15x15 magische Quadrate aus Kubikzahlen
15x15 magische Quadrate aus vierten Potenzen
16x16 magische Quadrate aus vierten Potenzen
16x16 magische Quadrate aus fünften Potenzen
25x25 magische Quadrate aus fünften Potenzen
Sehen
sie auch die erste Seite von Magische Quadrate
aus Kubikzahlen
15x15 magische Quadrate aus Kubikzahlen
15x15 magische Quadrate aus vierten Potenzen
15x15 magische Quadrate aus aufeinanderfolgenden Kubikzahlen sollten möglich sein, aber sie sind noch immer unbekannt. Um Quadrate aus nicht aufeinanderfolgenden Kubikzahlen zu konstruieren, können wir eine ähnliche Methode wie Morgensterns 6x6 Methode verwenden. Mit dieser Taxicab(3, 3, 5) Zahl:
und mit dieser Taxicab(3, 5, 8) Zahl, aber ohne Verwendung von [2][5][6][7][8]:
können wir dieses 15x15 semi-magische Quadrat mit der magischen Summe S3 = 4053232 * 14697 und mit max. Zahl = (150 * 22)^3 konstruieren. Unter Verwendung der Taxicab Methode, ist dies die kleinste mögliche Lösung (kleinstes S3, kleinstes max. Zahl) die 15*15 = 225 unterschiedliche ganze Zahlen erzeugt. Dieses Quadrat kann heruntergeladen werden: Sie finden es am Ende dieser Seite. Hier sind die Zahlen des Quadrats anders angeordnet, um eine magische Diagonale zu erhalten. Zwei Diagonalen sind unglücklicher Weise nicht möglich. Sind zwei Diagonale vielleicht möglich mit einem anderen Quadrat unter Verwendung einer anderen Kombination aus Taxicab Zahlen?
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Wie sieht es mit 4-ten Potenzen aus? Unter Verwendung einer ähnlichen Methode, mit dieser Taxicab(4, 3, 6) Zahl ohne Verwendung von [5]:
und mit dieser Taxicab(4, 5, 4) Zahl, aber ohne Verwendung von [2] :
können wir dieses 15x15 semi-magische Quadrat mit der magischen Summe S4 = 292965218 * 794179, mit max. Zahl = (127 * 29)^4 konstruieren. Unter Verwendung der TaxiCab-Methode ist dies die kleinste mögliche Lösung (kleinstes S4, kleinstes max. Zahl) die 15*15 = 225 unterschiedliche ganze Zahlen erzeugt. Dieses Quadrat kann herunter geladen werden: Sie finden es am Ende dieser Seite.
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Im September 2011, in dem er meine Zellen bzw. Zahlen des obigen Quadrates anders anordnete, war François Labelle erfolgreich und erreichte zwei magische Diagonalen! Das ist das neue kleinste bekannte magische Quadrat aus 4-ten Potenzen, nach seinem vorherigen 16x16 Rekord. François Labelle, PhD Berkeley, ist ein Kanadier, der bei Google USA arbeitet. Seine Homepage ist http://wismuth.com
Geschichte der kleinsten bekannten magischen Quadrate der 4-ten Potenz
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Dieses Quadrat kann herunter geladen werden: Sie finden es am Ende dieser Seite. More details on this work: http://wismuth.com/magic/squares-of-nth-powers.html
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16x16 magische Quadrate aus vierten Potenzen
16x16 magische Quadrate aus fünften Potenzen
Ein 16x16 magisches Quadrat aus Kubikzahlen ist bekannt als trimagisches 16x16-Quadrat von Chen Mutian und Chen Qinwu, wenn die Zahlen in die dritte Potenz erhoben werden. Dieses Quadrat aus Kubikzahlen, konstruiert im Jahr 2005, verwendet aufeinanderfolgende Kubikzahlen. Aber 16x16 magische Quadrate aus 4-ten Potenzen waren unbekannt, egal ob aufeinanderfolgende oder nicht aufeinanderfolgende 4-te Potenzen verwendet wurden. Bis zum Ende 2010, war das kleinste bekannte magische Quadrat aus 4-ten Potenzen größer, es kam von Li Wens 36x36 pentamagischen Quadrat mit den Zahlen in der vierten Potenz.
