Neueste Ergebnisse auf dem Gebiet der "magischen 3x3-Quadrate aus Quadratzahlen"

Diese Seite zeigt die interessantesten Studien der Offenen Probleme 1 und 2 die nach der Veröffentlichung meines Artikels "Some notes on the magic squares of squares problem" im 2005 durchgeführt wurden. Die zwei korrespondierenden Preise können noch immer gewonnen werden!

Wenn sie die Probleme studieren wollen, empfehle ich ihnen UNBEDINGT folgendes zuerst zu tun:

Senden Sie mir ihre neuesten Ergebnisse, sie werden veröffentlicht wenn sie interessant sind.

Erhalten am 6. März 2006
Ajai Choudhry, Indien, konstruierte einige 3x3 Quadrate mit 7 korrekten Summen, ihre magisch Summen sind keine Quadrate. Zum Beispiel:

Interessant weil die meisten der 3x3 Quadrate mit 7 korrekten Summen aus der Lucas familie kommen, in der die magische Summe ein Quadrat ist. Das erste Beispiel mit nichtquadratischen magischen Summe wurde von Michael Schweitzer (Fig MS4 of the M.I. article) konstruiert. Es wäre sehr interessant eine Lösung mit Parameter für nichtquadratische magische Summen zu finden, die eine unendliche Anzahl von 3x3 Quadraten generiert. Mit so einer neuen parametrisierten Lösung, sollte es mathematisch leicht sein zu überprüfen, ob diese Familie Lösungen mit 8 magischen Summen finden kann oder nicht finden kann. Leider ist überprüft worden, dass die Lucas Familie keine 8 magischen Summen generieren kann.

Erhalten am 10. Oktober 2006
Mitteilung von Randall Rathbun, USA, zum Offenen Problem 2:

Mehrere Jahre vor dem Problem 2, hatte Randall bereits an Gardner's challenge (= unser Offenes Problem 1) gearbeitet. Das war 1999, sehen sie dazu:

Erhalten am 5. 13. 23. November 2006
Jean-Claude Rosa aus Frankreich konstruierte dieses 3x3 semi-magische Quadrat (mit 6 korrekten Summen) bei Verwendung von ausschließlich ungeraden Zahlen. Interessant weil die meisten 3x3 semi-magischen Quadrate gerade und ungerade Zahlen verwenden. Seltsam: in diesem kleinsten möglichen Beispiel sind alle Zahlen Quadrate von Primzahlen.

Bei Anwendung des Satzes von Pythagoras konstruierte er aus diesen 3 einfachen Dreiecken mit der gleichen Fläche:

nachfolgendes 3x3 Quadrat (mit 7 korrekten Summen) das nur aus ungeraden Zahlen besteht. 6 dieser 9 Zahlen sind Quadrate von Primzahlen.

Bei Anwendung des Satzes von Pythagoras konstruierte er mit anderen Dreiecken mit der gleichen Fläche ein weiteres 3x3 Quadrat (mit 7 korrekten Summen) das nur aus ungeraden Zahlen besteht. Die magische Summe ist kleiner als beim vorherigen Quadrat.

Erhalten am 30. November 2006
Theorem von Lee Morgenstern, USA: "In einem 3x3 magischen Quadrat bestehend aus Quadraten, kann das kleinste Quadrat nicht 1 sein."

Erhalten am 10. Dezember 2006
Nur einige Tage nach Lee Morgenstern, überprüfte Jean-Claude Rosa unabhängig, das ein 3x3 magisches Quadrat nicht mit 1 und acht Quadraten aus ungeraden Zahlen konstruiert werden kann.

Erhalten am 19. Dezember 2006
Von Lee Morgenstern, USA, viel weitgehender als sein vorhergehender Beweis, der die 1 ausschloss: "Wenn es ein 3x3 magisches Quadrat aus unterschiedlichen Quadraten gibt, dann müssen alle Zahlen größer als 10^14 sein."

