Pandiagonal bimagische und trimagische Quadrate
Ein pandiagonal magisches Quadrat ist ein magisches Quadrat mit einer zusätzlichen Eigenschaft: alle umgebrochenen Diagonalen sind magisch. Man kennt eine große Anzahl pandiagonal magischer Quadrate verschiedener Ordnungen. Die kleinsten panmagischen Quadrate haben die Ordnung 4. Unter den 880 verschiedenen magischen Quadraten der Ordnung 4 gibt es nur 48 pandiagonale. Hier ist eines davon:
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Im obigen Quadrat haben die Diagonalen 3+9+14+8 und 10+4+7+13 die Summe 34. Das gleiche gilt für die umgebrochenen Diagonalen, zum Beispiel 10+16+7+1, 15+5+2+12, 6+4+11+13,...
Viel schwieriger ist es ein pandiagonal magisches Quadrat zu konstruieren, das auch ein bimagisches Quadrat ist. Das erste wurde 1903 von Gaston Tarry veröffentlicht in Compte-Rendu de la 32ème Session (Angers) de l'AFAS:
a+p+r |
b-c+q-r+s |
b+d+p |
a+c+d+q+s |
b+p+r+s |
a+c+q-r |
a+d+p+s |
b-c+d+q |
>>> |
9 |
51 |
8 |
62 |
44 |
18 |
37 |
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b+p |
a+c+q+s |
a+d+p+r |
b-c+d+q-r+s |
a+p+s |
b-c+q |
b+d+p+r+s |
a+c+d+q-r |
4 |
58 |
13 |
55 |
33 |
27 |
48 |
22 |
|
a+c+d+p+r+s |
b+d+q-r |
b-c+p+s |
a+q |
b-c+d+p+r |
a+d+q-r+s |
a+c+p |
b+q+s |
46 |
24 |
35 |
25 |
15 |
53 |
2 |
60 |
|
b-c+d+p+s |
a+d+q |
a+c+p+r+s |
b+q-r |
a+c+d+p |
b+d+q+s |
b-c+p+r |
a+q-r+s |
39 |
29 |
42 |
20 |
6 |
64 |
11 |
49 |
|
a+d+q-r |
b-c+d+p+r+s |
b+q |
a+c+p+s |
b+d+q-r+s |
a+c+d+p+r |
a+q+s |
b-c+p |
21 |
47 |
28 |
34 |
56 |
14 |
57 |
3 |
|
b+d+q |
a+c+d+p+s |
a+q-r |
b-c+p+r+s |
a+d+q+s |
b-c+d+p |
b+q-r+s |
a+c+p+r |
32 |
38 |
17 |
43 |
61 |
7 |
52 |
10 |
|
a+c+q-r+s |
b+p+r |
b-c+d+q+s |
a+d+p |
b-c+q-r |
a+p+r+s |
a+c+d+q |
b+d+p+s |
50 |
12 |
63 |
5 |
19 |
41 |
30 |
40 |
|
b-c+q+s |
a+p |
a+c+d+q-r+s |
b+d+p+r |
a+c+q |
b+p+s |
b-c+d+q-r |
a+d+p+r+s |
59 |
1 |
54 |
16 |
26 |
36 |
23 |
45 |
Im obigen Quadrat der Ordnung 8 von Tarry gilt:
Im Januar-Februar 2012 berechnete Francis Gaspalou die Anzahl der
Quadrate, die er mit obiger Methode von Tarry erhalten kann : sehen Sie Gaspalous
PDF datei (in English), and also his study of Coccoz's method here.
In October-November 2013, Holger Danielsson worked on
ten other similar families of 8x8 squares, also invented by Tarry:
see Danielssson's PDF file#1 and PDF
file#2 (list of squares).
