Pandiagonal bimagische und trimagische Quadrate


Ein pandiagonal magisches Quadrat ist ein magisches Quadrat mit einer zusätzlichen Eigenschaft: alle umgebrochenen Diagonalen sind magisch. Man kennt eine große Anzahl pandiagonal magischer Quadrate verschiedener Ordnungen. Die kleinsten panmagischen Quadrate haben die Ordnung 4. Unter den 880 verschiedenen magischen Quadraten der Ordnung 4 gibt es nur 48 pandiagonale. Hier ist eines davon:

Im obigen Quadrat haben die Diagonalen 3+9+14+8 und 10+4+7+13 die Summe 34. Das gleiche gilt für die umgebrochenen Diagonalen, zum Beispiel 10+16+7+1, 15+5+2+12, 6+4+11+13,...

Viel schwieriger ist es ein pandiagonal magisches Quadrat zu konstruieren, das auch ein bimagisches Quadrat ist. Das erste wurde 1903 von Gaston Tarry veröffentlicht in Compte-Rendu de la 32ème Session (Angers) de l'AFAS:

a+p+r

b-c+q-r+s

b+d+p

a+c+d+q+s

b+p+r+s

a+c+q-r

a+d+p+s

b-c+d+q

>>>

9

51

8

62

44

18

37

31

b+p

a+c+q+s

a+d+p+r

b-c+d+q-r+s

a+p+s

b-c+q

b+d+p+r+s

a+c+d+q-r

4

58

13

55

33

27

48

22

a+c+d+p+r+s

b+d+q-r

b-c+p+s

a+q

b-c+d+p+r

a+d+q-r+s

a+c+p

b+q+s

46

24

35

25

15

53

2

60

b-c+d+p+s

a+d+q

a+c+p+r+s

b+q-r

a+c+d+p

b+d+q+s

b-c+p+r

a+q-r+s

39

29

42

20

6

64

11

49

a+d+q-r

b-c+d+p+r+s

b+q

a+c+p+s

b+d+q-r+s

a+c+d+p+r

a+q+s

b-c+p

21

47

28

34

56

14

57

3

b+d+q

a+c+d+p+s

a+q-r

b-c+p+r+s

a+d+q+s

b-c+d+p

b+q-r+s

a+c+p+r

32

38

17

43

61

7

52

10

a+c+q-r+s

b+p+r

b-c+d+q+s

a+d+p

b-c+q-r

a+p+r+s

a+c+d+q

b+d+p+s

50

12

63

5

19

41

30

40

b-c+q+s

a+p

a+c+d+q-r+s

b+d+p+r

a+c+q

b+p+s

b-c+d+q-r

a+d+p+r+s

59

1

54

16

26

36

23

45

1903: Eine Familie von 8x8 pandiagonal magischen Quadraten, die ebenfalls bimagische Quadrate sind, von Gaston Tarry, Frankreich
Notwendige Bedingung für bimagische Diagonalen: r(a-b) = c(p-q).
Rechts sein Beispiel mit (a, b, c, d) = (1, 4, 1, 4) und (p, q, r, s) = (0, 24, 8, 32).

Im obigen Quadrat der Ordnung 8 von Tarry gilt:

Im Januar-Februar 2012 berechnete Francis Gaspalou die Anzahl der Quadrate, die er mit obiger Methode von Tarry erhalten kann : sehen Sie Gaspalous PDF datei (in English), and also his study of Coccoz's method here.
In October-November 2013, Holger Danielsson worked on ten other similar families of 8x8 squares, also invented by Tarry: see Danielssson's PDF file#1 and PDF file#2 (list of squares).

Im obigen Quadrat der Ordnung 8 von Schot gilt:

2000: Ein nicht-normales pandiagonales bimagisches Quadrat, bei dem alle umgebrochenen Diagonalen bimagisch sind, S1 = 19 674, S2 = 31 866 762, von Su Maoting, China.

1921

98

1913

56

1834

1457

1226

1342

1330

1284

1431

1756

132

1839

36

1939

14

 