Erhalten am 23.Dezember 2006
Lucien Pech, als er "Mathématiques Spéciales" Student im Schuljahr 2005-2006 war, wählte er als Studienarbeit "3x3 magische Quadrate aus Quadraten" für sein TIPE: Travaux d'Initiative Personnelle Encadrés = beaufsichtigte persönliche Suche. Er suchte ein magisches hourglass, solch ein Ergebnis würde das Offene Problem 2 lösen, weil es 7 Quadrate verwendet. Er benutze die Duncan Buell's Methode (sehen sie Referenz [12], oben auf dieser Seite), aber er fand keine Lösung zu diesem sehr schwerem Problem. Sein bestes Ergebnis ist ein exzellentes Modulo 2^52 Beispiel, besser als Duncan Buell's Modulo 2^46 Beispiel.

Lucien Pech, nunmehr ein Student an der ENS Paris (Ecole Normale Supérieure, rue d'Ulm), schickt diese überarbeitete Version seines TIPE:

Erhalten am 21. Juli 2007. Verbesserte Ergebnisse erhalten am 18. Oktober 2007.
Nachdem Landon Rabern, USA, seinen Artikel im Jahr 2003 [49] über das Problem der magischen Zahlen aus Quadratzahlen veröffentlicht hatte, suchte er ein 3x3-Quadrat mit mindestens 7 Quadratzahlen. Er verwendete ein ähnliches Verfahren wie ich bei meiner Suche von 2004 [8], er fand kein anderes Beispiel als das die einzige bekannte Lösung.

Sie können ein Windows-Programm herunterladen und für die Such in einem anderen Bereich von Werten verwenden, auch wenn keine Anleitung verfügbar ist (leider): http://landon314.brinkster.net/MagicSearcher.zip. Diese Anwendung benötigt Microsoft .NET Framework. Der Quellcode wird bereitgestellt.

Erhalten am 8. und 12. April 2008.
Von Lee Morgenstern, USA die Formel, die alle 3x3 semi-magischen Quadrate von Quadraten aus Quadraten (besser als die Lucas formula die einige, aber nicht alle, 3x3 semi-magischen Quadrate aus Quadraten erzeugt), und eine Liste von 3x3 semi-magischen Quadraten mit 7 korrekten Summen unter Verwendung ungerader Zahlen (enthält auch die weiter oben erwähnten beiden ersten kleinsten Quadrate von J.-C. Rosa aus 2006 ):

Erhalten am 6. Februar 2009.
Von Lee Morgenstern, USA: "Wir wissen, dass die magische Summe eines echten 3x3 magischen Quadrates dreimal die Zentrumszahl sein muss. Gibt es irgendwelche 3x3 semi-magischen Quadrate aus Quadraten mit einer magischen Summe die das Dreifache irgendeines Quadrates ist? Bei der Durchsicht der veröffentlichten Ergebnisse, wie die Lucas Formel, sind alle magischen Summen Quadrate. Die neuen nicht quadratischen magischen Summen, die du im letzten Update veröffentlicht hast waren nicht das Dreifache eines Quadrates. Ich suchte 3x3 semi-magische Quadrate aus Quadraten und fand 20 von ihnen mit einer magischen Summe die ein Dreifaches eines Quadrates sind (ich suchte bis zu einer magischen Summe von 3 x 5000²). Eines von den Quadraten, das kleinste, hatte eine magische Summe, die das Dreifache eines aktuellen Eintrags war. Da man Zeilen und Spalten neu anordnen kann um ein weiteres semi-magisches Quadrat zu erhalten, kann jede Zahl die Zentrumszahl werden. Hier ist mein 3x3 semi-magisches Quadrat aus Quadraten das eine magische Summe hat, die das Dreifache der Zentrumszahl ist (S = 3 x 1105²). Das ist die einzige bekannte Lösung."

