Additiv-multiplikative magische Quadrate 10. und höherer Ordnung

Nach additiv-multiplikativen magischen Quadraten (oder Addition-Multiplikation magische Quadrate, oder Add-Mult) der Ordnung 8-9, was weiß man über größere Quadrate?

• 1955, in Scripta Mathematica, Walter W. Horner, USA, beendete seine Arbeit über die Ordnung 8 indem er erwähnte das seine "Methode verwendet werden kann um ein Addition-Multiplikation magisches Quadrat der Ordnung 16 zu konstruieren". Aber unglücklicherweise veröffentlichte er nicht solch ein Quadrat und es ist unklar wie man es mit seiner Methode konstruieren kann.
• 1992, im Journal of Combinatorial Mathematics and Combinatorial Computing, veröffentlichte das chinesische Team Liang Peiji, Sun Rongguo, Ku Tunghsin und Zhu Lie eine Konstruktion Methode für jedes add-mult magische Quadrat der Ordnung mn, wobei m und n positive ganze Zahlen ungleich 1, 2, 3, und 6 sind. Das bedeutetet, ihre Methode sollte in der Lage sein add-mult magische Quadrate der Ordnungen 16, 20, 25, 28, 32, 35,... zu konstruieren. Das einzig veröffentlichte Beispiel war ein Quadrat mit folgender Charakteristik:
• Ordnung = 20, S = 42210, P = 3,69e+60, Max. Zahl = 8020
• 1996, im Journal of Statistical Planning and Inference, veröffentlichte ein anderes chinesisches Team Zhu Jiacheng, Sun Rongguo und Cheng Murong ein add-mult magisches Quadrat mit ihrer Methode:
• Ordnung = 18, S = 114400, P = 1,59e+63, Max. Zahl = 24208
• 1997, im Journal of Central China Normal University, veröffentlichte ein weiteres chinesisches Team Yu Fuxi, Sun Rongguo und Zhang Guiming ein add-mult magisches Quadrat der Ordnung 24 mit ihrer Methode 24. Dank an Zhu Lie, School of Mathematical Sciences, Suzhou University, der mich über diesen Artikel informierte! Zhu Lie ist einer der Autoren des oben aufgeführten Artikels von 1992.
• Im Mai 2006 konstruierte Su Maoting, China, ein besseres Quadrat als das obere Peiji-Rongguo-Tunghsin-Lie Quadrat, "besser" weil es kleinere S, P und Max. Zahl verwendet:
• Ordnung = 20, S = 9460, P = 1,77e+49, Max. Zahl = 1944
• Im Dezember 2008 und Januar 2009 erhielt ich mehrere add-mult magische Quadrate von Mohamad Moosavi, Islamic Azad University of Rasht, Iran:
• Ordnung = 16, S = 6120, P = 6,31e+37, Max. Zahl = 1424
• Ordnung = 20, S = 21000, P = 2,50e+55, Max. Zahl = 4060
• Ordnung = 25, S = 42055, P = 1,32e+75, Max. Zahl = 6725
• Download add-mult Quadrate der Ordnungen 16, 20, 25 von Mohamad Moosavi (Excel Datei, 35Kb)
• Im Januar 2009, konstruierte ich add-mult Quadrate verschiedener Ordnungen und verbesserte die obigen Ordnungen 16, 18, 25 (kleineres S, P, Max. Zahl), und 20 (teilweise, nur kleinere Max. Zahl), aber ich konstruierte auch Quadrate neuer Ordnung: 10, 12, 14, 15, 21. Vielen Dank an Eric W. Weisstein, MathWorld, Joshua Zucker, Julia Robinson Mathematics Festival, und W. Edwin Clark, Math Dept, University of South Florida, für ihre Überprüfung meiner Quadrate.
• Und im Februar 2009, fuhr ich fort mit den Ordnungen 27, 28, 30, 32 und... 1024! Das Ziel des letzten Quadrates, das ein magisches Produkt von 8356 Stellen hat (P = 9.94E+8355), ist nur zu beweisen, dass sehr große add-mult Quadrate möglich sind. Alle diese Quadrate sind am Ende zum download. Vielen Dank noch einmal an Joshua Zucker und W. Edwin Clark für die Überprüfung. Gute hochpräzise Mathematik Programme waren notwendig um ein Produkt mit mehr als 8000 Stellen zu überprüfen!

