Perfekte magische Würfel
Wie sieht der kleinste perfekte Würfel aus?
Martin
Gardner in 1988 (Tulsa, Oklahoma, 1914 - Norman, Oklahoma, 2010)
Bislang konnte niemand die folgende Frage beantworten: "Gibt es einen perfekten magischen Würfel der Ordnung 5? Keiner weiß das". So fragte Martin Gardner in Scientific American (1976) und in seinem Buch Time Travel and Other Mathematical Bewilderments (1988).
Im November 2003, zusammen mit meinem Freund Walter Trump, konstruierten wir den ersten perfekten magischen Würfel der Ordnung 5, der kleinsten Ordnung, in der perfekte Würfel möglich sind.
Erster perfekter magischer Würfel der Ordnung 5,
|
Es ist unmöglich einen kleineren perfekten Würfel zu konstruieren: von der Ordnung 3 gibt es nur vier unterschiedliche magische Würfel, keiner davon ist perfekt. Der amerikanische Mathematiker Richard Schroeppel bewies in Artificial Intelligence Memo des MIT (1972), dass ein magischer Würfel der Ordnung 4 nicht perfekt sein kann.
Pierre de Fermat
(Beaumont de Lomagnes 1601 – Castres 1665)
Mehr als drei Jahrhunderte vorher, im Jahr 1640, sandte Pierre de Fermat einen beinahe perfekten Würfel der Ordnung 4 mit 64 magischen Linien an Mersenne. Fermat sprach fälschlicher Weise von 72 magischen Linien, aber auch 64 solche Linien stellen ein ausgezeichnetes Ergebnis dar, wenn man bedenkt, dass ein perfekter magischer Würfel der Ordnung 4 theoretisch 76 magische Linien hätte, aber das ist bewiesenermaßen nicht erreichbar.
Beinahe perfekter magischer Würfel der Ordnung 4, von Fermat,
1640
(Klicken Sie auf das Bild um es zu vergrößern.)
Schroeppel konnte außerdem mit algebraischen und kombinatorischen Methoden beweisen, dass ein perfekter magischer Würfel der Ordnung 5, falls er überhaupt existiert, im Zentrum die Zahl 63 aufweisen muss. Und tatsächlich: die Zahl 63 befindet sich genau im Mittelpunkt des Würfels von Trump und Boyer.
Im Folgenden finden Sie ein paar Erklärungen zur Konstruktion dieses Würfels. Zunächst haben wir eine große Anzahl von Hilfswürfeln der Ordnung 3 konstruiert. Diese Hilfswürfel sind "zentralsymmetrisch", d. h. dass für jede der 13 geraden Linien, die durch das Zentrum des Würfels verlaufen, gilt: die Zahlen der drei Zellen durch welche die Linie verläuft haben die Summe x + 63 + y = 189. Die Hilfswürfel haben einige weitere magische Eigenschaften 29 der 49 möglichen Strecken (einschließlich 14 von 18 Diagonalen und aller 4 Triagonalen) weisen die gleiche Summe 189 auf. Zur Überprüfung dieser Eigenschaften können Sie den zentralen Würfel der Ordnung 3 betrachten, der sich im Inneren unseres magischen Würfels der Ordnung 5 befindet. Ausgehend von diesen Hilfswürfeln haben wir versucht mit Computerunterstützung die 53 - 33 = 98 restlichen Zellen mit Zahlen zu füllen. Dabei verwendeten wir jeweils Zahlenpaare x und y, für die x + 189 + y = 315 gilt. Aus diesem Grund weist unser Würfel verschiedene Symmetrien auf.
Fünf Computer arbeiteten einige Wochen lang bis schließlich die erste Lösung gefunden wurde. Mit unserer Methode war es relativ einfach Würfel mit 26 magischen Diagonalen zu finden. Aber wir benötigten mehr als 1500 Würfel mit 28 magischen Diagonalen bevor zum ersten Mal ein magischer Würfel mit 30 magischen Diagonalen auftrat. Bis dahin verwendeten wir mehr als 80.000 verschiedene Hilfswürfel.
Zwei Monate vor dem Würfel der Ordnung 5 konstruierte Walter Trump den ersten perfekten Würfel der Ordnung 6, dabei wurde im Zentrum ein magischer Hilfswürfel der Ordnung 4 verwendet.