Im Dezember 2010, nach seinem 12x12 semi-magischen Quadrat der 4-ten Potenz, konstruierte François Labelle ein 16x16 magisches Quadrat: Dies war das kleinste bekannte magische Quadrat der Ordnung 4, vort dem obigen 15x15 Quadrat.
Um ein semi-magisches Quadrat zu erhalten, inspiriert von Morgensterns 4x4 Methode benutzte er diese Taxicab(4, 4, 4) Zahl:
und diese Taxicab(4, 4, 6) Zahl, aber ohne Verwendung [3] und [6]:
Unter Verwendung der Taxicab Methode ist dies die kleinste mögliche Lösung (kleinstes S4, kleinstes max. Zahl), die 16*16 = 256 unterschiedliche ganze Zahlen erzeugt. Dann ordnete er die Zellen neu an, um zwei magische Diagonalen zu erhalten (eine schwierige Aufgabe!), und produzierte das nachfolgende magische Quadrat mit S4 = 1950354 * 321793923, und max. Zahl = (37 * 123)^4. Dieses Quadrat kann heruntergeladen werden: Sie finden es am Ende dieser Seite.
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24704 |
5674 |
8554 |
35154 |
13334 |
2364 |
34224 |
19444 |
18634 |
6024 |
37764 |
15204 |
11614 |
24784 |
27544 |
7604 |
11184 |
6004 |
15684 |
7844 |
3224 |
35674 |
2464 |
1754 |
8504 |
6214 |
25834 |
8824 |
5984 |
39364 |
5754 |
36264 |
7134 |
24384 |
16654 |
7204 |
18984 |
36164 |
23734 |
36044 |
25444 |
22634 |
2264 |
3604 |
10224 |
32774 |
7424 |
4054 |
19714 |
8264 |
3874 |
15914 |
25114 |
1904 |
27554 |
28324 |
27144 |
11344 |
30404 |
6884 |
21874 |
19954 |
40124 |
3444 |
21064 |
29524 |
4004 |
2004 |
13724 |
6674 |
464 |
8614 |
41824 |
26464 |
4834 |
2254 |
25484 |
7364 |
28294 |
9254 |
30384 |
16794 |
41814 |
18084 |
27564 |
14404 |
9454 |
24824 |
17524 |
32864 |
904 |
9044 |
14844 |
13054 |
5114 |
10174 |
28624 |
6654 |
7294 |
29974 |
36584 |
864 |
12474 |
22804 |
21854 |
16524 |
13764 |
12964 |
31864 |
9034 |
32304 |
6484 |
30684 |
In March 2013, Toshihiro Shirakawa found a new construction method for (2m)4th-order magic squares of nth powers. With m=1, giving the order 16, if
then this square, when raising its cells at the nth power, is magic
AEIM |
BEIM |
CFIM |
DFIM |
AFLN |
BFLN |
CELN |
DELN |
CGJM |
DGJM |
AHJM |
BHJM |
CHKN |
DHKN |
AGKN |
BGKN |
DFIN |
AEIN |
BEIN |
CFIN |
DELM |
AFLM |
BFLM |
CELM |
DGJN |
AHJN |
BHJN |
CGJN |
DHKM |
AGKM |
BGKM |
CHKM |
CFJO |
DFJO |
AEJO |
BEJO |
CEKP |
DEKP |
AFKP |
BFKP |
AHIO |
BHIO |
CGIO |
DGIO |
AGLP |
BGLP |
CHLP |
DHLP |
BEJP |
CFJP |
DFJP |
AEJP |
BFKO |
CEKO |
DEKO |
AFKO |
BHIP |
CGIP |
DGIP |
AHIP |
BGLO |
CHLO |
DHLO |
AGLO |
AEJM |
BEJM |
CFJM |
