Multimagische Reihen für Würfel
Siehe auch
Multimagische Reihen für Quadrate
Wie man beim kleinsten bimagischen Würfel sehen kann, ist es für die Konstruktion eines p-multimagischen Würfels der Ordnung n interessant, alle p-multimagischen Reihen der Ordnung n zu finden. Das sind alle Reihen aus n verschiedenen natürlichen Zahlen von 1 bis n3, welche die korrekten magischen, bimagischen, ... p-multimagischen Summen haben (= S1, S2,... Sp):
Die Ordnung 3 ist die kleinste, bei der bimagische Reihen auftreten. Hier sind die 4 bimagischen Reihen:
Das bedeutet:
Bei der Ordnung 4 gibt es 8 bimagische Reihen, die auf der Seite Kleinster bimagischer Würfel aufgelistet sind.
Die folgende Tabelle zeigt die Anzahl der multimagischen Reihen. Für manche Ordnungen können alle Reihen als Excel-Datei heruntergeladen werden (44KB bis 540KB). Die Anzahl der bimagischen Serien für Würfel der Ordnungen 9 und 10 wurden im Oktober 2005 von Walter Trump, Nürnberg, berechnet. Die Anzahl der trimagischen Reihen der Ordnung 9 wurde von Gildas Guillemot, Frankreich, im Dezember 2006 ermittelt und im Mai 2008 von Michael Quist, USA bestätigt. Die Anzahl der bimagischen Serien für Würfel der Ordnungen 11 und 12 wurden im Mai und Juni 2013 von Walter Trump, berechnet, using a program written by Lee Morgenstern, USA.
Ordnung |
Bimagisch |
Trimagisch |
Tetramagisch |
3 |
4 |
0 |
0 |
4 |
0 |
0 |
|
5 |
0 |
0 |
|
6 |
(*) 0 |
0 |
|
7 |
5152529 |
0 |
|
8 |
1594825624 |
0 |
|
9 |
651151145259 |
363949 |
(**) 0 |
10 |
347171191981324 |
(*) 0 |
0 |
11 |
315035719463520007 |
Unbekannt! |
Unbekannt! |
12 |
333498789992790704850 |
Unbekannt! |
Unbekannt! |
13 |
Unbekannt! (***) ~ 4.36· 1023 |
Unbekannt! |
Unbekannt! |
14 |
Unbekannt! (***) ~ 7.39· 1026 |
(*) 0 |
0 |
15 |
Unbekannt! (***) ~ 1.52· 1030 |
Unbekannt! |
Unbekannt! |
(*) Trimagische
Reihen der Ordnungen 4k+2 existieren nicht, da S3 nicht gerade sein kann, wenn
S1 und S2 ungerade sind.
(**) Im Januar 2006 fand Robert Gerbicz, Ungarn, einen hübschen kurzen Beweis. "Für
die Ordnung 9 gilt: Die tetramagische Summe ist S4=510,118,152,189==13 mod 16. Aber da (2*x+1)^4==1
mod 16 und (2*x)^4==0 mod 16 ist, benötigt man mindestens 13 ungerade Zahlen, 9
Zahlen reichen also nicht aus!"
(***) Näherungen bimagischer Reihen von Michael Quist im Juni
2013.
In Juni 2013, Michael Quist wrote a paper estimating the numbers of magic and multimagic series, including bimagic series for cubes of order N. See http://arxiv.org/abs/1306.0616. Here is his formula, and the obtained numeric values for 10 ≤ N ≤ 15. The error should decrease with higher orders.
Ordnung |
Näherung |
wahre Anzahl |
rel. Fehler |
10 | 3.61 · 1014 | 347171191981324 | +4% |
11 | 2.97 · 1017 |
315035719463520007 | -6% |
12 | 3.20 · 1020 |
333498789992790704850 | -4% |
13 | 4.36 · 1023 | ? | ? |
14 | 7.39 · 1026 | ? | ? |
15 | 1.52 · 1030 | ? | ? |
Auf unsere bimagischen und trimagischen Reihen wird verwiesen unter den Nummern A090653 und A092312 in The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, OEIS Foundation.
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