Das kleinstmögliche additiv-multiplikative magische Quadrat
Was ist das kleinste mögliche additiv-multiplikativ (oder Additions-Multiplikation) magische Quadrat? 5x5, 6x6, 7x7, oder 8x8: bis heute weiß es niemand!
Zur Erinnerung: ein additiv-multiplikativ magisches Quadrat muss magisch sein wenn alle Zellen einer Linie (gleiche Summe S), und muss ebenso magisch sein wenn alle Zellen einer Linie multipliziert werden (gleiches Produkt P). Es dürfen nur ganze Zahlen verwendet werden. Die kleinsten bekannten additiv-multiplikativ magischen Quadrate sind 8x8 und 9x9 Quadrate , die zuerst von Walter Horner in den 50 Jahren konstruiert wurden. 2005 konstruierte ich ein weiteres 8x8 und 9x9 Quadrat mit kleineren magischen Produkten und kleineren magischen Summen als die Horner Quadrate: sie sind noch immer die besten bekannten additiv-multiplikativ magischen Quadrate.
Hier ist der Status des Subjekts, die meisten Ergebnisse der Ordnung ≤ 7 kommen von Lee Morgenstern, USA, und der Ordnung 7 von Toshihiro Shirakawa, Japan.
Ordnung |
Semi-magisch |
Magisch |
Unmöglich. L. Morgenstern (2007) |
||
L. Morgenstern (2007) |
Unmöglich. L. Morgenstern (2007) |
|
Unbekannt! |
||
T. Shirakawa (2010) |
||
erstes bekannte von W. Horner (1955), bestes bekannte von C. Boyer (2005) |
||
erstes bekannte von W. Horner (1952), bestes bekannte von C. Boyer (2005) |
||
≥ 10 |
3x3 add-mult magische Quadrate?
Semi-magische und magische Quadrate sind unmöglich. Hier ist der Beweis von Lee Morgenstern.
Proof
Use the 2nd equation and set d =
ab/c. Substitute this into the 1st equation to get
a + b = c +
ab/c
or
c(a + b) = c^2 + ab
or
(c - a)(c - b) =
0.
Thus c = a or c = b.
Theorem
A 3x3 add-mult semi-magic square of
distinct entries is impossible.
Proof
Suppose the following is a 3x3 add-mult
semi-magic square.
a b M
N P c
Q R d
Because the square is additive semi-magic, we
have
a + b + M = M + c + d
or
(1) a + b = c +
d.
Because the square is multiplicative semi-magic, we
have
abM = Mcd
or
(2) ab = cd.
From (1) and (2) and the Duplication Lemma, all 3x3 add-mult semi-magic squares must have duplicate entries.
Corollary
A 3x3 add-mult magic square of
distinct entries is impossible.
4x4 add-mult magische Quadrate?
4x4 additiv-multiplikativ semi-magische Quadrate sind möglich. Lee Morgenstern fand 54 semi-magische Beispiele mit der kleinsten verwendeten größten Zahl < 256, das beste ist:
110 |
72 |
63 |
80 |
64 |
105 |
66 |
90 |
81 |
88 |
100 |
56 |
70 |
60 |
96 |
99 |
156 |
18 |
48 |
25 |
30 |
144 |
60 |
13 |
16 |
20 |
130 |
81 |
45 |
65 |
9 |
128 |
Aber 4x4 additiv-multiplikativ magische Quadrate sind unmöglich, wie von Lee bewiesen wurde
Proof
Suppose the following is a 4x4 add-mult
magic square.
a M N b
P Q R S
T U V W
X c d
Y
Because the square is additive magic, we have
(1) a + M + N + b = X + c + d + Y,
(2) a + Q + V + Y = M + Q + U +
c,
(3) b + R + U + X = N + R + V + d.
Add (1), (2), and (3), cancel common terms, and divide
by 2,
(4) a + b = c + d.
Because the square is multiplicative magic, we
have
(5) aMNb = XcdY
(6) aQVY = MQUc
(7) bRUX =
NRVd
Multiply (5), (6), and (7),
MNQRUVXY(ab)^2
= MNQRUVXY(cd)^2
or
(8) ab = cd.
From (4) and (8) and the Duplication Lemma, all 4x4 add-mult magic squares must have duplicate entries.
5x5 add-mult magische Quadrate?
Wir wissen nicht ob 5x5 additiv-multiplikativ magische Quadrate möglich sind. Aber 5x5 additiv-multiplikativ semi-magische Quadrate sind möglich. Lee Morgenstern fand 20 semi-magische Beispiele mit kleinster verwendeter größter Zahl < 276. Hier ist ein Quadrat mit der kleinsten möglichen größten Zahl:
60 |
66 |
132 |
182 |
36 |
33 |
112 |
52 |
99 |
180 |
72 |
110 |
176 |
27 |
91 |
168 |
26 |
81 |
80 |
121 |
143 |
162 |
35 |
88 |
48 |
Dieses andere Quadrat hat viele interessante zusätzliche Eigenschaften: es ist ebenfalls ein additiv panmagisches Quadrat, die Summe aller gebrochenen Diagonalen ist ebenfalls S.
