Sudokus und bimagische Quadrate
Lesen Sie auch die Seite über Sudokus französische Vorfahren


Sudoku Rätsel erfreuen sich auf der ganzen Welt wachsender Beliebtheit, insbesondere seit 2005. Der Zusammenhang zwischen Sudokus und sogenannten Lateinischen Quadraten wurde schon oft beschrieben, aber es scheint, dass die Verwandtschaft zwischen bimagischen Quadraten und Sudokus bislang noch nicht erwähnt wurde.

Gaston Tarry (Villefranche de Rouergue 1843 - Le Havre 1913)

Im Jahr 1900 bewies Gaston Tarry als erster die berühmte Vermutung über 'die 36 Offiziere' von Euler aus dem Jahr 1782: Es ist nicht möglich eine Abordnung aus 6 Regimentern (bestehend aus jeweils 6 Offizieren unterschiedlichen Ranges) in einer 6x6-Matrix so anzuordnen, dass in keiner Zeile oder Spalte ein Rang oder Regiment doppelt auftritt. Tarry hat auch eine wundervolle Methode zur Konstruktion multimagischer Quadrate erfunden. Der erste Aufsatz von Tarry über diese Methode wurde von Henri Poincaré in Comptes-Rendus de l'Académie des Sciences 1906 vorgestellt. Einzelheiten dieser Methode finden sich zusammen mit zahlreichen Konstruktionen von bimagischen 8x8- und 9x9-Quadraten in General Cazalas' Buch von 1934, worin die Methode durch Cazalas geringfügig erweitert wird. Das Verfahren von Viricel und Boyer, welches wir zur Konstruktion unserer tetramagischen und pentamagischen Quadrate verwendeten, wurde maßgeblich durch die Methode von Tarry und Cazalas beeinflusst. Einzelheiten dazu finden sich in meinem Artikel in Pour La Science von 2001.

Nun zur Kernaussage dieser Seite: Alle bimagischen 9x9-Quadrate, die nach der Methode von Tarry und Cazalas konstruiert wurden, bestehen aus einer Kombination von zwei Sudokus! (Bemerkung hierzu wurde 2006 gemacht und 2011 bestätigt, siehe weiter unten)

Hier sehen Sie zwei solche Sudokus (Jedes 3x3-Teilquadrat enthält sämtliche Zahlen von 1 bis 9, ebenso wie jede Zeile und jede Spalte.):

Sudoku A

 

Sudoku B

2

5

8

1

4

7

3

6

9

2

9

4

6

1

8

7

5

3

1

4

7

3

6

9

2

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7

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1

8

3

6

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2

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4

7

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1

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7

1

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3

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5

5

3

7

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4

2

1

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6

9

3

6

8

2

5

7

1

4

1

8

6

5

3

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9

4

2

5

8

2

4

7

1

6

9

3

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9

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1

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7

1

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2

3

7

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4

2

9

8

6

1

6

9

3

5

8

2

4

7

1

8

6

1

3

7

5

4

2

9

Diese Sudokus haben eine zusätzliche Eigenschaft: Wenn wir eine oder mehr Spalten von einer Seite zur gegenüberliegenden verschieben, bleiben die Sudoku-Eigenschaften erhalten: Die neuen 3x3-Teilquadrate enthalten wieder die Zahlen von 1 bis 9. Das Gleiche gilt für eine Verschiebung von Zeilen.

Nun wird ein 9x9-Quadrat konstruiert, in dem jede Eintragung aus den entsprechenden Sudoku-Werten A und B nach folgender Formel berechnet wird:

9(A - 1) + B

Man erhält ein bimagisches Quadrat entsprechend der Methode von Tarry und Cazalas!

Bimagisches Quadrat, konstruiert
aus Sudoku A und Sudoku B

11

45

67

6

28

62

25

50

75

7

32

57

20

54

76

15

37

71

24

46

80

16

41

66

2

36

58

72

13

38

55

8

33

77

21

52

59

3

34

81

22

47

64

17

42

73

26

51

68

12

43

63

4

29

40

65

18

35

60

1

48

79

23

30

61

5

49

74

27

44

69

10

53

78

19

39

70

14

31

56

9

Dieses Quadrat ist bimagisch:

Außerdem hat es zusätzliche bimagische Eigenschaften:

Man erhält ein weiteres bimagisches Quadrat bei Verwendung folgender Formel:

9(B - 1) + A

Natürlich lässt sich nicht aus jedem Sudoku-Paar ein bimagisches Quadrat ableiten, und umgekehrt kann man nicht alle bimagischen Quadrate (nämlich die, welche nicht nach Tarry und Cazalas konstruiert wurden) in zwei Sudokus zerlegen. Zum Beispiel besteht das erste bimagische 9x9-Quadrat von G. Pfeffermann nicht aus einer Kombination von 2 Sudokus, weil ihm nicht die Methode von Tarry und Cazalas zugrunde liegt.


Artikel von Donald Keedwell

In 2011 veröffentlichte A. Donald Keedwell, Department of Mathematics, University of Surrey, England, (sehen Sie hier sein Foto und andere Arbeiten) zwei interessante Artikel:

  • "Gaston Tarry and multimagic squares", The Mathematical Gazette, Vol. 95, Number 534, November 2011, pp. 545-468
  • "Confirmation of a conjecture concerning orthogonal Sudoku and bimagic squares", Bulletin of the ICA (Institute of Combinatorics and its Applications), Volume 63, 2011, pp. 39-47

Er erklärt Tarry-Cazalas' Konstruktions Methode von bimagischen Quadraten, bestätigt die mathematische Richtigkeit meiner obigen Bemerkung von 2006 über die Kombination von 2 Sudokus in jedem von Tarrys 9x9 bimagischen Quadraten und erweitert seine Bemerkungen zu p²xp² bimagische Quadrate für jede ungerade Primzahl außer fünf.

< Das Deckblatt der Ausgabe von The Mathematical Gazette, mit Gaston Tarry


Über Gaston Tarry

Gaston Tarry ist nicht nur wegen seiner Lösung zum Offiziers-Problem von Euler und seiner Konstruktionsmethoden für multimagische Quadrate bekannt, sondern auch:


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