Bimagische Quadrate aus Primzahlen
1900, Henry E. Dudeney war sicherlich der erste der magische Quadrate von Primzahlen studiert hat: sehen Sie die Entwicklung weiter unten. 2005 stellte ich zu den 10 ungelöste Probleme in meinem Mathematical Intelligencer Artikel, folgende Frage:
Offenes Problem 4. Können Sie ein bimagisches Quadrat unter Verwendung von Primzahlen konstruieren?
Bimagisch bedeutet ein magisches Quadrat das magisch bleibt nachdem man es quadriert hat. Als ersten Schritt, im Supplement dieses Artikels, gab ich das CB16 Quadrat an, das ich bereits im Oktober 2004 konstruiert hatte, ebenso erwähnt in Puzzle 287 von Carlos Rivera, der das gleiche Problem fragte. Es ist nur ein "semi"-bimagisch Quadrat, was bedeutet dass die 2 Diagonalen nicht bimagisch waren.
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Im November 2006, konstruierte ich das erste bekannte bimagische Quadrat aus Primzahlen. Korrekt bimagisch, mit zwei bimagischen Diagonalen. Das Offene Problem 4 ist das erste gelöste Problem von den zehn! In meinem Quadrat der Ordnung 11, werden 121 aufeinander folgende Primzahlen <= 701 verwendet, nur 2, 3, 523, 641 und 677 nicht.
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Hier sind die 6 wichtigsten Schritte der verwendeten Methode:
Danke an Jaroslaw Wroblewski: Er war der schnellste der mein Quadrat veröffentlicht hat. Es war in seinem Artikel mit dem Titel "Kwadraty bimagischze" veröffentlicht im polnischen Magazin MMM = Magazyn Milosnikow Matematyki, Ausgabe 18.
Da das offene Problem 4 nun gelöst ist, schlage ich als weitere Herausforderung vor:
Konstruieren Sie ein bimagisches Quadrat aus Primzahlen < Ordnung 11
Wir haben weiter oben ein a 4x4 semi-bimagisches Quadrat. Hier ist ein 10x10 semi-bimagisches Quadrat, das 100 aufeinander folgende Primzahlen <= 571 verwendet, nur 2, 3, 5, 547 und 563 fehlen. Nahezu ein bimagisches Quadrat: 10 bimagisch Zeilen, 10 bimagische Spalten, 1 bimagische Diagonale, Die andere Diagonale ist "nur" einfach magisch. Wer wird als erster ein korrektes bimagisches Quadrat der Ordnung 10 konstruieren, oder einer kleineren Ordnung?
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Magische Quadrate aus Primzahlen, die Entwicklung
Wie in seinem Buch Amusements in Mathematics, Seite 125 erwähnt, scheint es das Henry Ernest Dudeney als erster das Problem ein magisches Quadrat aus Primzahlen zu konstruieren, diskutierte. Das war in The Weekly Dispatch, am 22. Juli und 5. August 1900. Unglücklicherweise wurde zu jener Zeit "1" als Primzahl betrachtet. Die magische Summe 111 seines 3x3 Quadrates ist die kleinste mögliche, wenn "1" verwendet wird.
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Harry A. Sayles studierte ebenfalls magische Quadrate aus Primzahlen, und war sicherlich der erste der ein korrektes 3x3 Quadrat, ohne Verwendung der 1, mit der kleinsten möglichen magischen Summe 177 veröffentlichte. Es wurde 1918, in The Monist, Seite 142, veröffentlicht. Rudolph Ondrejka fand später das gleiche Quadrat, wie von Joseph M. Madachy 1966 in Mathematics on Vacation, Seite 95 berichtet wird (Das Buch wurde später mit anderem Titel Madachy's Mathematical Recreations, neu verlegt).
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1914 veröffentlichte Charles D. Shuldham in The Monist drei interessante Artikel über magische Quadrate aus Primzahlen mit verschiedenen Beispielen unterschiedlicher Ordnung, so wie dieses pandiagonale magische Quadrat auf Seite 608:
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7 |
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17 |
André Gérardin, in Sphinx-Oedipe, veröffentlichte ab 1916 verschiedene magische Quadrate aus Primzahlen. Zum Beispiel beschreibt er diese interessante Methode durch Verwendung der Summen dieses Quadrats.
