Kleinste magische Quadrate aus Dreieckszahlen (und aus Vieleckszahlen)
Die ersten PolygonalZahlen
(Vieleckszahlen
werden in der Literatur
auch als Polygonalzahlen bezeichnet.)
1941 stellte Royal Vale Heath dieses einfache Problem E 496 in The American Mathematical Monthly vor:
Was ist der kleinste Wert von n bei dem die n² Dreieckszahlen 0, 1, 3, 6, 10, …, n²(n² - 1)/2 als magisches Quadrat angeordnet sind?
Mit dem einzigen Beweis von n £ 8, blieb dieses Problem ungelöst. "Besser spät als niemals", hier ist die im April 2007 gefundene Lösung, 66 Jahre später:
n = 6.
Meine Lösung wurde in der Oktober Ausgabe 2007 des The American Mathematical
Monthly, einschließlich des Beispiels veröffentlicht:
0 |
406 |
120 |
528 |
105 |
136 |
1 |
300 |
435 |
378 |
171 |
10 |
66 |
276 |
496 |
15 |
91 |
351 |
595 |
78 |
153 |
28 |
210 |
231 |
3 |
190 |
55 |
21 |
465 |
561 |
630 |
45 |
36 |
325 |
253 |
6 |
Lesen Sie in diesem Zusammenhang auch den Mathematical Tourist Beitrag vom November 2007, geschrieben von Ivars Peterson:
Meine Lösung wurde auch in der Januar 2008 Ausgabe von Pour La Science
(Seite 31) und Sciences et Avenir (Seite 20) veröffentlicht.
p |
Magische Quadrate |
mit aufeinander folgenden |
mit paarweise verschiedenen |
|
Kleinste mögliche Ordnung n |
Kleinste mögliche Ordnung n |
Kleinste bekannte Ordnung n |
||
3 |
aus Dreieckszahlen |
6 (**) |
Unbekannt! (vielleicht 3?) |
4 (**) |
4 |
aus Viereckszahlen |
7 (*) |
Unbekannt! (vielleicht 3?) |
4 (*, von L. Euler, 1770) |
5 |
aus Fünfeckszahlen |
7 (**) |
Unbekannt! (vielleicht 3?) |
4 (**, von L. Morgenstern, 2007) |
6 |
of hexagonal numbers |
7 (***) |
Unbekannt! (vielleicht 3?) |
4 (***, von L. Morgenstern, 2013) |
7 |
of heptagonal numbers |
Unbekannt! (vielleicht 3?) |
||
8 |
of octagonal numbers |
Unbekannt! |
||
9 |
of nonnagonal numbers |
|||
10 |
of decagonal numbers |
(*) Beispiele dieser Quadrate finden sie hier
(**)
Beispiele dieser Quadrate finden sie in meiner erweiterten Lösung weiter
unten
(***) Beispiele dieser Quadrate finden sie below
Einen ausführlicheren Text als in der veröffentlichten Version im Monthly finden sie in zwei Formaten:
In dieser erweiterten Lösung, sehen sie:
Kleinste magische Quadrate aus hexagonal to decagonal numbers
Charles W. Trigg published in School
Science and Mathematics and in the Journal of Recreational Mathematics
his magic squares of order 8 of hexagonal to decagonal numbers, see references.
But
it is possible to construct smaller magic squares. In the extended
solution seen above, my magic squares of ordre 7 of hexagonal to decagonal
numbers were announced but not given, because "it might be boring to give
all my samples". After questions from some readers of this
website, here are revealed my squares of order 7, the smallest possible order
for squares of consecutive hexagonal to decagonal numbers.
4560 |
703 |
3321 |
0 |
120 |
561 |
1431 |
2850 |
28 |
630 |
1 |
3160 |
2701 |
1326 |
231 |
15 |
2016 |
4371 |
1540 |
378 |
2145 |
91 |
45 |
3003 |
276 |
861 |
4005 |
2415 |
2278 |
3828 |
66 |
2556 |
1035 |
153 |
780 |
190 |
4186 |
435 |
3486 |
325 |
1128 |
946 |
496 |
1891 |
1225 |
6 |
3655 |
1770 |
1653 |
0 |
235 |
4995 |
5452 |
1782 |
81 |
783 |
4141 |
3186 |
286 |
148 |
469 |
4558 |
540 |
3940 |
34 |
403 |
189 |
2356 |
4347 |
2059 |
5221 |
55 |
874 |
2673 |
2512 |
342 |
1651 |
1 |
4774 |
112 |
616 |
3744 |
1071 |
3010 |
18 |
2839 |
970 |
3553 |
1177 |
1404 |
3367 |
7 |
2205 |
5688 |
697 |
1288 |
1525 |
1918 |
0 |
40 |
1160 |
4961 |
4485 |
1281 |
4033 |
1 |
6816 |
96 |
3201 |
4720 |
645 |
481 |
8 |
225 |
4256 |
833 |
1825 |
3605 |
5208 |
341 |
5985 |
5720 |
560 |
1541 |
1680 |
133 |
6533 |
21 |
176 |
2296 |
1408 |
5461 |
65 |
2821 |
2465 |
3816 |
2133 |
1045 |
280 |
3400 |
6256 |
408 |
736 |
1976 |
936 |
3008 |
2640 |
7291 |
2871 |
261 |
0 |
1956 |
3729 |
2484 |
325 |
4699 |
111 |
396 |
2125 |
3961 |
6975 |
1350 |
6364 |
856 |
4446 |
3286 |
651 |
1639 |
46 |
1216 |
6666 |
1 |
5500 |
204 |
4959 |
154 |
1794 |
3075 |
5781 |
750 |
6069 |
969 |
4200 |
559 |
9 |
7944 |
2301 |
3504 |
75 |
5226 |
1089 |
7614 |
24 |
2674 |
474 |
1491 |
976 |
0 |
6280 |
9072 |
1387 |
232 |
3277 |
7965 |
27 |
3510 |
855 |
2835 |
370 |
5662 |
637 |
1105 |
4000 |
5076 |
8326 |
540 |
1540 |
85 |
8695 |
10 |
3751 |
52 |
6930 |
1701 |
7267 |
4795 |
4257 |
2047 |
2232 |
175 |
451 |
3052 |
1 |
2425 |
297 |
1870 |
7612 |
5967 |
1242 |
6601 |
742 |
126 |
4522 |
5365 |
2626 |
In January 2013, Lee Morgenstern has constructed these magic squares of order 4, the smallest known order for squares of distinct hexagonal and heptagonal numbers. Squares of order 4 of octogonal to decagonals numbers are unknown.
984906 |
246051 |
3044278 |
72010 |
1540 |
3194128 |
141246 |
1010331 |
115921 |
889111 |
122760 |
3219453 |
3244878 |
17955 |
1038961 |
45451 |
57233385 |
4294836 |
5312223 |
28962934 |
21707602 |
37727235 |
7592508 |
28776033 |
7359066 |
49744611 |
739024 |
37960677 |
9503325 |
4036696 |
82159623 |
103734 |
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