Das kleinstmögliche tetramagische Quadrat
Welches ist die kleinste Ordnung für die es tetramagische (4-multimagische) Quadrate gibt? Wir wissen es nicht, we only know that its order is perhaps 24, or between 27 and 243.
Das kleinste bekannte tetramagische Quadrat hat die Ordnung 243 und wurde im Februar 2004 von Pan Fengchu gefunden.
Wir werden hier beweisen, dass tetramagic squares of orders ≤ 23, or of orders 25 and 26, cannot exist.
Tetramagische Quadrate der Ordnung 11 oder kleiner?
Da es kein trimagisches Quadrat der Ordnung 11 oder kleiner gibt, kann es auch kein tetramagisches Quadrat mit einer solchen Ordnung geben.
Darüberhinaus kann ein tetramagisches Quadrat der Ordnung 11 nicht einmal teilweise konstruiert werden, weil es keine tetramagischen Reihen 11. Ordnung gibt.
Tetramagische Quadrate 12. Ordnung?
Es gibt genau 106 Reihen, das wäre eigentlich genug um tetramagische 12x12-Quadrate zu bilden, weil 26 "passend gewählte" Reihen (12 Zeilen + 12 Spalten + 2 Diagonalen) ausreichend wären. Aber sie sind nicht ausreichend. Zum Beispiel die Zahl 1 sollte auch im Quadrat vorhanden sein, aber die 1 kommt nur in der 106 Reihen vor:
Bei diesen 5 Reihen werden zwei Reihen benötigt, die nur die Zahl 1 gemeinsam haben dürfen, denn Zeile und Spalte treffen sich in einem Punkt. Das ist unmöglich, denn alle Kombinationen von zwei Reihen haben mehrere Zahlen doppelt:
|
S1 |
S2 |
S3 |
S4 |
S5 |
S1 |
X |
|
|
|
|
S2 |
44, 112, 120 |
X |
|
|
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S3 |
112 |
112, 125 |
X |
|
|
S4 |
50, 96 |
135 |
29, 54, 110 |
X |
|
S5 |
50, 112 |
69, 112 |
30, 110, 112 |
38, 50, 110 |
X |
Deshalb kann es kein tetramagisches Quadrat 12. Ordnung geben.
Tetramagische Quadrate 13. Ordnung?
Die magische Summe S4 ist 2152397897 = 9 mod 16. Weil (2x+1)^4 = 1 modulo 16 und (2x)^4 = 0 modulo 16, jede der Reihen hat 9 ungerade Zahlen. Damit würden die 13 Zeilen des Quadrats 13x9 = 117 ungerade Zahlen enthalten, aber ein magisches Quadrat 13. Ordnung enthält nur 85 ungerade Zahlen.
Deshalb kann es kein tetramagisches Quadrat 13. Ordnung geben.
Tetramagische Quadrate 14. oder 15. Ordnung?
Es gibt keine tetramagischen Reihen für diese Ordnungen.
Deshalb kann es kein tetramagisches Quadrat 14. oder 15. Ordnung geben.
Tetramagische Quadrate 16. Ordnung?
Es gibt 235275 Reihen, wir könnten also denken, das ist ausreichend, aber wir können beweisen, dass sie nicht in ein tetramagisches Quadrat organisiert werden können unter Verwendung von modulo 9 Eigenschaften. Die magischen Summen eines tetramagischen Quadrats 16. Ordnung (S1 wird im Beweis nicht benötigt) sind:
n |
n2 mod 9 |
n3 mod 9 |
n4 mod 9 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
2 |
4 |
8 |
7 |
3 |
0 |
0 |
0 |
4 |
7 |
1 |
4 |
5 |
7 |
8 |
4 |
6 |
0 |
0 |
0 |
7 |
4 |
1 |
7 |
8 |
1 |
8 |
1 |
In einer tetramagischen Reihe von 16 ganzen Zahlen, bezeichnet ai Die Anzahl seiner ganzen Zahlen die gleich i modulo 9 sind, und unter Verwendung der obenstehenden Tabelle, ergibt sich folgendes System aus Gleichungen:
Analysiert man alle möglichen Lösungen des Systems, erhält man immer:
Geht man von mod 9 zu mod 3, bedeutet das, jede tetramagische Reihe hat 16 Zahlen die immer wie folgt aufgeteilt sind:
Mit solchen Reihen ist es natürlich unmöglich 16 Reihen zu erhalten die alle Zahlen von 1 bis 256 enthalten.
