Bimagische Quadrate aus Primzahlen


1900, Henry E. Dudeney war sicherlich der erste der magische Quadrate von Primzahlen studiert hat: sehen Sie die Entwicklung weiter unten. 2005 stellte ich zu den 10 ungelöste Probleme in meinem Mathematical Intelligencer Artikel, folgende Frage:

Bimagisch bedeutet ein magisches Quadrat das magisch bleibt nachdem man es quadriert hat. Als ersten Schritt, im Supplement dieses Artikels, gab ich das CB16 Quadrat an, das ich bereits im Oktober 2004 konstruiert hatte, ebenso erwähnt in Puzzle 287 von Carlos Rivera, der das gleiche Problem fragte. Es ist nur ein "semi"-bimagisch Quadrat, was bedeutet dass die 2 Diagonalen nicht bimagisch waren.

Im November 2006, konstruierte ich das erste bekannte bimagische Quadrat aus Primzahlen. Korrekt bimagisch, mit zwei bimagischen Diagonalen. Das Offene Problem 4 ist das erste gelöste Problem von den zehn! In meinem Quadrat der Ordnung 11, werden 121 aufeinander folgende Primzahlen <= 701 verwendet, nur 2, 3, 523, 641 und 677 nicht.

Hier sind die 6 wichtigsten Schritte der verwendeten Methode:

  1. Wählen Sie die Ordnung. Mein Vorschlag - für eine zusätzliche Schönheit - war eine Primzahl als Ordnung, wobei 2 und 3 unmöglich sind. 5, ist unbekannt ein bimagisches Quadrat dieser Ordnung. 7, sicherlich noch zu klein für eine genügend große Anzahl bimagischer Serien oder Gruppen. 11, hmmm.
  2. Wählen Sie sorgfältig eine gute Gruppe von 121 Primzahlen, und berücksichtigen Sie auch Modulo Werte.
  3. Berechnen Sie die Summen von S1 und S2.
  4. Berechnen Sie die Liste der bimagischen Serie von 11 Primzahlen der ausgewählten Gruppe die die richtigen Summen S1 und S2 haben.
  5. Benutzen Sie diese Serien um mit kombinatorischen Algorithmen, 22 Serien zu finden, die wir kreuzen und richtig anordnen können um ein semi-bimagisch Quadrat zu produzieren.
  6. Kurz vor dem Ziel? Nein! Wie üblich bei magischen Quadraten, ist es ein schwieriger und manchmal unmöglicher Schritt: Finden Sie ZWEI richtige Diagonalen durch Neuanordnung der Zellen des semi-bimagischen Quadrats. Die meisten der semi-bimagischen Quadrate können nicht zu einem korrekten bimagischen Quadrat angeordnet werden: Ich habe mehrere hundert Quadrate gebraucht bevor ich erfolgreich war.

Danke an Jaroslaw Wroblewski: Er war der schnellste der mein Quadrat veröffentlicht hat. Es war in seinem Artikel mit dem Titel "Kwadraty bimagischze" veröffentlicht im polnischen Magazin MMM = Magazyn Milosnikow Matematyki, Ausgabe 18.

Da das offene Problem 4 nun gelöst ist, schlage ich als weitere Herausforderung vor:

Wir haben weiter oben ein a 4x4 semi-bimagisches Quadrat. Hier ist ein 10x10 semi-bimagisches Quadrat, das 100 aufeinander folgende Primzahlen <= 571 verwendet, nur 2, 3, 5, 547 und 563 fehlen. Nahezu ein bimagisches Quadrat: 10 bimagisch Zeilen, 10 bimagische Spalten, 1 bimagische Diagonale, Die andere Diagonale ist "nur" einfach magisch. Wer wird als erster ein korrektes bimagisches Quadrat der Ordnung 10 konstruieren, oder einer kleineren Ordnung?


Magische Quadrate aus Primzahlen, die Entwicklung

Wie in seinem Buch Amusements in Mathematics, Seite 125 erwähnt, scheint es das Henry Ernest Dudeney als erster das Problem ein magisches Quadrat aus Primzahlen zu  konstruieren, diskutierte. Das war in The Weekly Dispatch, am 22. Juli und 5. August 1900. Unglücklicherweise wurde zu jener Zeit "1" als Primzahl betrachtet. Die magische Summe 111 seines 3x3 Quadrates ist die kleinste mögliche, wenn "1" verwendet wird.

Harry A. Sayles studierte ebenfalls magische Quadrate aus Primzahlen, und war sicherlich der erste der ein korrektes 3x3 Quadrat, ohne Verwendung der 1, mit der kleinsten möglichen magischen Summe 177 veröffentlichte. Es wurde 1918, in The Monist, Seite 142, veröffentlicht. Rudolph Ondrejka fand später das gleiche Quadrat, wie von Joseph M. Madachy 1966 in Mathematics on Vacation, Seite 95 berichtet wird (Das Buch wurde später mit anderem Titel Madachy's Mathematical Recreations, neu verlegt).

1914 veröffentlichte Charles D. Shuldham in The Monist drei interessante Artikel über magische Quadrate aus Primzahlen mit verschiedenen Beispielen unterschiedlicher Ordnung, so wie dieses pandiagonale  magische Quadrat auf Seite 608:

André Gérardin, in Sphinx-Oedipe, veröffentlichte ab 1916 verschiedene magische Quadrate aus Primzahlen. Zum Beispiel beschreibt er diese interessante Methode durch Verwendung der Summen dieses Quadrats.

Wir kennen heutzutage eine große Anzahl verschiedener magischer Quadrate  unterschiedlicher Ordnung, die nur aus Primzahlen bestehen. Ich möchte ausdrücklich die vielfältigen Quadrate und Würfel erwähnen, die von Allan W. Johnson Jr. in den verschieden Ausgaben des Journal of Recreational Mathematics, veröffentlicht wurden, erwähnen z.B: dieses pandiagonale magische Quadrat.

Ebenso erwähnen müssen wir das Quadrat von Harry L. Nelson, der den $100 Preis von Martin Gardner gewann: produzieren Sie ein 3x3 Quadrat aus aufeinander folgenden Primzahlen. Sehen Sie seinen Artikel in Journal of Recreational Mathematics, 1988, Seite 214-216.

2004 konstruierte ich das kleinste und erste bekannte magische Quadrat aus Quadraten aus Primzahlen: sehen Sie die CB17 und CB18 Quadrate im Supplement. Sehen Sie ebenfalls das Puzzle 288 von Carlos Rivera.

2007 konstruierten Jaroslaw Wroblewski und Hugo Pfoertner das erste bekannte magische Quadrat aus Kubikzahlen von Primzahlen: Sehen sie sich ihr 42x42 magisches Quadrat an.

In 2008, Raanan Chermoni and Jaroslaw Wroblewski found the first known AP25, an arithmetic progression of 25 primes:

With this AP25, we can easily arrange its 25 terms and construct this 5x5 pandiagonal magic squares of BIG primes:

On the orders 3 and 4, we can construct magic squares of still bigger primes, using AP9 and AP16, status of the current search at http://users.cybercity.dk/~dsl522332/math/aprecords.htm

For example, with the biggest known AP9, computed in 2012 by Ken Davis and Paul Underwood:

we can construct a 3x3 magic square of primes where the biggest used integer is this prime of 1014 digits!

Weiteres über magische Quadrate aus Primzahlen finden Sie unter:


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