In seinen anderen 19 Lösungen war die magische Summe nicht das Dreifache irgendeiner Zahl. Ihre Summen (< 3 x 5000²) waren 3 x 1225², 1275², 1533², 1955², 1989², 2125², 2265², 2335², 2345², 2675², 3395², 3485², 3515², 3575², 3655², 3765², 3885², 3995², 4193². Hier das Beispiel S = 3 x 1225²:

Erhalten 17. Mai bis 27. Juli 27 2009.
Frank Rubin arbeitete an 3x3 semi-magischen Quadraten aus Quadraten die 7 magische Summen haben, nur eine Diagonale ist nicht magisch. Mit Sd1 = magische Summe = Summe der magischen Diagonale, und Sd2 = Summe der nicht magischen Diagonale, suchte Frank Quadrate mit dem besten möglichen Quotienten Sd1/Sd2 ~ 1.

Unter Verwendung einer Methode von Lee Morgenstern um 3x3 beinahe-magische Quadrate aus Quadraten mit großen Zahlen zu finden, ist hier ein sehr beeindruckendes Quadrat das Frank Rubin errechnet hat:

Sd1 = 1890006405715707401173356334328966702876471825085875343146504267674569
Sd2 = 1890006405715707267778636165444057741201927206436686602706450141117123

Sd1/Sd2 = 1.0000000000000000705... Sehr nahe zu 1... Und Sd1/Sd2 = 1 wäre eine Lösung des 3x3 magischen Quadrat aus Quadraten Problems!

Anmerkung: Da die magische Summe ein Quadrat (S = Sd1 = 43474203911235768609981537098048163²) ist, dachte ich, dass das Rubin Quadrat einfach nur ein Mitglied der Lucas Familie ist.
Am 22. Januar 2010, erwähnte ich meine Bedenken gegenüber Randall Rathbun, und er bestätigte folgendes: (p, q, r, s) = (51498645679307420, 68881590670955891, 80839778471595961, 171878882029570731).
Unglücklicherweise ist es bekannt, dass diese Familie kein magisches Quadrat aus Quadraten der Ordnung 3 produzieren kann.

Erhalten 26. Januar 2010.
Hier ist Lee Morgensterns Methode, die von Frank Rubin im obigen Beispiel im Mai-Juli 2009 für ein 3x3 beinahe-magisches Quadrat aus Quadratzahlen benutzt wurde, wobei die Summen fast richtig sind. Diese Methode benutzt Hillyers Formel von Pythagorischen Dreiecken mit gleichen Flächen und Newtons Methode zum Finden der Wurzel eines Polynoms:

Erhalten 2.-3. März 2010.
Randall Rathbun machte einen Ernst zu nehmenden Versuch das Rätsel #1 zu lösen, Suche eines 3x3 magischen Quadrates das 7 Quadratzahlen hat, unterschiedlich vom einzigen bekannten Beispiel. Er generierte mehr als 116.000.000 magische Quadrate mit 6 Quadratzahlen, untersuchte dann ob die 7., 8. oder 9. Zahl eine Quadratzahl war. Aber leider keine neue Lösung!

Erhalten 8. April 2010.
Eine interessante Bemerkung von Lee Sallows zum Rätsel #1: Es ist möglich ein 3x3 magisches Quadrat mit 7 quadrierten Einträgen zu konstruieren, wenn wir folgendes erlauben... allow von SallowS ? ;-)… Gaußsche Zahlen. Hier ist ein schönes Beispiel, das Null als magische Summe hat, die zwei nicht quadrierten Zahlen sind 6 und -6:

Kann jemand ein 3x3 magisches Quadrat konstruieren, das 8 oder 9 unterschiedliche Gaußsche Zahlen hat?

Erhalten 15. Oktober 2010.
Hier ist Lee Morgensterns Methode um 3x3 magische Quadrate mit 7 unterschiedlichen quadratischen Einträgen zu erzeugen. Diese Methode erlaubt (vielleicht?) eine Lösung von Rätsel 1.

Erhalten 27. Mai 2011.
Ant King (www.mathstutoring.co.uk) konstruierte diese schöne Parameterdarstellung eines 3x3 semi-magischen Quadrats aus Quadraten und benutzte dafür eine einzige Variable, und nur eine Diagonale ist nicht magisch. Weil seine magische Summe eine quadratische Zahl ist [3(1+ 3k + 3k²)²]², kann dieses Parameterlösung unglücklicherweise kein magisches Quadrat aus Quadraten produzieren (benötigt wird eine magische Summe, die drei mal einer quadrierten Zahl, oder genauer dreimal so groß wie die Zahl im Zentrum ist).