Deshalb kann es kein tetramagisches Quadrat 16. Ordnung geben.
Tetramagische Quadrate 17., 18. oder 19. Ordnung?
Ein tetramagisches Quadrat 18 kann deshalb nicht existieren, da es keine trimagischen (und natürlich auch keine tetramagischen) Reihen von irgendeiner Zahl des Typs 4k+2 gibt.
Für die Ordnung 17 und 19 sandte mir Michael Quist im May 2008 diese kurzen Beweise unter Verwendung von (2x+1)^4 = 1 mod 16 and (2x)^4 = 0 mod 16:
Obgleich es tetramagische Reihen der Ordnung 17geben mag, kann es kein tetramagisches Quadrat geben. Da S(4,17)%16 = 1, jede tetramagische Reihe der Ordnung 17 hat entweder 1 oder 17 ungrade Elemente. In 1...17^2 gibt es insgesamt (17^2-1)/2 = 145 ungerade Zahlen unterzubringen. Dies kann geschehen durch genau 8 komplette Zeilen mit ungeraden Zahlen und 9 Zeilen mit jeweils einer ungeraden Zahl. Der selbe Grundsatz trifft auf die Spalten zu: Dort müssen genau 8 komplette Zeilen mit ungeraden Zahlen und 9 Zeilen mit jeweils einer ungeraden Zahl existieren. Aber da es 8 Reihen gibt die nur aus ungeraden Zahlen bestehen, muss jede Zeile mindestens 8 ungerade Zahlen haben; Es kann keine mit nur einer ungeraden Zahl existieren.
Es ist sogar noch einfacher zu zeigen, dass keine tetramagischen Quadrate der Ordnung 19 existieren. Hier ist S(4,19)%16 = 7, also hat jede tetramagische Reihe der Ordnung 19 genau 7 ungerade Zahlen. In jeder anderen Anordnung der 19 Zeilen sind nur 7*19 = 133 ungerade Zahlen, was viel zu wenig ist gegenüber (19^2-1)/2 = 180 gefundenen Zahlen in 1...19^2.
Deshalb kann es kein tetramagisches Quadrat 17., 18. oder 19. Ordnung geben.
Tetramagische Quadrate 20., 21., 22. oder 23. Ordnung?
Ein tetramagisches Quadrat 22 kann deshalb nicht existieren, da es keine trimagischen (und natürlich auch keine tetramagischen) Reihen von irgendeiner Zahl des Typs 4k+2 gibt.
In February-March 2013, Lee Morgenstern proved that 20th, 21st and 23rd-order tetramagic squares cannot exist. See his proofs (in English, also including other proofs of orders ≥ 12)
Tetramagische Quadrate 24. Ordnung?
Vielleicht existieren sie! Wer will es versuchen?
Tetramagische Quadrate 25. oder 26. Ordnung?
Ein tetramagisches Quadrat 26 kann deshalb nicht existieren, da es keine trimagischen (und natürlich auch keine tetramagischen) Reihen von irgendeiner Zahl des Typs 4k+2 gibt.
In April 2013, Lee Morgenstern proved that 25th-order tetramagic squares cannot exist. See his proof (in English).
Tetramagische Quadrate 27. Ordnung?
Vielleicht existieren sie! Wer will es versuchen?
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