339

385

217

918

2109

888

2128

711

2118

2066

773

2110

812

2183

944

295

397

281

100

54

1473

78

1297

1899

1218

1850

1804

1786

1902

1292

1961

1375

2

1415

80

88

962

824

353

733

323

2129

262

2158

2175

2117

2080

250

2055

297

751

429

876

900

1345

1481

1281

133

1826

38

1838

34

1943

1917

46

1914

96

1764

55

1229

1407

1327

703

2063

813

2113

940

2133

417

294

341

279

218

365

2159

922

2125

887

2121

781

1808

1293

1882

1305

1959

1418

1

85

30

104

103

79

1470

1901

1367

1870

1217

1782

2081

2115

2105

230

748

301

879

428

892

970

354

821

319

736

282

2079

2177

2157

1893

1915

49

1766

93

1249

125

1323

1406

1482

1349

63

1261

41

1824

31

1837

1967

219

349

2155

362

2145

925

2123

837

704

780

863

2061

937

2093

420

2137

271

293

29

9

107

1904

1450

1867

1365

1832

1216

1294

1758

1307

1885

1438

1956

81

71

105

404

969

316

819

285

716

2107

2083

2082

2156

2101

2185

768

227

881

304

893

378

1405

65

1299

61

1264

27

1821

1968

1907

1845

1892

1769

53

1246

73

1373

123

1483

859

779

957

2131

422

2090

272

2140

269

243

2152

348

2148

360

2053

905

705

841

1286

1310

1757

1435

1889

131

1936

106

69

11

28

1924

57

1863

1453

1833

1362

1224

2098

2106

771

2184

811

225

894

284

400

382

336

968

287

889

2108

713

2132

2086

1905

1789

1891

1242

3

1374

76

1413

120

68

1475

58

1298

77

1268

1969

1801

1847

2172

247

2150

347

2054

430

755

902

856

844

960

729

352

2130

273

2088

265

2120

Das obige Quadrat der Ordnung 18 von Su Maoting im 2000 ist ein sehr interessantes pandiagonal bimagisches Quadrat, bei dem alle umgebrochenen Diagonalen bimagisch sind, ABER es ist ein nicht-normales magisches Quadrat: Es verwendet Zahlen, die nicht unmittelbar aufeinander folgen.

 Su Maoting

Sechs Jahre später, im Februar 2006, konnte Su Maoting als Erster ein normales pandiagonal bimagisches Quadrat konstruieren, mit aufeinander folgenden ganzen Zahlen und umgebrochenen Diagonalen, die alle bimagisch sind. Glückwunsch! Viele Leute (mich eingeschlossen ...) dachten, dieses Problem wäre unlösbar. Mehr als ein Jahrhundert wurde vergeblich nach einer Lösung gesucht. Das gefundene Quadrat hat die Ordnung 32. Su Maoting ist 45 Jahre alt, lebt in der Provinz Fujian, China, und arbeitet in einer Automobil-Transport-Firma.

Ist es möglich, ein pandiagonal bimagisches Quadrat zu konstruieren, das eine kleinere Ordnung hat als 32? Wenn Sie Lösungen zu diesem Problem haben, senden Sie mir eine Nachricht! Ich freue mich, Ihre Ergebnisse auf dieser Internetseite zu präsentieren. Beachten Sie auch andere ungelöste multimagische Probleme.

Im Februar-April 2009 konstruierte Li Wen, China, andere normal pandiagonal bimagische Quadrate größerer Ordnung:

und im Februar 2009 war Li Wen der erste, der erfolgreich ein nicht-normales pandiagonal TRImagisches Quadrat konstruierte, alle gebrochenen Diagonalen sind trimagisch. Die 156816 verwendeten Zahlen sind unterschiedlich, aber nicht aufeinanderfolgend: Die größte verwendete Zahl ist 278259381. Und eine unglaubliche zusätzliche Eigenschaft: Es ist ebenfalls ein PENTAmagisches Quadrat, das bedeutet alle seine Zeilen, Spalten und zwei Hauptdiagonalen sind magisch bis zur fünften Potenz!!! Li Wen wurde bekannt als er 2003 ein pentamagisches Quadrat der Ordnung 729 konstruierte, das bis heute das kleinste bekannte normal pentamagische Quadrat ist (sehen Sie multimagische Rekorde).

Im Jahr 2011 veröffentlichten Chen Kenju, Li Wen, und Pan Fengchu "A family of pandiagonal bimagic squares based on orthogonal arrays" im Journal of Combinatorial Designs, Vol. 19, Issue 6, November 2011, pp. 427-438. Hier ist ein Auszug:

Im gleichen Jahr konstruierte Pan Fengchu ein pandiagonal bimagisches Quadrat der Ordnung n ≥ 32 und mit gcd(n,72) = 1 oder 9:

Im Jahr 2012 veröffentlichten Li Wen, Wu Dianhua, und Pan Fengchu "A construction for doubly pandiagonal magic squares" in Discrete Mathematics, Vol. 312, Issue 2, 28 Januar 2012, pp. 479-485. Hier ist ein Auszug:

"Doppelt magisch" bedeutet hier bimagisch. Der wichtigste Teil dieses Artikels ist das Theorem:

Das erklärt z.B. warum Quadrate der Ordnung größer als 77 = 11*7 und 91 = 13*7, konstruiert von Li Wen in 2009, möglich sind.


Zurück zur Homepage http://www.multimagie.com