Als Beispiel ist hier mein semi-magisches add-mult magisches Quadrat der Ordnung 10, die beiden Diagonalen sind multiplikativ magisch aber leider nicht additiv magisch:

Januar 2009: beste bekannte add-mult magische Quadrate der Ordnung 10, S = 25200,  P = 3,11e+29, max. Zahl = 9520

160	8568	966	2160	15	345	5616	546	1224	5600
420	7452	350	5040	6256	3536	720	10	324	1092
8505	1560	208	8211	2240	64	357	80	2760	1215
276	238	288	3510	3120	1200	6210	2016	8330	12
2808	100	240	272	189	1323	9520	5520	260	4968
832	2700	180	8	1071	7497	280	4140	7020	1472
9384	42	972	130	4160	1600	230	6804	1470	408
315	2080	7072	1449	7560	216	63	2720	3680	45
2380	2208	9450	3780	184	104	540	270	96	6188
120	252	5474	640	405	9315	1664	3094	36	4200

Ich nicht vollkommen zufrieden mit diesem Quadrat, weil die zwei Diagonalen nicht additiv magisch sind, und weil die Zahlen groß sind. Wer kann ein vollkommen add-mult magisches Quadrat der Ordnung 10 konstruieren? (und wenn möglich mit kleineren Zahlen!).

Hier ist ein weiteres Beispiel meiner add-mult magischen Quadrate. Diesmal sind die zwei Diagonalen  add-mult magisch, und die Zahlen sind relativ klein:

Januar 2009: beste bekannte add-mult magische Quadrate der Ordnung 16,
S = 5338, P = 1,61e+37, max. Zahl = 992

1	496	148	130	246	159	357	86	285	540	406	484	276	793	531	400
220	116	432	19	50	413	183	138	286	518	620	15	688	459	689	492
510	645	451	742	481	312	16	558	472	25	115	244	87	264	38	378
854	253	375	590	486	304	528	377	212	205	43	408	434	2	156	111
108	133	132	174	305	92	200	59	992	9	338	444	583	574	430	765
222	78	7	124	51	344	164	265	348	572	171	864	885	250	322	671
225	944	732	299	616	319	810	190	301	102	318	123	104	185	62	8
533	636	816	387	10	930	407	364	69	366	118	175	152	54	145	176
416	333	806	12	473	714	530	615	88	203	162	114	125	236	488	23
228	702	261	704	345	610	826	275	6	186	259	52	41	424	204	215
371	82	258	153	248	5	26	296	549	368	300	767	756	209	660	290
177	150	46	427	232	44	95	216	663	516	656	477	370	390	11	868
435	440	266	594	708	325	207	976	37	208	4	310	306	129	287	106
682	14	260	555	848	369	559	612	270	76	352	29	122	161	75	354
184	61	295	100	57	324	58	308	410	795	561	602	13	744	592	234
172	255	53	328	182	74	372	3	350	649	915	230	396	464	648	247

Tabelle bekannter add-mult magischer Quadrate

"Problem 6.3. For what orders n do addition-multiplication magic squares exist?"
Jószef Dénes (1932-2002) und A. Donald Keedwell, Latin Squares and their Applications (1974), Seite 489.

"Many unsolved problems are stated, some classical, some due to the authors, and even some proposed by the writer of this foreword."
Paul Erdös, Vorwort des obigen Dénes - Keedwell Buches (1974) , Seite 5.
     