95 |
176 |
108 |
91 |
50 |
144 |
57 |
65 |
100 |
154 |
70 |
78 |
190 |
110 |
72 |
156 |
125 |
77 |
48 |
114 |
55 |
84 |
80 |
171 |
130 |
Hier ist das Quadrat mit der kleinsten Summe S und dem kleinsten Produkt P:
208 |
20 |
110 |
25 |
81 |
11 |
195 |
80 |
108 |
50 |
75 |
30 |
180 |
16 |
143 |
60 |
144 |
65 |
165 |
10 |
90 |
55 |
9 |
130 |
160 |
Aber sein wirklich bestes Quadrat ist ein anderes. Besser als ein additiv-multiplikativ semi-magisches Quadrat, weil es eine additiv-multiplikativ magische Diagonale (und ebenfalls 5 additiv-multiplikativ magische Reihen, sowie 5 additiv-multiplikativ magische Spalten hat). Beinahe ein 5x5 additiv-multiplikativ magisches Quadrat!
105 |
182 |
40 |
198 |
45 |
78 |
216 |
66 |
175 |
35 |
220 |
42 |
65 |
63 |
180 |
140 |
55 |
189 |
30 |
156 |
27 |
75 |
210 |
104 |
154 |
Die Ergebnisse der Suche von Lee Morgenstern in 2007: Es gibt kein
magische Beispiel mit einer kleinsten verwendeten max. Zahl < 276.
Und
die Ergebnisse meiner eigenen Suche im Februar 2009: Es gibt kein magisches
Beispiel mit max. Zahl < 1000 und P < 10^9 * Zentrums Zahl.
Im April 2010, Jérôme Crétaux, berühmt dafür, dass er in 2005 den Chip der französischen e-Gesundheitsversicherungskarte geknackt hat (der "Vitale" Card, sehen Sie z.B. http://ec.europa.eu/idabc/servlets/Doc?id=22448 in englisch oder www.internetactu.net/2005/09/09/yaura-t-il-un-scandale-sesam-vitale in französisch), Kandidat für den Big Brother Awards France 2005 (http://bigbrotherawards.eu.org/article550.html), fand ein 5x5 add-mult semi-magisches Quadrat mit der (max. Zahl, S, P) = (253, 674, 26854027200). Das gleiche Quadrat war zuvor von Lee Morgenstern, unter seinen 20 Beispielen mit der max. Zahl < 270 jedoch hier nicht komplett gezeigt. Wird Jérôme ebenfalls das Rätsel #6 knacken?
Im Januar 2010 veröffentlichten Javier Cilleruelo, Universidad Autonoma de Madrid, und Florian Luca, Universidad Nacional Autonoma de Mexico einen Artikel mit dem Titel "On multiplicative magic squares" in The Electronics Journal of Combinatorics (www.combinatorics.org). Darin geben Sie eine untere Grenze für die Differenz zwischen dem maximalen und minimalen Element in einem multiplikativen magischen Quadrat der Ordnung r an, das aus unterschiedlichen positiven ganzen Zahlen besteht. Nach ihrem Beweis, dass ein 4x4 additives-multiplikatives magisches Quadrat nicht existieren kann, schlagen sie folgendes vor: „Problem 2. Gibt es additive-multiplikative magische Quadrate der Ordnung r = 5 mit unterschiedlichen ganzen Zahlen?“ Das ist das gleiche Problem wie unseres hier! Lesen Sie die PDF Datei ihres interessanten Artikels an: www.combinatorics.org/Volume_17/PDF/v17i1n8.pdf
Wer kann als erster ein add-mult magisches 5x5-Quadrat konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?
6x6 add-mult magische Quadrate?
2005 konstruierte ich ein 6x6 multiplikativ magisches Quadrat mit teilweise additiv-multiplikativ Eigenschaften: Seine 6 Reihen sind additiv-multiplikativ. 2007 konstruierte Lee Morgenstern das erste bekannte 6x6 additiv-multiplikativ semi-magische Quadrat. Hier sind seine besten möglichen semi-magischen Beispiele. Das erste Quadrat hat eine additiv magische Diagonale. Das zweite Quadrat hat eine additiv magische Diagonale und eine multiplikativ magische Diagonale.
