahlen haben muss.***** Im Fall von 17 ungeraden Zahlen, jede in der Form 4k+1 (wobei k auch negative sein kann)(*), bezeichnet Ki die Summe der i-ten Potenzen von k's, bekommen wir
woraus sich
daraus ergibt sich ein Widerspruch für die Parität von K1. Daher gibt es in diesem Fall keine tetramagischen Reihen.
***** Im Fall von einer ungeraden Zahl der Form 4k+1 (wobei k auch negative sein kann) und 16 geraden Zahlen der Form 2p, bezeichnet Pi die Summe der i-ten Potenzen von p's, erhält man aus den Gleichungen S2 and S4:
Da P2 und P4 die gleiche Parität haben, muss k gerade sein, sagen wir k = 2m. Damit ergibt sich aus Gleichung S6:
Was uns erlaubt zu schreiben: m = 4r. Aus den Gleichungen S2 und S6 folgt:
Weil P2 = P6 (mod 4), können wir r=4q benutzen. An diesem Punkt ist der ungerade Term der magischen Reihe gleich 128q+1, q = -2,-1,0,1,2.
Von der Gleichung S4, in der Form
schlussfolgern wir, dass P4 durch 32 teilbar ist und wegen P4 = P6 (mod 8) ist P6 durch 8 teilbar.
Die Gleichung S6 ergibt:
Das zwingt q ungerade zu sein, das heißt q muss plus oder minus 1 sein.
Im Fall von q=1 bekommen wir:
Im Fall q=-1 bekommen wir:
In jedem Fall ist P4 durch 16 teilbar, was bedeutet das alle p's ungerade sind oder alle sind gerade. Jedoch P6 ist durch 64 teilbar, weshalb die Möglichkeit nur gerade p's nicht besteht. Sei p=4x+1 (x kann eine ganze Zahl mit beliebigen Vorzeichen sein).
Von den Gleichungen S2 und S4 bekommen wir für q=1:
und für q=-1:
In beiden Fällen gibt es bei mod 4 ein Widerspruch.
Und noch im Juli 2008 bewies Jaroslaw Wroblewski, dass es keine hexamagischen Reihen der Ordnung 19 gibt. Hier ist der Beweis:
S4(mod 16)=7, was bedeutet, dass jede Reihe aus 7 ungeraden Zahlen der Form 4k+1 und 12 geraden Zahlen der Form 2p besteht. Dann lauten die Gleichungen für S2, S4, S6 wie folgt:
Die letzte Gleichung erfordert ein gerades K1 und dann erhalten P2 and P4 sich widersprechende Paritäten, was beweist: Es gibt keine hexamagischen Reihen der Ordnung 19.
(*) About odd terms of the form 4k+1 "wobei k auch negative sein kann". Yes, each odd integer, or its opposite, is of the form 4k+1:
and so on, with k = 0, -1, 1, -2, 2, -3,... Nice trick!
From March to August 2013, Lee Morgenstern proved that there is no tetramagic series of orders 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 15 and 17. Proved that there is no pentamagic series of orders 19, 23 and 25. And proved that there is no hexamagic series of orders 12, 13, 16, 19, 20, 21, 23, 24, 25, 28, 29, 31, 32, 33, 35, 36, 37 and 39.
The existences of hexamagic series of orders 27 and 40 (and numerous >40) are unknown.
In July and August 2013, he proved that some multimagic series exist, finding examples:
In October 2013, Christian Boyer found this symmetrical family:
and from Lee Morgenstern:
In September-October 2013, Jean Moreau de Saint-Martin, France, studied and checked in detail Morgenstern's mathematical proofs on multimagic series (from the above zipped text files), and found no error.
And he went further, simplifying and generalizing Morgenstern's proofs. Also using some of my remarks and computations, we now have new impossibility proofs:
Here is this study on multimagic series:
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