DFJM |
AFIM |
BFIM |
CEIM |
DEIM |
CGKN |
DGKN |
AHKN |
BHKN |
CHLN |
DHLN |
AGLN |
BGLN |
DFJN |
AEJN |
BEJN |
CFJN |
DEIN |
AFIN |
BFIN |
CEIN |
DGKM |
AHKM |
BHKM |
CGKM |
DHLM |
AGLM |
BGLM |
CHLM |
CFIO |
DFIO |
AEIO |
BEIO |
CEJO |
DEJO |
AFJO |
BFJO |
AHLP |
BHLP |
CGLP |
DGLP |
AGKP |
BGKP |
CHKP |
DHKP |
BEIP |
CFIP |
DFIP |
AEIP |
BFJP |
CEJP |
DEJP |
AFJP |
BHLO |
CGLO |
DGLO |
AHLO |
BGKO |
CHKO |
DHKO |
AGKO |
BEKO |
CFKO |
DFKO |
AEKO |
BFLO |
CELO |
DELO |
AFLO |
BHJP |
CGJP |
DGJP |
AHJP |
BGIP |
CHIP |
DHIP |
AGIP |
CFKP |
DFKP |
AEKP |
BEKP |
CELP |
DELP |
AFLP |
BFLP |
AHJO |
BHJO |
CGJO |
DGJO |
AGIO |
BGIO |
CHIO |
DHIO |
DFLM |
AELM |
BELM |
CFLM |
DEKM |
AFKM |
BFKM |
CEKM |
DGIN |
AHIN |
BHIN |
CGIN |
DHJN |
AGJN |
BGJN |
CHJN |
AELN |
BELN |
CFLN |
DFLN |
AFKN |
BFKN |
CEKN |
DEKN |
CGIM |
DGIM |
AHIM |
BHIM |
CHJM |
DHJM |
AGJM |
BGJM |
BELO |
CFLO |
DFLO |
AELO |
BFIP |
CEIP |
DEIP |
AFIP |
BHKO |
CGKO |
DGKO |
AHKO |
BGJP |
CHJP |
DHJP |
AGJP |
CFLP |
DFLP |
AELP |
BELP |
CEIO |
DEIO |
AFIO |
BFIO |
AHKP |
BHKP |
CGKP |
DGKP |
AGJO |
BGJO |
CHJO |
DHJO |
DFKM |
AEKM |
BEKM |
CFKM |
DEJN |
AFJN |
BFJN |
CEJN |
DGLM |
AHLM |
BHLM |
CGLM |
DHIN |
AGIN |
BGIN |
CHIN |
AEKN |
BEKN |
CFKN |
DFKN |
AFJM |
BFJM |
CEJM |
DEJM |
CGLN |
DGLN |
AHLN |
BHLN |
CHIM |
DHIM |
AGIM |
BGIM |
Using the smallest four taxicab(4,2,2):
Toshiriro obtained a 16x16 magic square of 4th powers having:
This square, with bigger numbers than the above Labelle's square, can be downloaded: see am Ende dieser Seite.
Wie sieht es mit 16x16 magischen Quadraten der 5-ten Potenz aus? Im Juni 2011 suchte Jaroslaw Wroblewski taxicab(5, 4, 4) Zahlen und fand nur dieses eine Beispiel für Zahlen < 4000^5:
Weil zwei taxicab(5, 4, 4) Zahlen benötigt werden, war die Idee eine der vielen taxicab(5, 4, 3) Zahlen "zu
erweitern", in dem man sie mit k^6 multipliziert und zwar einem kleinem k.
Jaroslaw
fand 4124 taxicab(5, 4, 3) mit Zahlen < 4000^5. Bei Verwendung der 388. Zahl:
und multiplizieren mit 6^5, ergibt sich diese neue taxicab(5, 4, 4) Zahl:
Weil diese zwei taxicab(5, 4, 4) Zahlen 256 verschiedene Zahlen generieren, haben wir jetzt ein semi-magisches Quadrat der Ordnung 5! Dieses Quadrat kann heruntergeladen werden: Sie finden es am Ende dieser Seite. François Labelle erreichte ebenfalls im Juni 2011 die zweite taxicab Zahl, unter Verwendung der gleichen Methode, aber erreichte nicht die erste Zahl (~1.07e+17), weil seine Suche kleiner als 6e+16 war.