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61 |
15 |
40 |
32 |
49 |
9 |
34 |
26 |
55 |
18 |
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21 |
24 |
48 |
43 |
19 |
54 |
27 |
35 |
12 |
52 |
29 |
37 |
14 |
64 |
63 |
5 |
6 |
58 |
57 |
3 |
4 |
50 |
25 |
33 |
16 |
56 |
31 |
39 |
10 |
47 |
23 |
20 |
44 |
41 |
17 |
22 |
46 |
11 |
38 |
30 |
53 |
13 |
36 |
28 |
51 |
Im obigen Quadrat der Ordnung 8 von Schot gilt:
1921 |
98 |
1913 |
56 |
1834 |
1457 |
1226 |
1342 |
1330 |
1284 |
1431 |
1756 |
132 |
1839 |
36 |
1939 |
14 |
|
339 |
385 |
217 |
918 |
2109 |
888 |
2128 |
711 |
2118 |
2066 |
773 |
2110 |
812 |
2183 |
944 |
295 |
397 |
281 |
100 |
54 |
1473 |
78 |
1297 |
1899 |
1218 |
1850 |
1804 |
1786 |
1902 |
1292 |
1961 |
1375 |
2 |
1415 |
80 |
88 |
962 |
824 |
353 |
733 |
323 |
2129 |
262 |
2158 |
2175 |
2117 |
2080 |
250 |
2055 |
297 |
751 |
429 |
876 |
900 |
1345 |
1481 |
1281 |
133 |
1826 |
38 |
1838 |
34 |
1943 |
1917 |
46 |
1914 |
96 |
1764 |
55 |
1229 |
1407 |
1327 |
703 |
2063 |
813 |
2113 |
940 |
2133 |
417 |
294 |
341 |
279 |
218 |
365 |
2159 |
922 |
2125 |
887 |
2121 |
781 |
1808 |
1293 |
1882 |
1305 |
1959 |
1418 |
1 |
85 |
30 |
104 |
103 |
79 |
1470 |
1901 |
1367 |
1870 |
1217 |
1782 |
2081 |
2115 |
2105 |
230 |
748 |
301 |
879 |
428 |
892 |
970 |
354 |
821 |
319 |
736 |
282 |
2079 |
2177 |
2157 |
1893 |
1915 |
49 |
1766 |
93 |
1249 |
125 |
1323 |
1406 |
1482 |
1349 |
63 |
1261 |
41 |
1824 |
31 |
1837 |
1967 |
219 |
349 |
2155 |
362 |
2145 |
925 |
2123 |
837 |
704 |
780 |
863 |
2061 |
937 |
2093 |
420 |
2137 |
271 |
293 |
29 |
9 |
107 |
1904 |
1450 |
1867 |
1365 |
1832 |
1216 |
1294 |
1758 |
1307 |
1885 |
1438 |
1956 |
81 |
71 |
105 |
404 |
969 |
316 |
819 |
285 |
716 |
2107 |
2083 |
2082 |
2156 |
2101 |
2185 |
768 |
227 |
881 |
304 |
893 |
378 |
1405 |
65 |
1299 |
61 |
1264 |
27 |
1821 |
1968 |
1907 |
1845 |
1892 |
1769 |
53 |
1246 |
73 |
1373 |
123 |
1483 |
859 |
779 |
957 |
2131 |
422 |
2090 |
272 |
2140 |
269 |
243 |
2152 |
348 |
2148 |
360 |
2053 |
905 |
705 |
841 |
1286 |
1310 |
1757 |
1435 |
1889 |
131 |
1936 |
106 |
69 |
11 |
28 |
1924 |
57 |
1863 |
1453 |
1833 |
1362 |
1224 |
2098 |
2106 |
771 |
2184 |
811 |
225 |
894 |
284 |
400 |
382 |
336 |
968 |
287 |
889 |
2108 |
713 |
2132 |
2086 |
1905 |
1789 |
1891 |
1242 |
3 |
1374 |
76 |
1413 |
120 |
68 |
1475 |
58 |
1298 |
77 |
1268 |
1969 |
1801 |
1847 |
2172 |
247 |
2150 |
347 |
2054 |
430 |
755 |
902 |
856 |
844 |
960 |
729 |
352 |
2130 |
273 |
2088 |
265 |
2120 |
Das obige Quadrat der Ordnung 18 von Su Maoting im 2000 ist ein sehr interessantes pandiagonal bimagisches Quadrat, bei dem alle umgebrochenen Diagonalen bimagisch sind, ABER es ist ein nicht-normales magisches Quadrat: Es verwendet Zahlen, die nicht unmittelbar aufeinander folgen.