Erhalten vom 15. November 2011 bis 27. Januar 2012
Lee Morgenstern sandte verschiedene interessante Bemerkungen und Lösungen (in Englisch):

Zum Beispiel im vorletzten Dokument erweitert er die obenstehende Anmerkung von Lee Sallows über Gaussche Zahlen.
Und im letzten Dokument konstruiert er ein magisches Quadrat aus Quadraten Modulo 2^90, daher besser als das vorhergehende magische Stundenglas aus Quadraten von Duncan Buell und Lucien Pech (mod 2^46 beziehungsweise mod 2^52).

Erhalten 2. März 2012, updated 6. Mai 2012, updated 6. Mai 2012, updated again 21. August 2012
Mike Winkler (www.mike-winkler.net), benutzte Morgensterns die obige Bemerkung von Feb.2009, suchte 3x3 semi-magisch Quadrate, die eine magische Summe des dreifachen eines Quadrats haben.

Seine Suche mit Delphi machte er mit magischen Summen < 3 x 320000², aber nicht gründlich genug. Er fand 7 von 20 Lösungen, die zuvor von Morgenstern < 3 x 5000² gefunden wurden, und ebenfalls diese neuen größeren Lösungen. Die Summen sind: 3 x 6115², 7395², 8905², 9345², 9565², 9995², 10195², 12725², 13175², 13765², 14825², 15225², 15525², 16185², 18085², 18115², 20085², 22425², 25075², 26571², 28135², 32625², 37635², 41905², 41925², 42415², 44353², 45025², 45435², 49045², 63495², 76075², 77435², 87135², 117725², 123335², 124845², 140675², 141865², 157675², 195925², 196775², 227035², 264265², 319685². Aber keine neue Lösung mit dem Dreifachen der Zahl im Zentrum.

Received January 21st, 2013
Lee Morgenstern reused his method sent in April 2008 concerning the list of 3x3 nearly-magic squares of squares having all odd entries and 7 correct sums. This is equivalent to three 3-square arithmetic progressions having equal step values. The idea was to look for instances that satisfy the requirements of a 3x3 fully-magic square of squares. The 2008 results were based on two searches:

  1. All odd-entry APs, primitive and scaled, up to a step value of d = 1.4 x 10^10.
  2. All primitive APs up to d = 10^19.

His new 2013 searches extended the above:

  1. up to d = 2.4 x 10^19.
  2. up to d = 6.4 x 10^22.

Received July 2nd and August 8th, 2013

Tim S. Roberts, Bundaberg, east coast of Australia, author of http://unsolvedproblems.org, reminds us that a 3x3 magic square of squares must have this parametric form of any 3x3 magic square:

As an example, we will look at the modulo 13. Any squared integer can only have one of these 7 "authorized" values, the quadratic residues mod 13: 0, 1, 3, 4, 9, 10, 12. If we check by program all the possible values (x, y, z) mod 13, the nine cells (x+y), (x-y-z), ...(x-y) can be nine squares (meaning that none of them is equal to another value than the 7 authorized values) only when (x, y, z) = (x, y, 0) or (x, 0, z): we conclude that y or z must be divisible by 13. Also equivalent to say that y*z must be divisible by 13. Here are the final astonishing results that I have checked and slightly extended (5 -> 5^2, and 7 -> 7^2):

Yes, x*y*z must be divisible by every prime < 40, with the sole exception of 23.

Received from August 10th to September 3rd, 2013

Tim S. Roberts, again using the above parametric form of any 3x3 magic square, remarked that:

Astonishing! An incredibly long list, where 25 is the first integer > 1 not present. We can extend and finish this list, and say:

This should be the full list, a total of 106 integers. All these integers can be factorized with these primes only (or powers of them): 2 (4, 8, 16), 3 (9), 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 61, 67.
That is to say, every prime < 70, with the sole exception of 59. We can also say that:

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