132675665 |
121950905 |
37882625 |
25082105 |
8385065 |
7792145 |
2221625 |
1760465 |
84501905 |
71435705 |
32022905 |
8675105 |
129004205 |
102291485 |
56375645 |
7777805 |
123425645 |
113448605 |
35241485 |
23333405 |
132099065 |
122758145 |
34999625 |
27734465 |
8663225 |
7323665 |
3283025 |
889385 |
85858505 |
68079905 |
37520705 |
5176505 |
82145705 |
75505505 |
23454905 |
15529505 |
122889245 |
114199565 |
32559485 |
25800845 |
136481225 |
115377665 |
51721025 |
14011385 |
8802305 |
6979625 |
3846665 |
530705 |
8421665 |
7740905 |
2404625 |
1592105 |
81788705 |
76005305 |
21669905 |
17171705 |
126965885 |
107333645 |
48115085 |
13034525 |
138672305 |
109957625 |
60600665 |
8360705 |
136925105 |
42534185 |
28161905 |
148966745 |
9069545 |
2585825 |
2049065 |
9759665 |
27613805 |
12378605 |
3353405 |
32664605 |
33296225 |
18350465 |
2531705 |
41991305 |
36927905 |
11471225 |
7595105 |
40175465 |
137831465 |
39297185 |
31139945 |
148319345 |
8524265 |
3821225 |
1035185 |
10083425 |
26316605 |
14503805 |
2001005 |
33189005 |
29187005 |
9066605 |
6003005 |
31753805 |
37172345 |
10598225 |
8398265 |
40000865 |
129544745 |
58071785 |
15731825 |
153239585 |
8123825 |
4477265 |
617705 |
10245305 |
9009905 |
2798825 |
1853105 |
9802265 |
29380205 |
8376605 |
6637805 |
31615805 |
34937465 |
15661625 |
4242785 |
41327825 |
123459185 |
68041745 |
9387305 |
155699705 |
39420005 |
26100005 |
138060005 |
126900005 |
9323525 |
7388165 |
35189765 |
32701445 |
23304065 |
6313145 |
61494665 |
51985985 |
53727125 |
7412405 |
122943605 |
97485845 |
33585845 |
22237205 |
117627125 |
108118805 |
36420005 |
28860005 |
137460005 |
127740005 |
13777925 |
3732485 |
36357125 |
30735365 |
27304985 |
3767105 |
62481905 |
49543865 |
17068865 |
11301305 |
59779985 |
54947705 |
31029845 |
24588725 |
117115925 |
108834485 |
53820005 |
14580005 |
142020005 |
120060005 |
16143365 |
2227205 |
36940805 |
29291525 |
10091525 |
6681605 |
35343365 |
32486405 |
15769865 |
12496385 |
59520185 |
55311425 |
45854645 |
12422165 |
121001045 |
102291125 |
63060005 |
8700005 |
144300005 |
114420005 |
27883505 |
147494105 |
135571505 |
42113705 |
11890325 |
56633525 |
52628885 |
15005045 |
6223235 |
60618875 |
51245615 |
22972175 |
4731355 |
78475155 |
62225415 |
34294135 |
14194055 |
75081635 |
69012455 |
21437915 |
30832105 |
146853105 |
136468905 |
38908705 |
6006965 |
58512245 |
49464725 |
22173845 |
3713455 |
61592055 |
48838275 |
26916115 |
11140355 |
58928615 |
54165155 |
16825775 |
15695035 |
74755335 |
69469275 |
19806415 |
15576305 |
151724705 |
128264105 |
57497705 |
3584405 |
59451605 |
47141045 |
25980725 |
10753205 |
56880725 |
52282805 |
16241045 |
12318415 |
58672515 |
54523695 |
15545275 |
7929095 |
77235215 |
65292635 |
29269115 |
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154160505 |
122238705 |
67369105 |
25x25 magische Quadrate aus fünften Potenzen
Das kleinste bekannte magische Quadrat aus 5-ten Potenzen ist das 36x36 Quadrat, das als Li Wens 36x36 pentamagische Quadrat bekannt ist, mit den Zahlen in der 5-ten Potenz.
Um diesen Rekord zu brechen und ein kleineres magisches Quadrat aus 5-ten Potenzen zu konstruieren, könnte man zwei Taxicab(5, 5, 5) Zahlen produzieren. Mit dieser Methode ist es extrem schwer 25*25 = 625 unterschiedliche ganze Zahlen zu produzieren, aber hier ist eine Lösung! Wenn ich Recht habe, ist dies die einzige Lösung unter Verwendung zweier Taxicab Zahlen < 1.03e+13.