Zuvor wiesen die kleinsten perfekten magischen Würfel die Ordnung 7 auf, zum Beispiel Frosts Würfel (1866).
In December 2012, H. B. Meyer, Germany, proved that "centralsymmetric" perfect magic cubes of order 5 are impossible: see www.hbmeyer.de/backtrack/mq5/eq5x5x5symm.htm
Was ist ein "perfekter" magischer Würfel?
Für "perfekte" multimagische Würfel verwenden wir die am weitesten verbreitete Terminologie: Ein perfekter magischer Würfel ist ein magischer Würfel, bei dem zusätzlich alle Quadrate magisch sind (d. h. jede Diagonale ist magisch, nicht nur die Triagonalen).
Diese Definition benutzten zum Beispiel Martin Gardner (Scientific American, January 1976), William H. Benson and Oswald Jacoby (Magic Cubes: New Recreations, 1981) und auch Clifford A. Pickover (The Zen of Magic Squares, Circles and Stars, 2002). Sie wird ebenfalls in Eric Weisstein’s World of Mathematics benutzt: http://mathworld.wolfram.com/PerfectMagicCube.html.
In unserem Fall bedeutet das, dass jedes Quadrat des perfekten bimagischen Würfels der Ordnung 32 bimagisch ist und dass jedes Quadrat des perfekten trimagischen Würfels der Ordnung 256 trimagisch ist.
Heute wird teilweise eine, von John R. Hendricks erdachte, andere Definition des "perfekten" Würfels verwendet, die komplexere Eigenschaften fordert. Die obigen "perfekten" Würfel heißen dann nicht mehr perfekt sondern "diagonalen" Würfel. Lesen Sie Näheres auf der hübschen Internetseite Perfect Magic Cube von Harvey D. Heinz.
Welche perfekten Würfel wurden zuerst veröffentlicht?
Ordnung |
Entdecker |
Land |
Datum |
Perfekter magischer Würfel nicht möglich |
|||
Beinahe perfekter Würfel von |
Frankreich |
1640 |
|
Nichtexistenz bewiesen von |
USA |
1972 |
|
Walter Trump - Christian Boyer |
Deutschland - Frankreich |
Nov. 2003 |
|
Walter Trump |
Deutschland |
Sept. 2003 |
|
7* |
Reverend Andrew H. Frost |
England (1) |
1866 |
Gustavus Frankenstein |
USA (2) |
1875 |
|
9* |
Charles Planck |
England |
1905 |
Li Wen |
China |
1988 (3) |
|
11* |
Frederick A. P. Barnard |
USA |
1888 |
William H. Benson |
USA |
1981 |
|
... |
... |
... |
... |
8192** |
Christian Boyer |
Frankreich |
2003 |
(*) Diese Würfel haben zusätzliche pandiagonale Eigenschaften (die
umgebrochenen Diagonalen und bzw. oder Triagonalen sind auch magisch).
(**) Dieser Würfel hat zusätzlich multimagische Eigenschaften (er
ist auch perfekt magisch, wenn seine Zahlen mit zwei, drei oder vier potenziert
werden).
(1)
Und auch Indien: Frost ein Engländer, war zu dieser Zeit
Missionar in Nasik, Indien.
(2) Und auch Deutschland: Frankenstein
wurde in Deutschland geboren. Er war zwei Jahre alt als seine Familie nach
Cincinnati in die USA auswanderte.
(3) Li Wen schickte uns diesen Würfel im Dezember 2003. Er hat ihn niemals zuvor veröffentlicht.
Li sagt, dass er ihn schon 1988 konstruiert hat.
Erster perfekter Würfel der Ordnung 7
Der erste veröffentlichte perfekte Würfel hatte die Ordnung 7, und wurde von Rev. A. H. Frost, M.A. des St. John's College, Cambridge konstruiert. Frost war Missionar in einer Stadt namens Nasik in Indien. Deshalb wurde sein Würfel "Nasik-Würfel" genannt, er wurde 1866 in dem englischen Wissenschaftsmagazin The Quarterly Journal of Pure and Applied Mathematics veröffentlicht.