Sechs Jahre später, im Februar 2006, konnte Su Maoting als Erster ein normales pandiagonal bimagisches Quadrat konstruieren, mit aufeinander folgenden ganzen Zahlen und umgebrochenen Diagonalen, die alle bimagisch sind. Glückwunsch! Viele Leute (mich eingeschlossen ...) dachten, dieses Problem wäre unlösbar. Mehr als ein Jahrhundert wurde vergeblich nach einer Lösung gesucht. Das gefundene Quadrat hat die Ordnung 32. Su Maoting ist 45 Jahre alt, lebt in der Provinz Fujian, China, und arbeitet in einer Automobil-Transport-Firma.
Ist es möglich, ein pandiagonal bimagisches Quadrat zu konstruieren, das eine kleinere Ordnung hat als 32? Wenn Sie Lösungen zu diesem Problem haben, senden Sie mir eine Nachricht! Ich freue mich, Ihre Ergebnisse auf dieser Internetseite zu präsentieren. Beachten Sie auch andere ungelöste multimagische Probleme.
Im Februar-April 2009 konstruierte Li Wen, China, andere normal pandiagonal bimagische Quadrate größerer Ordnung:
und im Februar 2009 war Li Wen der erste, der erfolgreich ein nicht-normales pandiagonal TRImagisches Quadrat konstruierte, alle gebrochenen Diagonalen sind trimagisch. Die 156816 verwendeten Zahlen sind unterschiedlich, aber nicht aufeinanderfolgend: Die größte verwendete Zahl ist 278259381. Und eine unglaubliche zusätzliche Eigenschaft: Es ist ebenfalls ein PENTAmagisches Quadrat, das bedeutet alle seine Zeilen, Spalten und zwei Hauptdiagonalen sind magisch bis zur fünften Potenz!!! Li Wen wurde bekannt als er 2003 ein pentamagisches Quadrat der Ordnung 729 konstruierte, das bis heute das kleinste bekannte normal pentamagische Quadrat ist (sehen Sie multimagische Rekorde).
Im Jahr 2011 veröffentlichten Chen Kenju, Li Wen, und Pan Fengchu "A family of pandiagonal bimagic squares based on orthogonal arrays" im Journal of Combinatorial Designs, Vol. 19, Issue 6, November 2011, pp. 427-438. Hier ist ein Auszug:
In diesem Artikel zeigen wir eine Konstruktion aus pandiagonal bimagischen Quadraten unter Verwendung von vier-dimensional bimagischen Rechteecken, die man von orthogonalen Feldern mit besonderen Eigenschaften erhalten kann. In Einzelheiten zeigen wir, dass ein normal pandiagonal bimagisches Quadrat der Ordnung n4 für alle positiven Zahlen n ≥ 7 und dass gcd(n,30) = 1 ergibt, was auch gleichzeitig eine Antwort zum Problem 22 of Abe in [Discrete Math 127 (1994), 3–13] ist.
Im gleichen Jahr konstruierte Pan Fengchu ein pandiagonal bimagisches Quadrat der Ordnung n ≥ 32 und mit gcd(n,72) = 1 oder 9:
Im Jahr 2012 veröffentlichten Li Wen, Wu Dianhua, und Pan Fengchu "A construction for doubly pandiagonal magic squares" in Discrete Mathematics, Vol. 312, Issue 2, 28 Januar 2012, pp. 479-485. Hier ist ein Auszug:
In diesem Artikel, wird ein doppelt magisches Rechteck vorgestellt und wie man es konstruieren kann. rectangle is introduced to construct a doubly pandiagonal magic square. Eine Produkt Konstruktion für doppelt magische Rechtecke wird ebenfalls vorgestellt. Man erhält dann unendlich viele Möglichkeiten von doppelt magischen Quadraten und damit auch die Antwort zu: Problem 22 von [G. Abe, Unsolved problems on magic squares, Discrete Math. 127 (1994) 3].
"Doppelt magisch" bedeutet hier bimagisch. Der wichtigste Teil dieses Artikels ist das Theorem:
Theorem 1.3. Für jede Zahl n ≥ 1, und (p, q) ∈ E = {(11, 7), (13, 7), (19, 7), (13, 11), (17, 11)}, existiert ein doppelt pandiagonal magisches Quadrat der Ordnung (pq)n.
Das erklärt z.B. warum Quadrate der Ordnung größer als 77 = 11*7 und 91 = 13*7, konstruiert von Li Wen in 2009, möglich sind.
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