Das semi-magische Quadrat produziert von diesen zwei Zahlen hat S5 = 8086892107975 * 10235797246718, und max. Zahl = (367 * 392)^5.
Dieses Quadrat kann herunter geladen werden: Sie finden
es am Ende dieser Seite.
Ist es möglich
die Zellen so anzuordnen, dass man zwei magische Diagonalen erhält? Es
könnte ebenfalls das neue kleinste bekannte magische Quadrat aus fünften Potenzen
werden!
1845 |
17485 |
41405 |
75215 |
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10245 |
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117125 |
166405 |
234885 |
117525 |
341265 |
503985 |
689305 |
777445 |
231465 |
378165 |
844345 |
912805 |
1137745 |
613895 |
775445 |
786215 |
807755 |
1306765 |
5125 |
48645 |
115205 |
209285 |
213765 |
36165 |
291545 |
413585 |
587605 |
829425 |
169525 |
492265 |
726985 |
994305 |
1121445 |
254895 |
416445 |
929815 |
1005205 |
1252915 |
39335 |
49685 |
50375 |
51755 |
83725 |
18085 |
171765 |
406805 |
739025 |
754845 |
52165 |
420545 |
596585 |
847605 |
1196425 |
186685 |
542095 |
800575 |
1094955 |
1234965 |
16335 |
26685 |
59575 |
64405 |
80275 |
109445 |
138245 |
140165 |
144005 |
232965 |
26085 |
247765 |
586805 |
1066025 |
1088845 |
57445 |
463115 |
656975 |
933405 |
1317535 |
11965 |
34735 |
51295 |
70155 |
79125 |
45445 |
74245 |
165765 |
179205 |
223365 |
386465 |
488165 |
494945 |
508505 |
822645 |
28725 |
272845 |
646205 |
1173935 |
1199065 |
3685 |
29675 |
42095 |
59805 |
84415 |
33285 |
96645 |
142725 |
195205 |
220165 |
160465 |
262165 |
585345 |
632805 |
788745 |
557465 |
704165 |
713945 |
733505 |
1186645 |
31165 |
73805 |
134075 |
136945 |
3285 |
147065 |
208625 |
296405 |
418385 |
18245 |
311065 |
459385 |
628305 |
708645 |
107125 |
287685 |
642325 |
694405 |
865525 |
176085 |
840245 |
851915 |
875255 |
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86645 |
205205 |
372785 |
380765 |
9125 |
265745 |
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535605 |
756025 |
32965 |
374485 |
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756405 |
853125 |
128965 |
451245 |
1007515 |
1089205 |
1357615 |
276195 |
88565 |
89795 |
92255 |
149245 |
70115 |
156565 |
370805 |
673625 |
688045 |
16485 |
319925 |
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644805 |
910165 |
39685 |
587395 |
867475 |
1186455 |
1338165 |
202285 |
47565 |
106195 |
114805 |
143095 |
29115 |
246245 |
249665 |
256505 |
414965 |
194945 |
188485 |
446405 |
810965 |
828325 |
19845 |
501815 |
711875 |
1011405 |
1427635 |
62245 |
61915 |
91435 |
125055 |
141045 |
21325 |
132245 |
295265 |
319205 |
397865 |
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444965 |
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295645 |
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31125 |
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75035 |
106605 |
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59285 |
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543125 |
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424085 |
97205 |
176585 |
180365 |
4325 |
41045 |
340385 |
483605 |
682625 |
29765 |
239945 |
510675 |
698455 |
787765 |
119085 |
345795 |
823625 |
890405 |
1109825 |
225785 |
368885 |
790595 |
812255 |
1314045 |
617315 |
779765 |
334805 |
608225 |
621245 |
14885 |
141365 |
419075 |
595405 |
840435 |
36645 |
295415 |
709145 |
969905 |
1093925 |
165365 |
480185 |
934995 |
1010805 |
1259895 |