3² |
5² |
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37² |
+ |
2² |
8² |
52² |
58² |
= |
13 |
89 |
2753 |
4733 |
37² |
7² |
5² |
3² |
52² |
58² |
2² |
8² |
4073 |
3413 |
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||
5² |
3² |
37² |
7² |
58² |
52² |
8² |
2² |
3389 |
2713 |
1433 |
53 |
||
7² |
37² |
3² |
5² |
8² |
2² |
58² |
52² |
113 |
1373 |
3373 |
2729 |
Wir kennen heutzutage eine große Anzahl verschiedener magischer Quadrate unterschiedlicher Ordnung, die nur aus Primzahlen bestehen. Ich möchte ausdrücklich die vielfältigen Quadrate und Würfel erwähnen, die von Allan W. Johnson Jr. in den verschieden Ausgaben des Journal of Recreational Mathematics, veröffentlicht wurden, erwähnen z.B: dieses pandiagonale magische Quadrat.
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17 |
83 |
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Ebenso erwähnen müssen wir das Quadrat von Harry L. Nelson, der den $100 Preis von Martin Gardner gewann: produzieren Sie ein 3x3 Quadrat aus aufeinander folgenden Primzahlen. Sehen Sie seinen Artikel in Journal of Recreational Mathematics, 1988, Seite 214-216.
1480028201 |
1480028129 |
1480028183 |
1480028153 |
1480028171 |
1480028189 |
1480028159 |
1480028213 |
1480028141 |
2004 konstruierte ich das kleinste und erste bekannte magische Quadrat aus Quadraten aus Primzahlen: sehen Sie die CB17 und CB18 Quadrate im Supplement. Sehen Sie ebenfalls das Puzzle 288 von Carlos Rivera.
2007 konstruierten Jaroslaw Wroblewski und Hugo Pfoertner das erste bekannte magische Quadrat aus Kubikzahlen von Primzahlen: Sehen sie sich ihr 42x42 magisches Quadrat an.
In 2008, Raanan Chermoni and Jaroslaw Wroblewski found the first known AP25, an arithmetic progression of 25 primes:
6171054912832631 + 366384*23#*n, for n = 0 to 24
(the notation 23# means 2*3*5*7*11*13*17*19*23
= 223092870)
With this AP25, we can easily arrange its 25 terms and construct this 5x5 pandiagonal magic squares of BIG primes:
6171054912832631 |
6743218519407191 |
7315382125981751 |
7478857442145911 |
8051021048720471 |
7070169151735511 |
7642332758310071 |
7805808074474231 |
6334530228996791 |
6906693835571351 |
7969283390638391 |
6498005545160951 |
6661480861325111 |
7233644467899671 |
7397119784063831 |
6824956177489271 |
6988431493653431 |
7560595100227991 |
8132758706802551 |
6252792570914711 |
7724070416392151 |
7887545732556311 |
6416267887078871 |
6579743203243031 |
7151906809817591 |
On the orders 3 and 4, we can construct magic squares of still bigger primes, using AP9 and AP16, status of the current search at http://users.cybercity.dk/~dsl522332/math/aprecords.htm
For example, with the biggest known AP9, computed in 2012 by Ken Davis and Paul Underwood:
(65502205462 + 6317280828*n)*2371# + 1, for n = 0 to 8
we can construct a 3x3 magic square of primes where the biggest used integer is this prime of 1014 digits!
6528 1797806551 4223969026 9465606678 8430413319 5255367568 8539223625 1894181816 2295567702 4019319671 9333832115 0061841041 7707195791 2803140095 8352804788 0185757536 6154874648 2856691539 8087025088 4358010975 5464536678 5697944644 8414005984 6147638197 4705147888 5491138440 0220327868 7363977428 2737801931 0520928772 5273502621 1160921647 5304393339 1767016703 7815224345 8891520911 6236415078 7937941027 3482586307 9771751835 2416069216 0455877228 7165528915 4691222310 5931802968 4750663643 9321249501 1529753060 2177270003 6356499195 3633416904 8702177467 8208223768 2956050987 5838438258 6851826872 9197546602 0234999349 2497621917 2738581161 9415122224 0117864207 4840555878 0205737919 5478023001 3058669932 0674106178 5760186912 4008237951 0383731554 0581804537 9660820190 6498476783 7685256998 6181217269 0236312263 0511714243 8492521158 0685298127 3315053479 1728430089 8633989547 0948111232 3941740735 3710609506 4479145195 2658117032 6376052349 8051287376 8947506973 0311459443 4926045579 0413748638 7963946563 1310017137 7738751714 9720291376 3358218759 4500584427 7708805850 0049908410 1090288421
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