Multimagische Formeln
Woher wissen wir eigentlich im Voraus, wie die Zeilen-, Spalten- und Diagonalensummen bei multimagischen Quadraten lauten?
Beginnen wir mit dem einfachen magischen Quadrat. Es ist eine bekannte Tatsache und leicht nachzuweisen (…man weiß sogar, dass Gauss dieses schon als 8-jähriger Junge auf der Schule tat…), dass für die Summe der ersten N natürlichen Zahlen von 1 bis N gilt:
N(N+1)/2
Ein magisches Quadrat der Ordnung n enthält nun alle Zahlen von 1 bis n². Damit muss für die Summe dieser Zahlen von 1 bis n² gelten:
n²(n²+1)/2
Da das Quadrat n Zeilen besitzt, brauchen wir nur diese Summe durch n dividieren, um die magische Summe zu erhalten. Also:
Für ein bimagisches Quadrat lautet die Summe der ersten N natürlichen Quadratzahlen von 1 bis N:
N(N+1)(2N+1)/6
Da wir jetzt bis n² summieren, ersetzen wir wieder N durch n². Danach dividieren wir durch n, um die bimagische Summe S2 jeder Zeile, jeder Spalte und der beiden Diagonalen zu erhalten. Also:
Für ein trimagisches Quadrat bilden wir entsprechend die Summen der dritten Potenzen:
Für ein tetramagisches Quadrat benötigen wir die Summe der zur vierten Potenz genommenen natürlichen Zahlen. Die Lösung dieses Problems gab Fermat bereits 1636 in einem Brief an Roberval. Wir brauchen in dieser Formel jetzt wieder nur N durch n² ersetzen und anschließend durch n dividieren:
S4 = ((4n² + 2)*n*S1² - S2) / 5
Wenn wir noch (4n² +2) * S1 durch 6S2 ersetzen, können wir die Formel noch etwas einfacher als Fermat schreiben:
Für ein pentamagisches Quadrat bilden wir entsprechend die Summen der fünften Potenzen:
Für die Herleitung dieser Formel für Sp gibt es eine allgemeine Formel, die es uns auf einfache Art und Weise gestattet, für die Zukunft noch weitere Formeln herzuleiten:
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Wenn wir Sp für ein p-multimagisches Quadrat der n-ten Ordnung berechnen wollen, und dabei nicht die Zahlen von 1 bis n², sondern stattdessen die Zahlen von 0 bis n²-1 benutzen wollen, genügt es in der zweiten Spalte statt des rot dargestellten Plus-Zeichens ein Minus-Zeichen zu setzen. Sie werden bemerken, dass die erste Spalte von Sp immer gleich (1/(p+1)) n^(2p+1) ist. Diese Tatsache ist dank Pascal, der darüber eine Abhandlung schrieb, seit dem 17. Jahrhundert bekannt. Später beschäftigte sich Jacques Bernoulli mit den Summen von potenzierten natürlichen Zahlen. Nach dessen Tod zu Beginn des 18. Jahrhundert wurde sein Buch Ars conjectandi veröffentlicht. Seitdem spricht man bei den in dieser Tabelle benutzten Zahlen auch von den Bernoulli Zahlen (1/6, -1/30, 1/42, -1/30, 5/66, …).
In der Tabelle folgen einige Werte für p-multimagische Quadrate der Ordnung n, die die Zahlen von 1 bis n² enthalten. Darin sind auch die magischen und bimagischen Summen von Pfeffermanns bimagischem Quadrat 8. Ordnung, Pfeffermanns bimagischem Quadrat 9. Ordnung und Bensons trimagischem Quadrat der Ordnung 32 enthalten.
Sp |
3. Ordnung |
4. Ordnung |
5. Ordnung |
6. Ordnung |
7. Ordnung |
8. Ordnung |
9. Ordnung |
... |
32. Ordnung |
S1 |
15 |
34 |
65 |
111 |
175 |
260 |
369 |
... |
16400 |
S2 |
95 |
374 |
1105 |
2701 |
5775 |
11180 |
20049 |
... |
11201200 |
S3 |
675 |
4624 |
21125 |
73926 |
214375 |
540800 |
1225449 |
... |
8606720000 |
Abschließend folgen einige Werte für p-multimagische Quadrate der Ordnung n, die die Zahlen von 0 bis n²-1 enthalten. Darunter befinden sich auch die Werte für unsere Rekordquadrate, dem tetramagischen Quadrat der Ordnung 512 und dem pentamagischen Quadrat der Ordnung 1024.
Sp |
32. Ordnung |
512. Ordnung |
1024. Ordnung |
S1 |
16368 |
67108608 |
536870400 |
S2 |
11168432 |
11728056920832 |
375299432076800 |
S3 |
8573165568 |
2305825417061203968 |
295147342229667840000 |
S4 |
7019705733392 |
483565716171561366524160 |
247587417561640996243120640 |
S5 |
5987221633671168 |
105636341097042573844228866048 |
216345083469423421673932062720000 |
Bibliografie
Weitere Infomationen über die Summen von Potenzen finden sie im ausgezeichneten Kapitel 14 Sommation des puissances numériques, in Buch II der Théorie des Nombres von Edouard Lucas, Librairie Blanchard, Paris.
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