256315 |
418765 |
118265 |
121505 |
196565 |
92345 |
116645 |
412205 |
748835 |
764865 |
18325 |
174045 |
581945 |
826805 |
1167065 |
50885 |
410225 |
805035 |
1101055 |
1241845 |
187725 |
545115 |
139865 |
151205 |
188465 |
38345 |
62645 |
407345 |
418505 |
677045 |
318065 |
401765 |
572405 |
1039865 |
1062125 |
25445 |
241685 |
660635 |
938605 |
1324875 |
57765 |
465695 |
120425 |
164705 |
185765 |
28085 |
81545 |
481745 |
520805 |
649145 |
132065 |
215765 |
501515 |
515255 |
833565 |
391595 |
494645 |
649805 |
1180475 |
1205745 |
28885 |
274365 |
98825 |
140405 |
198185 |
8645 |
69665 |
414785 |
567305 |
639845 |
96725 |
280865 |
593115 |
641205 |
799215 |
162595 |
265645 |
696425 |
715505 |
1157525 |
543785 |
686885 |
206015 |
210425 |
5045 |
47885 |
113405 |
306805 |
433065 |
18885 |
152225 |
215945 |
582555 |
657045 |
99325 |
288415 |
425935 |
655205 |
816665 |
166145 |
271445 |
606065 |
882005 |
1426885 |
670325 |
846725 |
858485 |
385865 |
394125 |
9445 |
89685 |
212405 |
496605 |
700975 |
30565 |
246395 |
349535 |
713705 |
804965 |
121685 |
353345 |
521825 |
1097605 |
1368085 |
278325 |
454725 |
1015285 |
141755 |
229325 |
107735 |
136085 |
137975 |
624575 |
637945 |
15285 |
145165 |
343805 |
608405 |
858785 |
37445 |
301865 |
428225 |
1195605 |
1348485 |
203845 |
591925 |
874165 |
176405 |
219875 |
44735 |
73085 |
163175 |
265505 |
429525 |
201785 |
254885 |
258425 |
765185 |
781565 |
18725 |
177845 |
421205 |
1019205 |
1438645 |
62725 |
505685 |
717365 |
192155 |
216725 |
32765 |
95135 |
140495 |
330405 |
411825 |
83785 |
136885 |
305625 |
429755 |
695245 |
326615 |
412565 |
418295 |
1281845 |
1309285 |
31365 |
297925 |
705605 |
163805 |
231215 |
10085 |
81275 |
115295 |
359905 |
405925 |
61365 |
178185 |
263145 |
534805 |
666595 |
135615 |
221565 |
494695 |
526505 |
851765 |
400145 |
505445 |
512465 |
547765 |
13125 |
124645 |
295205 |
536285 |
811075 |
35365 |
285095 |
404435 |
574605 |
815285 |
123245 |
357875 |
528515 |
722855 |
1162175 |
236435 |
386285 |
862475 |
932405 |
1248525 |
586535 |
740885 |
751175 |
771755 |
738145 |
17685 |
167965 |
397805 |
722675 |
869795 |
37925 |
305735 |
433715 |
616205 |
1145525 |
173165 |
502835 |
742595 |
1015655 |
1197075 |
243535 |
397885 |
888375 |
960405 |
596965 |
280445 |
354245 |
359165 |
369005 |
791585 |
18965 |
180125 |
426605 |
774995 |
1222115 |
53285 |
429575 |
609395 |
865805 |
1179925 |
178365 |
517935 |
764895 |
1046155 |
572365 |
116445 |
190245 |
424765 |
459205 |
804445 |
377915 |
477365 |
483995 |
497255 |
1112225 |
26645 |
253085 |
599405 |
1088915 |
1258815 |
54885 |
442475 |
627695 |
891805 |
564165 |
85285 |
247645 |
365725 |
500205 |
771295 |
156915 |
256365 |
572395 |
618805 |
862685 |
405275 |
511925 |
519035 |
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27445 |
260685 |
617405 |
1121615 |
601885 |
26245 |
211565 |
300125 |
426405 |
760245 |
114925 |
333715 |
492835 |
674055 |
827135 |
168275 |
274925 |
613835 |
663605 |
1212125 |
569435v |
719285 |
729275 |
749255 |
Im Mai 2011 berechnete François Labelle taxicab Zahlen bis zu 5.56e+13 und fand diese zwei Zahlen:
Sie generieren ein semi-magisches Quadrat mit 625 verschiedenen Zahlen, mit dem kleinsten möglichen S5 = 4.75e+25 und dem kleinsten möglichen max. Zahl = 125715^5. Besser als meine obige Lösung S5 = 8.28e+25 und max. Zahl = 143864^5.
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