Links: A. Donald Keedwell (London 1928 - ) in 1979,
Rechts: Paul Erdös (Budapest 1913 - Warschau 1996) in 1992. 

In dem Dénes - Keedwell Buch sind Horners 8x8 und 9x9 add-mult Quadrate auf den Seiten 215-216 veröffentlicht und das obige Problem 6.3 wird vorgestellt. Ich habe nicht die komplette Antwort zu dem Dénes - Keedwell - Erdös Problem, aber hier ist eine Teilantwort mit einer Zusammenfassung der besten bekannten add-mult magischen Quadrate, die sie als Excel Datei (weiter unten) downloaden können. Als ihr Buch veröffentlicht wurde, waren nur die Ordnung  8 und 9 bekannt. Wir können besonders bemerken, dass Ordnungen mit p und 2p (wobei p eine Primzahl ist) schwer zu finden sind.

Tabelle der besten bekannten additiv-multiplikativen magischen Quadrate

Ordnung	Quadrat	S	P	Max. Zahl	(**)
3..7	Siehe hier
8	Magisch (siehe hier)	600	5.14E+13	225	2
9	Magisch (siehe hier)	784	2.99E+15	261	2
10	Semi-magisch	25200	3.11E+29	9520	1
11	Unbekannt
12	Semi-magisch	8280	2.02E+30	2562	1
13	Unbekannt
14	Semi-magisch	58800	5.93E+46	14976	2
15	Semi-magisch	4176	6.34E+33	885	2
16	Magisch	5338	1.61E+37	992	1
17	Unbekannt
18	Magisch	30030	9.97E+52	5848	2
19	Unbekannt
20 (*)	Magisch	9460	1.77E+49	1743	2
21	Semi-magisch	12892	2.73E+54	1953	2
22	Unbekannt
23	Unbekannt
24 (*)	Magisch	55890	1.50E+77	6402	1
25	Magisch	25025	1.76E+70	3025	3
26	Unbekannt
27	Magisch	27888	7.53E+75	3753	2
28	Magisch	37200	4.98E+81	4321	2
29	Unbekannt
30	Magisch	53968	3.69E+90	7037	1
31	Unbekannt
32	Magisch	60852	4.97E+98	6400	1
1024 (***)	Magisch	274878169600	9.94E+8355	1072694272	1

Alle diese besten bekannten Quadrate der Ordnung ≥ 8 von Christian Boyer, Nov. 2005 (8-9) und Jan.-Feb. 2009 (≥ 10),
(*) außer der Ordnung 24 von Yu Fuxi - Sun Rongguo - Zhang Guiming, 1997, und eins von zweien der Ordnung 20 von Su Maoting, Mai 2006.
(**) Das kleinste S, P, und Max. Zahl kann unabhängig in 1, 2 oder 3 verschiedenen Quadraten der gleichen Ordnung erscheinen.
(***) Das Quadrat der Ordnung 1024 ist nur ein Beispiel um zu beweisen, dass sehr große Ordnungen möglich sind. Andere große Ordnungen sind auch möglich.
(****) Wenn sie erfolgreich sind ein kleineres P, oder ein kleineres S, oder ein kleineres Max. Zahl, oder eine andere Ordnung zu erzeugen, Senden Sie mir eine Nachricht! Ich werde Ihre Ergebnisse gerne auf diesen Web-seiten präsentieren.

Download der besten bekannten add-mult magischen Quadrate der Ordnung ≥ 8 (Excel Datei, 215Kb)
 
Download des add-mult magische Quadrat der Ordnung 1024 (Zipped Text Datei, 5Mb)
   Download der 8356 Stellen seines Produkts P = 9.94E+8355 (Text Datei, 100 Zahlen pro Zeile, 9Kb)
   Download der Faktorisierung des Produkts P = 2^1023 * 3^1021 * 5^508 * 7^338 * 11^204 * 13^169 * ... * 1038337 (Text Datei, 10Kb)

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