In seinem Buch Time Travel dachte Martin Gardner, dass der erste perfekte Würfel der Ordnung 7 von Harry Langman 1962 in seinem Buch Play Mathematics (Hafner Publishing Company) vorgestellt wurde. Gardner hatte Unrecht, denn wir haben den Würfel von Frost gefunden, der 1866 konstruiert wurde, fast ein Jahrhundert vorher. Harry Langman erwarb seinen Doktortitel für Philosophie an der Columbia Universität, er war dann Professor für Mathematik und Leiter von drei pädagogischen Einrichtungen.
In seinem Originaltext können Sie nachlesen, welch einsichtige Konstruktionsmethode er benutzte. Harry Langman war sehr bescheiden: "Mit einem Gefühl der Zufriedenheit zeigen wir die Abbildung eines Sieben-Würfels". Wir sollten das ersetzen durch: "Mit einem Gefühl des Entzückens ...."
Erster perfekter Würfel der Ordnung 8
Der erste perfekte Würfel der Ordnung 8 wurde von Gustavus Frankenstein konstruiert. Er wurde in einer alten amerikanischen Tageszeitung, The Cincinnati Commercial am 11. März 1875 abgedruckt. Es ist sehr schwierig eine solche alte Zeitung zu beschaffen und, so weit wir wissen, wurde der zugehörige Text in keinem anderen Artikel und in keinem Buch nochmals veröffentlicht. Wir hatten Glück und fanden die Originalausgabe der Zeitung:
Zum Lesen und Herunterladen:
In diesem Originaltext können Sie lesen was G. Frankenstein über seinen Würfel sagt: "Diese Entdeckung erfüllt mich mit größerer Genugtuung als wenn ich eine Goldmine unter meiner Türschwelle gefunden hätte.. Es sind Freuden wie diese, die Armut süßer machen als den Reichtum eines Krösus."
Und er fuhr fort: "Vielleicht wurde die Sache schon früher entdeckt." Wir sind ziemlich sicher, lieber Gustavus, dass die Sache für die Ordnung 8 nicht früher gefunden wurde! Allerdings wurde die Sache für die Ordnung 7 schon vorher entdeckt.
Die Literaturangabe Cincinnati Commercial findet man zum Beispiel in:
Gustavus war, ebenso wie seine Brüder, auch ein Maler, wie in seiner Biographie vom Museum für Kunst in Springfield berichtet wird oder in seiner anderen Biographie von AskART (freier Zugang an jedem Freitag).
Gemälde von Gustavus Frankenstein
13 Jahre nach Frankenstein veröffentlichte ein weiterer Amerikaner, Frederick A.P. Barnard, einen pandiagonal perfekten magischen Würfel der Ordnung 8 zusammen mit zwei anderen Würfeln der Ordnung 11. Sie finden diese Würfel auf der Seite über pandiagonal perfekte magische Würfel.
Erster perfekter Würfel der Ordnung 9
Der erste, jemals veröffentlichte perfekte magische Würfel der Ordnung 9 wurde konstruiert von Charles Planck, M.A., M.R.C.S., England. Er wurde in seinem Büchlein, The Theory of Path Nasiks, 1905, abgedruckt, stark beeinflusst von Frosts Arbeit.
Erster perfekter Würfel der Ordnung 10
Die Ordnungen der Form 4k+2 sind häufig sehr schwierig zu konstruieren, sowohl für magische Quadrate als auch für magische Würfel..
Der erste perfekte magische Würfel der Ordnung 10 erreichte uns im Dezember 2003. Li Wen, China, sagt, dass er ihn 1988 konstruiert hat, aber er hat ihn nie veröffentlicht. Wir kennen Li Wen bereits wegen seines hervorragenden pentamagischen Quadrats der Ordnung 729.
Erster perfekter Würfel der Ordnung 11
Die ersten perfekten Würfel der Ordnung 11 wurden 1888 veröffentlicht von Frederick A.P. Barnard, Präsident des Columbia College (jetzt Columbia Univ.), New York , USA. Seine zwei Würfel der Ordnung 11 besitzen zusätzliche Eigenschaften: sie sind pandiagonal perfekte magische Würfel.
Sie finden die Biographie von Barnard und diese Würfel auf der Seite über pandiagonal perfekte magische Würfel.
Erster perfekter Würfel der Ordnung 12
Der erste perfekte Würfel der Ordnung 12 wurde 1981 von William H. Benson aus den USA, in seinem Buch Magic Cubes New Recreations veröffentlicht.
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