105 |
32 |
42 |
78 |
44 |
15 |
36 |
49 |
60 |
12 |
104 |
55 |
16 |
99 |
84 |
35 |
30 |
52 |
65 |
48 |
11 |
40 |
54 |
98 |
28 |
75 |
39 |
88 |
14 |
72 |
66 |
13 |
80 |
63 |
70 |
24 |
24 |
88 |
18 |
120 |
25 |
14 |
135 |
28 |
64 |
22 |
30 |
10 |
8 |
75 |
45 |
16 |
112 |
33 |
35 |
4 |
80 |
90 |
44 |
36 |
32 |
54 |
77 |
20 |
6 |
100 |
55 |
40 |
5 |
21 |
72 |
96 |
200 |
42 |
24 |
30 |
28 |
3 |
16 |
160 |
6 |
63 |
75 |
7 |
70 |
10 |
144 |
2 |
56 |
45 |
9 |
21 |
5 |
140 |
32 |
120 |
14 |
4 |
50 |
12 |
135 |
112 |
18 |
90 |
98 |
80 |
1 |
40 |
Eine interessante Beobachtung beim vorhergehenden Quadrat: es benutzt die ersten aufeinanderfolgenden Zahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Es ist nicht sicher ob dieses Quadrat das kleinste mögliche P hat, aber es hat das kleinste bekannte P.
Wir wissen nicht ob 6x6 additiv-multiplikativ magische Quadrate möglich sind. Das zweite Quadrat darüber (Kleinstes S = 289) hat 13 von 14 korrekte Summen und 13 von 14 korrekten Produkten: Total 26 von 28, nicht ein additiv magisches Quadrat, und nicht ein multiplikativ magisches Quadrat. Hier ist ein Quadrat mit 14 von 14 korrekten Summen und 12 von 14 korrekten Produkten: Ebenfalls 26 von 28 möglichen Summen, kein multiplikativ magisches Quadrat, aber es ist ein additiv magisches Quadrat!
27 |
25 |
156 |
48 |
84 |
20 |
75 |
144 |
18 |
56 |
52 |
15 |
24 |
12 |
45 |
117 |
50 |
112 |
16 |
65 |
21 |
30 |
108 |
120 |
140 |
72 |
40 |
9 |
60 |
39 |
78 |
42 |
80 |
100 |
6 |
54 |
Die Ergebnisse der Suche von Lee Morgenstern in 2007: Es gibt kein magische Beispiel mit einer kleinsten verwendeten größten Zahl < 136.
Wer kann als erster ein add-mult magisches 6x6-Quadrat konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?
7x7 add-mult magische Quadrate?
2005 konstruierte ich ein 7x7 additiv-multiplikativ magisches Quadrat mit partial additiv-multiplikativ Eigenschaften: Seine 7 Reihen sind additiv-multiplikativ.
Die Ergebnisse der Suche von Lee Morgenstern in 2007: Es gibt kein semi-magische Beispiel mit einer kleinsten verwendeten größten Zahl < 91.
Wer kann als erster ein add-mult semi-magisches 7x7-Quadrat konstruieren?
Im April-Mai 2010 konstruierte Toshihiro Shirakawa das erste bekannte 7x7 add-mult semi-magische Quadrat, seine zwei besten Quadrate sind:
36 |
70 |
91 |
3 |
22 |
24 |
60 |
|
7 |
9 |
32 |
110 |
14 |
78 |
60 |
105 |
12 |
14 |
44 |
45 |
8 |
78 |
96 |
65 |
35 |
63 |
2 |
16 |
33 |
|
5 |
21 |
16 |
54 |
112 |
65 |
33 |
52 |
98 |
15 |
3 |
88 |
30 |
24 |
|
26 |
110 |
9 |
40 |
7 |
42 |
72 |
22 |
20 |
168 |
26 |
45 |
21 |
8 |
|
88 |
39 |
20 |
98 |
27 |
30 |
4 |
10 |
4 |
36 |
40 |
39 |
132 |
49 |
|
28 |
48 |
66 |
15 |
13 |
126 |
10 |
105 |
66 |
13 |
12 |
80 |
28 |
6 |
|
18 |
6 |
90 |
52 |
80 |
11 |
49 |
18 |
48 |
11 |
56 |
42 |
5 |
130 |
Die Diagonalen sind additiv magisch, aber nicht multiplikativ magisch. Einige Monate später fand er dieses bessere Quadrat, diesmal ist eine Diagonale add-mult magisch, die andere ist multiplikativ magisch (jedoch kann die andere Diagonale ebenfalls additiv magisch sein, wenn man die Zellen 108 + 78 + 39 + 20 + 54 + 63 + 18 anders anordnet, aber dann ist diese Diagonale nicht mehr multiplikativ magisch):
30 |
21 |
4 |
104 |
110 |
63 |
48 |
98 |
6 |
50 |
132 |
24 |
52 |
18 |
3 |
128 |
39 |
45 |
60 |
28 |
77 |
32 |
90 |
154 |
14 |
54 |
10 |
26 |
65 |
22 |
27 |
20 |
112 |
8 |
126 |
108 |
35 |
64 |
56 |
13 |
99 |
5 |
44 |
78 |
42 |
9 |
7 |
120 |
80 |
Wer kann als erster ein add-mult magisches 7x7-Quadrat konstruieren oder beweisen, dass ein solches nicht existiert?
8x8 oder 9x9 add-mult magische Quadrate?
Beispiele sind bekannt. Siehe diese andere Seite.
Zurück zur Homepage http://www.multimagie.com