Das kleinstmögliche trimagische Quadrat
Welches ist die kleinste Ordnung für die es trimagische (3-multimagische) Quadrate gibt? Das kleinste bekannte trimagische Quadrat hat die Ordnung 12 und wurde im Juni 2002 von Walter Trump gefunden.
Wir werden hier beweisen, dass es keine trimagischen Quadrate, deren Ordnung kleiner als 12 ist, geben kann.
Trimagische Quadrate der Ordnung 7 oder kleiner?
Da es kein bimagisches Quadrat der Ordnung 7 oder kleiner gibt, kann es auch kein trimagisches Quadrat mit einer solchen Ordnung geben.
Darüberhinaus kann ein trimagisches Quadrat der Ordnung 7 nicht einmal teilweise konstruiert werden, weil es keine trimagischen Reihen 7. Ordnung gibt.
Trimagische Quadrate 8. Ordnung?
Wenn man mögliche trimagische 8x8-Quadrate mit einem Computer untersucht, findet man überraschender Weise recht viele trimagische Reihen, das heißt Reihen von unterschiedlichen Zahlen von 1 bis 64, deren Summen S1 = 260, S2 = 11 180 und S3 = 540 800 betragen.
Es gibt genau 121 Reihen, das wäre eigentlich genug um trimagische 8x8-Quadrate zu bilden, weil 18 "passend gewählte" Reihen (8 Zeilen + 8 Spalten + 2 Diagonalen) ausreichend wären. Wir suchen 8 verschiedene Reihen, die zusammen alle 64 Zahlen enthalten. Wir können viele unterschiedliche (5 719) Gruppen aus 6 Reihen bilden, die zusammen keine Zahl zweimal enthalten. Zum Beispiel die Gruppe, welche von den Reihen G1, G14, G33, G54, G84 and G103 gebildet wird:
Aber unglücklicher Weise kommen wir nicht weiter, es ist unmöglich eine Gruppe aus 8 trimagischen Reihen zu konstruieren. (bei 7 Reihen wäre die 8. automatisch korrekt).
Deshalb kann es kein trimagisches Quadrat 8. Ordnung geben.
Download der 121 trimagischen Reihen 8. Ordnung und der 5 719 Gruppen aus 6 Reihen, komprimierte Excel Datei 176Kb.
Trimagische Quadrate 9. Ordnung?
Zur Konstruktion eines möglichen trimagischen 9x9-Quadrats, versuchen wir die Zahl 81 zu platzieren. Es gibt nur 3 verschiedene Reihen mit 9 Zahlen von 1 bis 81, deren Summen stimmen (S1 = 369, S2 = 20 049, S3 = 1 225 449) und die außerdem die Zahl 81 enthalten:
Wie jede Zahl, muss auch 81 in einer Zeile und einer Spalte des Quadrats auftreten. Deshalb benötigen wir zwei unterschiedliche Reihen, die ausschließlich die Zahl 81 gemeinsam haben. (Wir bräuchten sogar 3 trimagische Reihen, wenn sich 81 in einer Diagonale befindet, und 4 Reihen, wenn 81 im Schnittpunkt der Diagonalen liegt.) Aber:
Deshalb kann es kein trimagisches Quadrat 9. Ordnung geben.
Download der 126 trimagischen Reihen 9. Ordnung, Excel Datei, 39Kb.
Trimagische Quadrate 10. Ordnung?
In diesem Fall ist die Situation etwas einfacher. Die magischen Summen sind: S1 = 505, S2 = 33 835, S3 = 2 550 250. Es ist nicht möglich eine trimagische Reihe zu bilden, bei der S3 gerade ist, wenn S1 und S2 ungerade sind.
Deshalb kann es kein trimagisches Quadrat 10. Ordnung geben.
Trimagische Quadrate 11. Ordnung?
Hier ist ein hübscher Beweis für die Nichtexistenz trimagischer Quadrate der Ordnung 11, erstellt von Walter Trump (Nürnberg) im Mai 2002.
Die magischen Summen: S1 = 671, S2 = 54 351, S3 = 4 952 651
Wie seine vollständigen Ausführungen mit Untersuchungen von S1, S2 und S3 modulo 4 und 8 (S1 = 3 mod 4, S2 = 3 mod 4, and S3 = 7 mod 8) zeigen, muss jede trimagische Reihe 11. Ordnung genau 7 ungerade Zahlen enthalten. Damit würden die 11 Zeilen des Quadrats 7x11 = 77 ungerade Zahlen enthalten, aber ein magisches Quadrat 11. Ordnung enthält nur 61 ungerade Zahlen.
Deshalb kann es kein trimagisches Quadrat 11. Ordnung geben.
Damit haben wir bewiesen, dass es kein trimagisches Quadrat mit einer Ordnung kleiner als 12 geben kann. Mit seinem trimagischen Quadrat 12. Ordnung hat Walter Trump ein Ergebnis erzielt, das zwar eingestellt, aber niemals unterboten werden kann.
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